人教A版選修2-1第三章3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示達(dá)標(biāo)過關(guān)訓(xùn)練

1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示一、選擇題1以下四個命題中正確的是()A空間的任何一個向量都可以用三個給定的向量表示B若a，b，c是空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量C若向量ab，則a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底D任何三個不共線的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底答案：B2已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，基底aij，bjk，cki，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是()A(1,1,0) B(10,12,14)C(1,0,1) D(12,14,10)解析：eq o(OA,sup6()8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，點(diǎn)A在基底i，

2、j，k下的坐標(biāo)為(12,14,10)答案：D3若e1，e2，e3是空間向量的一個基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，則x，y，z的值分別為()Aeq f(5,2)，1，eq f(1,2) Beq f(5,2)，1，eq f(1,2)Ceq f(5,2)，1，eq f(1,2) Deq f(5,2)，1，eq f(1,2)解析：由題意，得xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空間向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(xyz1，,xyz

3、2，,xyz3，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(5,2)，,y1，,zf(1,2).)答案：A4(2019陵川高二月考)點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點(diǎn)，且eq o(PM,sup6()eq f(2,3)eq o(PC,sup6()，eq o(PN,sup6()eq o(ND,sup6()，則滿足eq o(MN,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()zeq o(AP,sup6()的實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為()Aeq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6) Beq f(2,3)，e

4、q f(1,6)，eq f(1,6)Ceq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6) Deq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6)解析：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則eq o(MN,sup6()eq o(EN,sup6()eq o(EM,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()(eq o(PM,sup6()eq o(PE,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(2,3)eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,6)eq o

5、(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)(eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(AP,sup6()，比較知，xeq f(2,3)，yeq f(1,6)，zeq f(1,6).答案：D5已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，且PAABAC1.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)G為PBC的重心，則eq o(BG,sup6()的坐標(biāo)為()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f

6、(1,3)，f(1,3)，f(1,3) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)，f(2,3)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3)解析：由題意，可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)取BC的中點(diǎn)為M，則Meq f(1,2)，eq f(1,2)，0.G為PBC的重心，設(shè)G的坐標(biāo)為(x，y，z)，由eq o(PG,sup6()eq f(2,3)eq o(PM,sup6()，得(x，y，z1)eq f(2,3)eq bl

7、c(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，從而得Geq f(1,3)，eq f(1,3)，eq f(1,3)，eq o(BG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3).答案：D二、填空題6如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，則eq o(DE,sup6()_.(用a，b，c表示)解析：eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AC,sup6()eq

8、 o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(CB1,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(CB,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.答案：eq f(1,2)aeq f(1,2)b7已知空間一個

9、基底a，b，c，mabc，nx ay bc，若m與n共線，則x_，y_.解析：m與n共線，存在實(shí)數(shù)，使mn，即abcxaybc，于是eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,1.)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,1.)答案：118正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心若eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()0(R)，則_.解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E為A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為C1D的中點(diǎn)在A1DC1中，EFA1D，且EFeq f(1,2)A1D.eq o(EF,sup6()eq f(1,

10、2)eq o(A1D,sup6()0，eq f(1,2).答案：eq f(1,2)三、解答題9. (2019孝感市七校聯(lián)盟期末)如圖，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO1，M是PC的中點(diǎn)設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AP,sup6()c.(1)用向量a，b，c表示eq o(BM,sup6()；(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求eq o(BM,sup6() 的坐標(biāo)解：(1)eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CM,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AD,s

11、up6()，eq o(CM,sup6()eq f(1,2)eq o(CP,sup6()，eq o(CP,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(BM,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AP,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AP,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1

12、,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AP,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c.(2)A(0,0,0)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，aeq o(AB,sup6()(1,0,0)，beq o(AD,sup6()(0,1,0)ceq o(AP,sup6()eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2

13、)，1)，eq o(BM,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)ceq f(1,2)(1,0,0)eq f(1,2)(0,1,0)eq f(1,2)eq f(1,2)，eq f(1,2)，1eq f(1,4)，eq f(3,4)，eq f(1,2).10已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段A1D，AC上，且EFA1D，EFAC，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別作為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖(1)求向量eq o(EF,sup6()的坐標(biāo)；(2)求證：EFBD1.解：(1)正方體ABCDA1B1C1D1的棱

14、長為1，設(shè)eq o(DA,sup6()e1，eq o(DC,sup6()e2，eq o(DD1,sup6()e3，則e1，e2，e3為單位正交基底eq o(ED,sup6()與eq o(DA1,sup6()共線，eq o(CF,sup6()與eq o(CA,sup6()共線，設(shè)eq o(ED,sup6()eq o(DA1,sup6()，eq o(CF,sup6()eq o(CA,sup6()，則eq o(EF,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(DA1,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CA,sup6()(e

15、q o(DA,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(DC,sup6()()eq o(DA,sup6()(1)eq o(DC,sup6()eq o(DD1,sup6()()e1(1)e2e3.EFA1D，EFAC，即eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()，eq o(EF,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()0，eq o(EF,sup6()eq o(AC,sup6()0.又eq o(A1D,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()e1e3，eq o(AC,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(DA,sup6()e2e1.()e1(1)e2e3(e1e3)0.()e1(1)e2e3(e2e1)0.整理得eq blcrc (avs4alco1(0，,10，)即eq blcrc (avs4alco1(20，,21.)解得eq f(1,3)，eq f(2,3).eq o(EF,sup6()eq f(1,3)e1eq f(1,3)e2eq f(1,3)e3