2022年五下數(shù)學(xué)思維第七講從不定方程的整數(shù)解談起

1、第七講 從不定方程 1 n 1 x 1 y的整數(shù)解談起對(duì)于形如1 n 1 x 1 y的方程,查找整數(shù) x、y 使之滿意方程, 稱為求不定方程的整數(shù)解；這里 對(duì)于方程n 是取定的一個(gè)自然數(shù)；111（1）nxy顯見 x=y=12 是一個(gè)整數(shù)解；仍有沒有別的解？如何求解？有人憑直覺能看出一些解來(lái), 但數(shù)學(xué)要求我們有一個(gè)成熟的方法去處理同一類問題；由1 61y,兩邊減去 1 x,得：1,這里 x6 大于 0；為了使右x111 y；6x通分：x61 y；因此,y6x6xx6端的分?jǐn)?shù)形式更簡(jiǎn)明, 我們不妨把 x6 看成一個(gè)整體,即令 t=x-6.那么 x=t+6 ；因此ty66t6t66；由于 y 是整數(shù)

2、,上式右邊t也是整數(shù),所以66也必需是整數(shù),這樣我們推知：t 是 6 2的因數(shù)（約數(shù)）；由于是求不定方程 1 6 1 x 1 y的整數(shù)解, 這樣,原先“ 漫無(wú)邊際”的找兩個(gè)未知數(shù) x、y 的困難問題,轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)潔的 6 2的因子 t 的問題了；一個(gè)完全平方數(shù)的因子必定是奇數(shù)個(gè),如 6 2的因子有 6、1 和36,2 和 18,3 和 12,4 和 9；6 稱為自補(bǔ)的因子；后面的 2 和 18等都稱為互補(bǔ)因子,這樣,不妨記為：t0=6,t1=1,t1 =36;t2=2,t2 =18;t3=3,t3 =12;t4=4,t4 =9 也即62 t 1, ,62 t 4,t 1t461t； x=6+t,y

3、=2 6 t+6=t +6, 111 y的全部解表示成161t6x6這里 t 和 t 是 62=36 的互補(bǔ)因子（當(dāng)t=t =6 時(shí)自補(bǔ)因子也包括在內(nèi)）,所以111 y的全部整數(shù)解為：6xt0t 06,111;61661661212t 11, t 136,111;61161674236t22,t18,111;612612682418t33,t 312,111;61361691812t44,t9,111;614191的解與11,11的情形我們4610156由于 x、y 位置對(duì)等,1 x1 1 ,7 y42x42y7都看成一種了；以上情形推廣到一般情形：求不定方程1111n2的全部成組互補(bǔ)因子（2

4、）nxy的整數(shù)解,只要找出t 和 t,就11（3）tnntn就可得到全部解；例如,求不定方程：111122=（22 3）2=2 4 32,它的12xy（即 n=12）的整數(shù)解,第一分解因子依據(jù)分解式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以排成一個(gè)表； 3 20 21 22 23 240 1 2 4 8 16 31 3 6 12 24 48 32 9 18 36 72 144 依據(jù)互補(bǔ)或自補(bǔ)因子配對(duì)有： （1,144）,（2,72）,（3,48）,（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）；所以1 121 x1 y共有 8 種解（122的因子個(gè)數(shù)18）：1 x再21 131 156；11 84

5、；11 60；11 48；1415161 181 36；11 30；11 28；11 24；202124以上是爭(zhēng)論111 y的全部解； 自然會(huì)想到假如把上式的12x分解成兩個(gè)“ 單位分?jǐn)?shù)”相當(dāng)于求：1111nxyz的整數(shù)解,例如求解：1111 z,6xy（分子為 1 分母為整數(shù)“ 的和,那么我們1 y可以利用已經(jīng)求解過(guò)的111 y的 5 種解,再把其中1 y分解成6x1 z,例如 111111 42,如此等等；1212127總之,求1 n111 z也是有路可循的了；特殊,如n 是質(zhì)數(shù),xyn裂1pp,111p11p1p；除了 p=2 以外, p+1 是合數(shù)；再分p2p2pp11, 例 如 ,

6、利 用p1 2有 因 子1和p1 2, 因 此1p12p11p2 1,所以,1p1211p1p2；（4）pp p1例如：1 311415111 20,53 451211516617111 42,5773011718819111 72；79956在這些基本訓(xùn)練基礎(chǔ)上, 我們很簡(jiǎn)潔把整數(shù)1 分拆為如干個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和；分成兩部分,唯獨(dú)方式： 1=1 2+ 1 2；分成三部分,只有 3 種方式：明顯的有 113 13 13,先有 112 12,再借用12 2 11 2 14 2 12 2 12這兩種分解形式 （由于 2 2有互補(bǔ)因子1 ,4 ,2 ,2 ）；可有 1 12 14 14 12 13 16

7、,1 13 13 13；并且可斷言只有這三種形式；為證明這一結(jié)論,先介紹“ 推廣的抽屜原理” （不妨稱平均值原理更準(zhǔn)確） ：一個(gè)（正）數(shù),分放于幾個(gè)抽屜中, 必有一個(gè)抽屜內(nèi)存放的數(shù)大于或等于平均值； （留意,這里的數(shù)不局限于整數(shù)； ）1 分拆為三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和,必有一部分3,而 1 3的單位分?jǐn)?shù)只有1 2和 1 3；不妨設(shè) 1 x 1 y 1 z,就 1 x= 1 2或 1 x= 1 3,問題轉(zhuǎn)化成：11 1 1 或 11 1 12 y z 3 y z對(duì)于前一種情形,112 12 1y 1z,再用推廣的抽屜原理,1y、1z中,不妨設(shè) 1 y 1 z,必有一個(gè) 1 4； 1 y只有 1 4和 1

8、 3兩種情形（明顯1y2）；對(duì)于 1 y= 1 3和 1 4,分別必有 1 z= 1 6和 1 4；歸之于 1 12 13 16和1 1 112 4 4的情形；對(duì)于后一種情形,113 1y 1z,同樣用推廣的抽屜原理, 有 1 y2 （ 2 3）= 1 3,又 1 y 1 x= 1 3,所以 1 y= 1 3；由 2 3= 1 z得 1 z= 2 3- 1 3,1也歸之于三種形式之中；故推斷正確；在某些問題爭(zhēng)論中,并不要求立刻找出全部解,只要能將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)分拆為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和即可,這里我們介紹另一種技巧,先看：111（5）5）式,其實(shí)（ 5）nn1n n1 我們這里是在爭(zhēng)論單位分?jǐn)?shù)問題時(shí)用

9、到（式又可以轉(zhuǎn)變形式寫成：1 1 1,它在運(yùn)算中也有奇妙應(yīng)用,為保持原問題討n n 1 n n 1論的連續(xù)性,它的詳細(xì)應(yīng)用請(qǐng)看習(xí)題 ；公式（ 5）在將整數(shù) 1 分裂成如干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的求解中,用起來(lái)很便利；例如可將1 分裂為 3 個(gè)分母不等的單位分?jǐn)?shù)之和：11111213111 6；1 分裂222323而且,只要不計(jì)較分母太大看起來(lái)不直觀,我們可以把成任意多個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和；如：1=12 12（2 項(xiàng)） =12 13 16（3 項(xiàng)） =12 14 12 1 16（4 項(xiàng)） =1 21111 42（5 項(xiàng)）4127 =1 21111 71 42（6 項(xiàng)）52012 =1 2111111 42（7

10、項(xiàng)）63020127 =1 21111111 42（8 項(xiàng)）6302012856 =1 211111111 42（9 項(xiàng)）630201297256 =1 2111111111 42（10 項(xiàng)）630201210907256假如要求你用兩種不同的方式把1 寫成 10 個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和,你不妨在分裂成9 項(xiàng)時(shí),另選一種方式用公式1n1111,如nn n選1 2011 420,即可；講 的21實(shí) 際上 ,公式1n1111只是 最初nn n111n1tn1t的特殊情形,只是把n 的互補(bǔ)因子選為1 和n2nxy而已；所以基本功在于111 y的分解；nxn 的因上述基本分解仍有一種簡(jiǎn)便一些的算法,它不必分解

11、子,而只要求分解n 的全部因子,仍以12 為例：111 y,把 12（留意：不是 12 2）的全部因子由小到大排列：12x1、2、3、4、6、12,6 個(gè)因子任取 15 種：2 個(gè)配成一個(gè)組合,共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,6）,（1,12）（2,3）,（2,4）,（2,6）,（2,12）（3,4）,（3,6）,（3,12）（4,6）,（4,12）（6,12）對(duì)于每一組合 a ,b ,寫成 1=a6bb,就有：1 20；aba1ab1212ab12ab =121b 12b1b；aa33111a例如：（2,3）1 121223212 =151=12 212 3545305所以1

12、12111 y有 15 種方式；但這里有重復(fù),如由（1,2）配x出的1 121222和由（ 2,4）配出的112244是相同的；只1122要在因子的配組中篩去這種情形即可；以上爭(zhēng)論相應(yīng)于不定方程11 x1 y,對(duì)于其他分?jǐn)?shù)形式的不定n方程,分子不是1 的,例如：211 y,3x16,當(dāng)然仍有 211 3；一般同學(xué)都可“ 猜” 出2 323那么請(qǐng)問是否只有兩種方式？答：是；理由呢？由于由推廣的抽屜原理,1和1 y中至少有一個(gè)1,1 3=1 22 3 ,也即至少有一x3個(gè)或?yàn)? 2,或?yàn)?1 3；從而歸于兩種形式；1 y求整數(shù)解呢？1 3,是一種解；最簡(jiǎn)潔那么難度再增加一些,對(duì)不定方程215x用“ 靈感來(lái)湊” ：2 52361515 3151515的是2 511 5,那么仍有第三種解嗎？5用