2022年二次函數知識點歸納總結及中考預測題型歸納總結

1、學習好資料 歡迎下載 二次函數學問點總結及中考題型 ,易錯題總結 （一）二次函數學問點總結 一,二次函數概念： 1二次函數的概念：一般地,形如 y ax bx c（ a ,b,c 是常數, a 0 ）的函數, 2叫做二次函數； 這里需要強調： 和一元二次方程類似, 二次項系數 a 0 ,而 b ,c 可以為零二次函數的定義域是全體實數 2. 二次函數 y 2 ax bx c 的結構特點： 等號左邊是函數,右邊是關于自變量 x 的二次式, x 的最高次數是 2 a ,b ,c 是常數, a 是二次項系數, b 是一次項系數, c 是常數項 二,二次函數的基本形式 1. 二次函數基本形式： y 2

2、 ax 的性質： a 的確定值越大,拋物線的開口越??； a 的符 開口方 頂點坐 對稱 性質 號 向 標 軸 x 0 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0a0向上 0 ,0 y 軸 時, y 隨 x 的增大而減小； x 0 時, y 有最小值 0 x 0 時, y 隨 x 的增大而減??； x 0a0向下 0 ,0 y 軸 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0 時, 2. 2 ax c y 有最大值 0 y 的性質： 上加下減； 第 1 頁,共 50 頁a 的符 學習好資料 歡迎下載 開口方 頂點坐 對稱 性質 號 向 標 軸 x 0 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0a0向上 0

3、 ,c y 軸 時, y 隨 x 的增大而減??； x 0 時, y 有最小值 c x 0 時, y 隨 x 的增大而減??； x 0a0向下 0 ,c y 軸 時, y 隨 x 的增大而增大； x 0 時, 3. 2y 有最大值 c y a x h的性質： 左加右減； a 的符 開口方 頂點坐 對稱 性質 號 向 標 軸 x h 時, y 隨 x 的增大而增大； x ha0向上 h ,0 X=h 時, y 隨 x 的增大而減??； x h 時, y 有最小值 0 a0向下 h ,0 X=h x h 時, y 隨 x 的增大而減?。?x h時, y 隨 x 的增大而增大； x h 時, y 有最大值

4、 0 4. y a x h2k 的性質 ： a 的符 開口方 頂點坐 對稱 性質 第 2 頁,共 50 頁號 向 學習好資料 歡迎下載 標 軸 a0向上 h,k X=h x h 時, y 隨 x 的增大而增大； x h時, y 隨 x 的增大而減??； x h 時, y 有最小值 k a0向下 h,k X=h x h 時, y 隨 x 的增大而減??； x h時, y 隨 x 的增大而增大； x h 時, y 有最大值 k 三,二次函數圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式 y a x h2k ,確定其頂點坐標 h ,k ； 保持拋物線 y 2 ax 的形狀不變,將其頂

5、點平移到 h,k 處,具體平移方法 如下： y=ax 2向上 k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0】平移 |k|個單位 2. 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“ h 值正右移,負左移； k 值正上移,負下移” 概括成八個字“左加右減,上加下減” 方法二： y 2 ax bx c 沿 y 軸平移 :向上（下）平移 m 個單位, y 2 ax bx c 變成 第 3 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 y 2 ax bx c 變成 y 2 ax bx c m （或 y ax2bx c m ） y 2 ax bx c 沿軸平移：向左（右）平移 m 個單位

6、, y a x 2 m bx m c （或 y ax 2 m b x m c ） 四,二次函數 y a x h2k 與 y 2 ax bx c 的比較 從解析式上看, y a x h2k 與 y 2 ax bx c 是兩種不同的表達形式, 后者通過 配方可以得到前者,即 y a x b24ac b2h,其中 b,k 2a 4ac b2 2 a 4a 2 h k ,確 4a 五,二次函數 y 2 ax bx c 圖象的畫法 五點繪圖法： 利用配方法將二次函數 y 2 ax bx c 化為頂點式 y ax 定其開口方向,對稱軸及頂點坐標,然后在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫 圖.一般我們選取的五點為

7、： 頂點,與 y 軸的交點 0,c ,以及 0 ,c 關于對稱軸 對稱的點 2h,c ,與 x 軸的交點 x1 ,0 , x2 ,0 （如與 x 軸沒有交點,就取兩組 關于對稱軸對稱的點） . 畫草圖時應抓住以下幾點： 的交點 . 開口方向, 對稱軸, 頂點,與 x 軸的交點, 與 y 軸 2六,二次函數 y ax bx c 的性質 21. 當 a 0 時,拋物線開口向上,對稱軸為 x 2a ,頂點坐標為 b2a b ,4ac b 4a b b b當 x 2a 時,y 隨 x 的增大而減??； 當 x 2 a 時,y 隨 x 的增大而增大； 當 x 2a 24ac b時, y 有最小值 4a 2

8、2. 當 a 0 時,拋物線開口向下, 對稱軸為 x 2a ,頂點坐標為 b2a b , 4ac b4a 當 b b bx 2 a 時, y 隨 x 的增大而增大；當 x 2a 時, y 隨 x 的增大而減??；當 x 2 a 時, 24ac by 有最大值 4 a 第 4 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 七,二次函數解析式的表示方法 1. 一般式： y 2. 頂點式： y 3. 兩根式： y 2 ax bx c （ a , b , c 為常數, a0）； 2 a x h k （ a , h , k 為常數, a0）； a x x1 x x2 （ a 0 , x1 , x2 是拋物線與 x

9、 軸兩交點的橫坐標） . 留意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非全部的二次 函數都可以寫成交點式,只有拋物線與 x 軸有交點,即 b24ac 0 時,拋物 線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互 化. 八,二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數 a2 二次函數 y ax bx c 中, a 作為二次項系數,明顯 a 0 當 a 0 時,拋物線開口向上, a 的值越大,開口越小,反之 a 的值越小, 開口越大； 當 a 0 時,拋物線開口向下, a 的值越小,開口越小,反之 a 的值越大, 開口越大 總結起來, a 準備了拋物線開口的大小和

10、方向, a 的正負準備開口方向, a的大小準備開口的大小 2. 一次項系數 b在二次項系數 a 確定的前提下, b 準備了拋物線的對稱軸 在 a 0 的前提下, 當 b 0 2a b 0,即拋物線的對稱軸在 y 軸左側； 時, b 當 b 0 2a 0,即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 時, b 當 b 0 2a 0,即拋物線對稱軸在 y 軸的右側 時, 在 a 0 的前提下,結論剛好與上述相反,即 第 5 頁,共 50 頁當 b 0 時, b學習好資料 歡迎下載 0,即拋物線的對稱軸在 y 軸右側； 2a 當 b 0b0,即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 2a 時, b0,即拋物線對稱軸在 y

11、軸的左側 當 b 0 時, 2a 總結起來,在 a 確定的前提下, b 準備了拋物線對稱軸的位置 x ab 的符號的判定： 對稱軸 b0 ,在 y 軸的右側就 ab 0 , 2a 在 y 軸左邊就 ab 概括的說就是“左同右異” 總結： 3. 常數項 c 當 c 0 時,拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方, 即拋物線與 y 軸交點的縱坐 標為正； 當 c 0 時,拋物線與 y 軸的交點為坐標原點,即拋物線與 y 軸交點的縱 坐標為 0 ； 當 c 0 時,拋物線與 y 軸的交點在 x 軸下方, 即拋物線與 y 軸交點的縱坐 標為負 總結起來, c 準備了拋物線與 y 軸交點的位置 總之,只要

12、 a ,b ,c 都確定,那么這條拋物線就是唯獨確定的 二次函數解析式的確定 ： 依據已知條件確定二次函數解析式,通常利用待定系數法用待定系數法求 二次函數的解析式必需依據題目的特點, 選擇適當的形式, 才能使解題簡便 一 般來說,有如下幾種情形： 1. 已知拋物線上三點的坐標,一般選用一般式； 第 6 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標,一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點,常選用頂點式 九,二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情形,可以用一般式或頂點式表

13、達 1. 關于 x 軸對稱 2 ax bx c ； y 2 a x b x 關cx 軸對稱后,得到的解析式是 y y a x h 2于 k 關于 x 軸對稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 2. 關于 y 軸對稱 2 ax bx c ； y 2 a x b x 關cy 軸對稱后,得到的解析式是 y y a x h2于 k 關于 y 軸對稱后,得到的解析式是 y a x h2k ； 3. 關于原點對稱 y 2 a x bx 關c于原點對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2 ax bx c ； y a x 2 h是 關k 于原點對稱后,得到的解析式y(tǒng) a x h2k ； 是 2 ax bx c 2

14、b； 4. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉 180） y 2 a x bx 關c于頂點對稱后,得到的解析式y(tǒng) 2a 是 a x h2k y a x h2k 關于頂點對稱后,得到的解析式是 y 5. 關于點 m ,n 對稱 y a x h 2m 22n k y a x h2k 關于點 m ,n 對稱后,得到的解析式是 依據對稱的性質,明顯無論作何種對稱變換,拋物線的形狀確定不會發(fā)生 變化,因此 a永久不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時,可以依據題意或 便利運算的原就,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知 第 7 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 的拋物線）的頂點坐標及開口

15、方向,再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方 向,然后再寫出其對稱拋物線的表達式 十,二次函數與一元二次方程： 1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與 一元二次方程 ax 2 bx c 0 是二次函數 y ax 2 bx 圖象與 x 軸的交點個數： x 軸交點情形）： c 當函數值 y 0時的特殊情形 . 當 b 24ac 0 時,圖象與 x 軸交于兩點 A x1 ,0 ,B x2 ,0 x1 x2 ,其中的 x1 ,x2 2是一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的兩根這兩點間的距離 2b 4ac AB x2 x1 a . 當 0 時,圖象與 x 軸只有一個交點； 當 0 時,圖象

16、與 x 軸沒有交點 . 1 當 a 0 時,圖象落在 x 軸的上方,無論 x 為任何實數,都有 y 0 ； 2 當 a 0 時,圖象落在 x 軸的下方,無論 x 為任何實數,都有 y 0 22. 拋物線 y ax bx c 的圖象與 y 軸確定相交,交點坐標為 0 , c ； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與 x 軸的交點坐標,需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤梢话闶睫D化為頂 點式； 依據圖象的位置判定二次函數 y 2 ax bx c 中 a , b , c 的符號,或由二次函 數中 a , b , c 的符號判定圖象的位置,要數形結

17、合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的 點坐標,或已知與 x 軸的一個交點坐標,可由對稱性求出另一個交點坐標 . 2 與二次函數有關的仍有二次三項式,二次三項式 ax bx ca 0 本身就是所 含字母 x 的二次函數；下面以 a 0 時為例,揭示二次函數,二次三項式和一元 第 8 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 二次方程之間的內在聯(lián)系： 0拋物線與 x 軸 二次三項式的值 一元二次方程有兩個不相等實根 有兩個交點 可正,可零,可負 0拋物線與 x 軸 二次三項式的值 只 有 一 個 交 為非負 點 0拋物線與 x 軸 二次三項式的值 無交點 恒為正 二次

18、函數圖像參考： y=2x 2y=x 2一元二次方程有兩個相等的實數根 一元二次方程無實數根 . y= x 2 y=2x 2y=2x-4 22y=2x-4 2-3 y=2 x 2 +2 y=2 x2 y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2y=2 x 2-4 y=-2x y= - x2 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2y= -x 22第 9 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 剎車距離 何時獲得最大利潤 十一,函數的應用 最大面積是多少 （二） 二次函數考查重點與常見題型 1 考查二次函數的定義,性質,有關試題常顯現在選擇題中 ,如： 已知以 x 為自變量的二次函數 y

19、 m 2 2 x m2m2 的圖像經過原點, 就 m 的值 是 2 綜合考查正比例,反比例,一次函數,二次函數的圖像,習題的特點是 在同始終角坐標系內考查兩個函數的圖像,試題類型為選擇題, 如： 如圖,函數 y 2 kx k y 和 k k x 0 在同始終角坐標系中圖象可能是圖中的 3.考查用待定系數法求二次函數的解析式, 有關習題顯現的頻率很高, 習題類型 有中檔解答題和選拔性的綜合題,如： 已知一條拋物線經過 0,3,4,6兩點,對稱軸為 x 53 ,求這條拋物線的解析式； 4.考查用配方法求拋物線的頂點坐標, 對稱軸, 二次函數的極值, 有關試題為解 答題, 例如： 已知拋物線 y 2

20、 ax bx c（ a 0）與 x 軸的兩個交點的橫坐標是 1, 3,與 y 軸交點的縱坐標是 3 2（ 1）確定拋物線的解析式； （ 2）用配方法確定拋物線的開口方向,對稱軸 和頂點坐標 . 第 10 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 5考查代數與幾何的綜合才能,常見的作為專項壓軸題； 【例題經典】由拋物線的位置確定系數的符號 c 2 M b, 例 1 （1）二次函數 y ax bx c 的圖像如圖 1,就點 a 在（ ） A第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限 （ 2）已知二次函數 y=ax2+bx+c（ a 0）的圖象如圖 2 所示, .就以下結論： a,b 同號；當 x=1

21、 和 x=3 時,函數值相等； 4a+b=0；當 y=-2 時, x 的值只能取 0.其中正確的個數是（ ） A 1 個 B2 個 C 3 個 D4 個 1 2 方以下結論： abO； 4a+cO,其中正確結論 的個數為 A 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D 4 個 答案： D 會用待定系數法求二次函數解析式 例 3.已知：關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一個根為 x=-2,且二次函數 y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線 x=2,就拋物線的頂點坐標為 A2 ,-3 B.2,1 C2,3 D3,2 答案： C 例 4,如圖（單位： m）,等腰三角形 ABC 以 2 米/

22、秒的速度沿直線 L 向正方形 移動,直到 AB 與 CD 重合設 x 秒時,三角形與正方形重疊部分的面積為 ym2 （ 1）寫出 y 與 x 的關系式； （ 2）當 x=2,時,y 分別是多少？ 積 的 一 （ 3）當重疊部分的面積是正方形面 半時, 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標, 對稱軸 . 第 11 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 15例 5,已知拋物線 y= 2x2+x- 2 （ 1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸 （ 2）如該拋物線與 x 軸的兩個交點為 A,B,求線段 AB 的長 例 6, “已知函數 y 12 x bx c 的圖象經過點 A（c, 2）, 2求證：這

23、個二次函數圖象的對稱軸是 污染了無法辨認的文字； x=3；”題目中的矩形框部分是一段被墨水（ 1）依據已知和結論中現有的信息,你能否求出題中的二次函數解析式？ 如能,請寫出求解過程,并畫出二次函數圖象；如不能,請說明理由； （ 2）請你依據已有的信息,在原題中的矩形框中,填加一個適當的條件, 把原題補充完整； 點評： 對于第（ 1）小題,要依據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數 解析式,就要把原先的結論“函數圖象的對稱軸是 x=3”當作已知來用,再結 合條件“圖象經過點 A（c, 2）”,就可以列出兩個方程了,而解析式中只有 兩個未知數,所以能夠求出題中的二次函數解析式；對于第（ 2）小題

24、,只要給 出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（ 1）小題中的解析式就可以了；而 從不同的角度考慮可以添加出不同的條件,可以考慮再給圖象上的一個任意點 的坐標,可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等； y 解答 （ 1）依據 1 2 x bx c 的圖象經過點 A（ c,2）,圖象的對稱軸是 x=3, 212 c bc c 2, 2得 2b13, 2b3, 解得 c 2. 第 12 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 x 所以所求二次函數解析式為 y 12 x 3x 2. 圖象如以下圖； 212 x 3x 20,解得 x1 35 , x2 35. （ 2）在解析式中令 y=0,得

25、2所以可以填“拋物線與 x 軸的一個交點的坐標是（ 3+ 5,0 ”或“拋物線與 軸的一個交點的坐標是 3 5 ,0. 令 x=3 代入解析式,得 y 5, 2所以拋物線 y 12 x 3x 2的頂點坐標為 3, 5, 22所以也可以填拋物線的頂點坐標為 3, 5等等； 2函數主要關注：通過不同的途徑（圖象,解析式等）明白函數的具體特點；借 助多種現實背景懂得函數；將函數視為“變化過程中變量之間關系”的數學模 型；滲透函數的思想；關注函數與相關學問的聯(lián)系； 用二次函數解決最值問題 例 1 某產品每件成本 10 元,試銷階段每件產品的銷售價 x（元） .與產品的日 銷售量 y（件）之間的關系如下

26、表： x 1 52 03 0（ 元 ） y 2 52 01 0（ 件 ） 如日銷售量 y 是銷售價 x 的一次函數 （ 1）求出日銷售量 y（件）與銷售價 x（元）的函數關系式； （ 2）要使每日的銷售利潤最大,每件產品的銷售價應定為多少元？ .此時 每日銷售利潤是多少元？ 與相像三角形的綜合 例： 6如圖,拋物線經過 （ 1）求出拋物線的解析式； A4,0, B1,0, C0, 2三點 （ 2）P 是拋物線上一動點,過 P 作 PM x 軸,垂足為 M,是否存在 P 點,使得以 A,P,M 為頂點的三 角形與 OAC 相像？如存在,請求出符合條件的點 P 的坐 標 ； 如 不 存 在,請說明

27、理由； 第 13 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 二次函數應用題典例剖析 小強在一次投籃訓練中,從距地面高 1.55 米處的 O 點投出一球向籃圈中 心 A 點投去,球的飛行路線為拋物線,當球達到離地面最大高度 米時,球 移動的水平距離為 2 米現以 O 點為坐標原點,建立直角坐標系（如以下圖）, 測得 OA 與水平方向 OC 的夾角為 30o, A,C 兩點相距 米 （ 1）求點 A 的坐標； （ 2）求籃球飛行路線所在拋物線的解析 式； （ 3）判定小強這一投能否把球從 O 點直 接 投入 籃圈 A 點（排除籃板球）,假如能的, 請 說明理由； 假如不能,那么前后移動多少米,就能使剛

28、才那一 投直接命中籃圈 A 點了（結果可保留根號） 分析：（ 1）利用直角三角形的邊角關系得到 OC 的長,可以確定點 A 的 坐標（ 2）依據球到達的最大高度和移動的水平距離確定拋物線的頂點坐標, 設出拋物線的頂點式, 然后把 O（0,0）代入頂點式, 求出拋物線的解析式 （3） 把點 A 的坐標代入拋物線的解析式,發(fā)覺拋物線的兩邊不等,說明點 A 不在拋 物線上,那么小強不能從 O 點把球投入把 代入拋物線求出 x 的值,得 到小強后退的距離 第 14 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 點撥：題設結合實際情形給出了確定數與量的關系,要求在分析的基礎上直 接寫出函數關系式,并進行應用；解

29、答的關鍵是認真分析題意,正確寫出數量 關系式； 二次函數與面積 如圖,已知平面直角坐標系 xOy 中,點 A（ m,6）,B（n,1）為兩動點, 其中 0m 3,連接 OA, OB, OAOB （ 1）求證： mn=6； （ 2）當 S AOB=10 時,拋物線經過 A, B 兩點且以 y 軸為對稱軸,求拋物 線對應的二次函數的關系式； 第 15 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 （ 3）在（ 2）的條件下,設直線 AB 交 y 軸于點 F,過點 F 作直線 l 交拋 物線于 P, Q 兩點,問是否存在直線 l,使 S POF： SQOF =1： 3？如存在,求出 直線 l 對應的函數關系

30、式；如不存在,請說明理由 分析：（ 1）作 BCx 軸于 C 點, ADx 軸于 D 點,證明 CBO DOA, 利用線段比求出 mn （ 2）由（ 1）得 OA=mBO 推出 1 OB.OA=10,依據勾股定理求出 2mn 的值然后可得 A, B 的坐標以及拋物線解析式 （ 3）假設存在直線 l 交拋物線于 P, Q 兩點,使 PF 1 ,作 PQ 3PMy 軸于 M 點, QNy 軸于 N 點,設 P 坐標為（ t,t 2+10）, 證明 PMF QNF 推出 t 值,繼而可解出點 P, Q 的坐標 （三） 二次函數錯例分析 第 16 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 在解決與二次函數

31、有關的問題時,往往由于審題不清,考慮不周而錯解,為 幫忙大家訂正錯誤 ,正確靈敏地應用二次函數的圖像及性質,解決有關二次函數 問題 ,現將常見緣由所造成的錯誤剖析如下： 例 1：假如函數 y= k 3 x23 k 2 kx 1 是二次函數, 那k 的值確定是 k 么 錯解：依據二次函數的定義,得： k 23k+2=2, 解得 k=0 或 k=3； 當 k=0 或 k=3 時,這個函數是二次函數 正解：依據二次函數的定義,得： k 23k+2=2, 解得 k=0 或 k=3； 又k30, k3 當 k=0 時,這個函數是二次函數 點撥：二次函數二次項系數不為 0 是個易錯點； 例 2,求二次函數

32、 y 2 x 4 x 的頂點坐標 22 2錯解： y 2x 4 x = y 2 x 2 8 ,所以頂點坐標（ 2, 8） y 2x 22x 2x 22x 1 1 2x 1 22正解： 得頂點坐標（ 1, 2） 點撥：同學們應記住配方到 y=ax+h2+m 形式時 x+h=0 得頂點橫坐標 x h , 頂點縱坐標就是 m；該同學配方錯誤,在提取公因數 2 的時候一次項沒提出來, 同時按該同學配方結果 8 這個整體才代表上面配方結果中的 m； 例 3： 二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象如以下圖,且 P=|a b+c|+|2a+b|, 第 17 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 Q=|a+

33、b+c|+|2a b|,就 P, Q 的大小關系為 PQ 錯解： p q正解：依據圖象知道： 當 x= 1 時, y0, a b+c0； 當 x=1 時, y 0, a+b+c 0； 對稱軸在 x=1 的右邊, b1,兩邊同乘以 2a（ 2a0）得 2a 2a+b 0； a 0, b0, 2ab 0； P=|a b+c|+|2a+b|= a+b c+2a+b=a+2bc, Q=|a+b+c|+|2a b|=a+b+c 2a+b=a+2b+c, 圖像過原點 c=0 P Q= a+2b c a+2b+c=2ac=2a0PQ 點撥：錯解形式太多,無法全部寫出；這里應留意： a 準備二次函數開口方 向

34、,由圖象開口向下判定出 a0,由對稱軸在 x=1 右側,得出 2a b 1,兩邊同 乘以 2a 得： 2a+b0,當 x=1時圖象在 x軸下方,得出 y 0,即 ab+c0當 x=1 時圖象在 x 軸上方,得出 y 0,即 a+b+c0,然后把 P,Q 化簡利用作差法比 較大小 例 4：如圖是二次函數 y=ax2+bx+c 圖象的一部分,圖象過點 A（ 3, 0）, 對稱軸為 x= 1給出兩個結論： b2 4ac； 5ab它們正確的個數是 第 18 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 錯解： b24ac 正確, 5ab 看不出,所以不正確；它們正確的個數是 1 個； 正解： 圖象與 x 軸明

35、顯應有兩個交點 b24ac 0, 即 b 24ac,正確； 把 x=1, x= 3 代入解析式得 a+b+c=0,9a3b+c=0,兩邊相加整理得 5ab=c 0,即 5ab 因此給出的兩個結論都正確； 點撥：竅門就在當結論顯現 b24ac 形式時, 只考慮二次函數圖像與 x 軸交 點的個數； 當顯現 2a 和 b 形式時只考慮 x b 的符號或者值是多少, 當顯現本 2a 題 5ab 或 3a2c 形式時, 應想到由幾個等式加減或其它變形而來, 需要很高的 制造性,這是試券中填空,選擇題中的把關題； 例 5：已知：二次函數 y=x24xa,以下說法錯誤選項） （ A,當 x 1 時, y 隨

36、 x 的增大而減小 B,如圖象與 x 軸有交點,就 a 4 C,當 a=3 時,不等式 x 24x+a 0 的解集是 1 x 3 D,如將圖象向上平移 1 個單位,再向左平移 3個單位后過點（ 1,2）, 就 a=3 錯解：選 C 正解：解：二次函數為 y=x 24xa,對稱軸為 x=2,圖象開口向上就： A,當 x 1 時, y 隨 x 的增大而減小,應選項正確； B,如圖象與 x 軸有交點,即 =16+4a0就 a4,應選項錯誤； C,當 a=3 時,不等式 x 24x+a 0 的解集是 1 x 3,應選項正確； D,將圖象向上平移 1 個單位,再向左平移 3 個單位后所得函數解析式是 y

37、=（x+3）24（x+3）a+1 函數過點（1,2）,代入解析式得到： 1644a+1=2,解得 a=3故 第 19 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 選項正確 應選 B 1,0 y=x 2-4x+3 3,0 點撥：判定 C 項正確關鍵點在 理 解 二 次 函 數 y=x 2 4x+3,與一元二次方程 x24x+3=0 的關系,x24x+3=0 的根為 x=1,x =3.中意函數 y=x24x+30 的 x 是圖像在 1,0 ,3,0之間 x 軸下方的部分,所以 x 24x+3 0 的解集是 1 x 3 正確； 例 6：對于二次函數 y=ax2+bx+c（ a0）,我們把使函數值等于 0

38、的實數 x 叫做這個函數的零點,就二次函數 是（ ） y=x 2mx+m2（ m 為實數）的零點的個數 A, 1 B, 2 C, 0 D,不能確定 錯解： D 正解：由題意可知： 函數的零點也就是二次函數 y=ax2+bx+c 與 x 軸的交點 =（m）241（ m2） =m24m+8=（ m2） 2+4（ m2）2 確定為非負數 （ m2）2+4 0 二次函數 y=x 2mx+m2（ m 為實數）的零點的個數是 2 應選 B 點撥：判定二次函數 y=x2mx+m2 的零點的個數,也就是判定二次函 數 y=x2mx+m2 與 x 軸交點的個數；依據 與 0 的關系即可作出判定 例 7: 拋物線

39、 y=x24x5 與 x 軸交于點 A,B,點 P 在拋物線上, 如PAB 的面積為 27,就中意條件的點 P 有（ ） y=x 2-4x-5 -1,0 A O P 5,0 B A, 1 個 B, 2 個 C,3 個 D, 4 個 解：拋物線 y=x24x5 與 x 軸交于點 A, B 兩點 第 20 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 0=x24x5, x1=1, x2=5, AB=5（1）=6, PAB 的面積為 27, 點 P 的縱坐標的確定值為 2276=9, 當縱坐標為 9 時, x 24x5=9, x 24x14=0, 0, 在拋物線上有 2 個點； 當縱坐標為 9 時, x 2

40、4x5=9, =0, 在拋物線上有 1 個點； 中意條件的點 P 有 3 個,應選 C 點撥：用到的學問點為, x 軸上的點的縱坐標為 0； 0,與拋物線有 2個交點； =0,與拋物線有 1 個交點, 0,與拋物線沒有交點要留意：如 PAB 的面積為 27；就點 P 的縱坐標的確定值為 9,有同學馬虎寫成點 P 的縱 坐標為 9 顯現錯誤； 例 8：某公司經銷一種綠茶,每千克成本為 50 元.市場調查發(fā)覺,在一段 時間內,銷售量 w（千克）隨銷售單價 x（元 /千克）的變化而變化,具體關系式 為： w 2x+240.設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為 y（元）,解答以下問 題： （ 1）求 y

41、 與 x 的關系式； 第 21 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 （ 2）當 x 取何值時, y 的值最大？ （ 3）假如物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于 90 元/千克,公司想 要在這段時間內獲得 2250 元的銷售利潤,銷售單價應定為多少元？ 錯解（ 1）由于 y x.wx. 2x+240 2x 2+240 x, 所以 y 與 x 的關系式為： y 2x 2+240 x. （ 2）由于 y 2x2+240 x 2x60 2+7200, 所以當 x60 時, y 的值最大 . 2 x602+72002250. （ 3）當 y2250 時,可得方程 解這個方程,得 x1 60+15

42、11 , x2 60 15 11 . 所以當銷售單價為 60+15 11 元,或 60 15 11 元時,可獲得銷售利潤 2250 元. 剖析 題目中明確說明銷售利潤為 y 元,而銷售單價 x 元/千克中含有成本 為 50 元 /千克,所以此題在求銷售利潤時, 錯誤地認為銷售單價就是純利潤的單 價,另外,求得的銷售單價有一個最高限價,走出這個最高限價的應舍去 . 正解（ 1）由于 yx50.wx50 . 2x+240 2x 2 +340 x 12022, 所以 y 與 x 的關系式為： y 2x2+340 x 12022. （ 2）由于 y 2x 2+340 x12022 2x 85 2+24

43、50, 所以當 x85 時, y 的值最大 . （ 3）當 y2250 時,可得方程 2 x852+24502250. 解這個方程,得 x1 75, x2 95. 依據題意, x295 不合題意應舍去 . 所以當銷售單價為 75 元時,可獲得銷售利潤 2250 元. 點撥 利用二次函數求解實際問題時, 除了要能正確求解外, 仍要留意使 求得的結果符合實際意義 .第 22 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 0 的條件是（ ） 例 9：不論 x 為何值,函數 y=ax2+bx+c（a0）的值恒大于 A, a 0,0 B, a0,0 C,a 0, 0 D, a 0,0 錯解：選 C 正解：欲保證

44、 x 取一切實數時,函數值 y 恒為正,就必需保證拋物線開口 向上,且與 x 軸無交點；就 a0 且 0 應選 B 點撥：當 x 取一切實數時,函數值 y 恒為正的條件：拋物線開口向上,且 與 x 軸無交點； x 軸 當 x 取一切實數時,函數值 y 恒為負的條件：拋物線開口向下,且與 無交點 例 10： 以下命題： 如 a+b+c=0,就 b24ac0； 如 ba+c,就一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有兩個不相等的實數根； 如 b=2a+3c,就一元二次方程 ax2+bx+c 有兩個不相等的實數根； 如 b 24ac0,就二次函數的圖象與坐標軸的公共點的個數是 2 或 3 其中正確選

45、項（ ） A, 只有 B,只有 C,只有 D,只有 錯解：選 C 正解： b 24ac=（ ac） 2 4ac=（a c） 20,正確； 中由 ba+c 不能推出結論,錯誤； b24ac=4a2+9c 2+12ac 4ac=4（a+c） 2+5c 2,由于 a0,故（ a+c）2與 c 2 不會同時為 0,所以 b24ac 0,正確； 二次函數與 y 軸必有一個交點,而這個交點有可能跟圖象與 x 軸的交點 重合,故正確 第 23 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 應選 B 點撥：小題利用移項與變形 b24ac 與 0 的大小關系解決；處理第 小題時不要疏忽二次函數 y=ax2+bx+c 與

46、 y 軸的交點情形 例 11.如圖,拋物線 y = x 2+ 1 與雙曲線 y = x k 的交點 A 的橫坐標是 1,就關 y于 x 的不等式 k + x x 2 + 1 1 B x -1 C0 x 1 D- 1 x 1 正解： k x + x 2 + 1 0 k x （ x 2 + 1） 所求不等式的解就是： y1 = x 與 y2 k = （x 2 + 1 ） 圖像上 y1y2 的 x 的取值范疇； 拋物線 y=x2+1 與雙曲線 y= k 的交點 A 的橫 y 1 坐 x y2 標是 1, 拋物線 y=（x2+1）與雙曲線 y= k x 的交點 B 的橫坐標是 1,如右圖所 示 關于

47、x 的不等式 k x +x 2+1 0 的解集是 1x0應選 D 點評：此題主要考查了二次函數與不等式解答此題時,用數形結合依據 圖象解不等式； 難點在于要找 y=x2+1 關于 x 軸對稱的圖像 y2 = （ x 2 + 1）是個難點 ； 例 12：關于二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象有以下命題： 當 c=0 時,函數的圖象經過原點； 第 24 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 當 c 0,且函數的圖象開口向下時,方程 的實根； 函數圖象最高點的縱坐標是 4ac b2； 4a 當 b=0 時,函數的圖象關于 y 軸對稱 其中正確命題的個數是（ ） A, 1 個 B,2 個 C, 3

48、 個 D ,4 個 錯解：選 C ax2+bx+c=0 必有兩個不相等 正解：（1）c 是二次函數 y=ax 2+bx+c 與 y 軸的交點,所以當 c=0 時,函數 的圖象經過原點； （ 2）c0 時,二次函數 y=ax2+bx+c 與 y 軸的交點在 y 軸的正半軸,又因 為函數的圖象開口向下,畫草圖可知方程 ax2+bx+c=0 必有兩個不相等的實根； （ 3）當 a0 時,函數圖象最高點的縱坐標是 4ac b2；當 a0 時,函數 4a 圖象最低點的縱坐標是 4ac b2； 4 a （ 4）當 b=0 時,二次函數 y=ax2+bx+c 變?yōu)?y=ax 2+c,又由于 y=ax 2+c

49、 的圖 象與 y=ax2 圖象相同,所以當 b=0 時,函數的圖象關于 y 軸對稱 四個都正確,應選 D 點撥：留意,二次函數 y=ax 2+bx+c 的最值：當 a 0 時,函數的最大值是 4ac b4 a 2 ；當 a 0 時,函數的最小值是 4 ac b 2 4a 數學廣角 第 25 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 工人王師傅有一塊鐵皮,拱形邊緣呈拋物線狀, MN=4dm,拋物線頂點處 到邊 MN 的距離是 4dm,要在鐵皮上截下一矩形 ABCD,使矩形頂點 B,C 落在 邊 MN 上, A,D 落在拋物線上,王師傅想截下的矩形鐵皮的周長等于 8dm,你 能否幫他實現？ 析解：由

50、“拋物線 ”聯(lián)想到二次函數；如圖 4,以 MN 所在的直線為 x 軸, 點 M 為原點建立直角坐標系；設拋物線的頂點為 P, 就 M（ 0,0）, N（4, 0）, P（2,4）；用待定系數 法求得拋物線的解析式為 y x 24x ； 設 A 點坐標為（ x,y）,就 AD=BC=2x4, AB=CD=y； 2AD 2y 2 2x 于是 l2AB 2AD 2y 2 2x 4 2 2 x 4x 22x 4 2 2x 12x 4 2 x 2 4x 22x 4 2x 212x 8 ；且 x 的取值范疇是 0 x4（x2）； 2x 212x 88 ,即 x 26x 80 ；解得 x 1 2,x 2 4

51、 ； 如 l=8,就 而 0 x4（ x2）；故 l的值不行能取 8,即截下的矩形周長不行能等于 8dm； 所以我不能幫他實現； 二次函數對應練習試題 一,選擇題 1. 二次函數 y x2 4 x 7的頂點坐標是 C.（ 2, 11） D. （ 2, B.（ 2,7） A.2, 11 3） 2. 把拋物線 y 2 2 x 向上平移 1 個單位,得到的拋物線是（ D. ） 2 2 x 12 2 x 1 B. y 2 2 x 1 C. y 2 2 x 1y A. y 第 26 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 3.函數 y kx2k y 和 k k x 0 在 同始終角坐標系 中圖象可能是圖

52、中的 y ax2bx ca 0 的圖象如以下圖 ,就以下結論 : 4.已知二次函數 a,b 同號;當 x 1 和 3 時,函數值相等 ; 4a b 0 當 y 2 時, x x 的值只能取 0.其中正確的個數是 個 個 C. 3 個 D. 4 個 25.已知二次函數 y ax bx ca 0 的頂點坐標 （-1,）及部分 2圖象 如圖 ,由圖象可知關于 x 的一元二次方程 ax bx c 0的兩 個根分別是 x1 和 x2 （ ） . 6. 已知二次函數 y 2 ax bx c 的圖象如以下圖, 就點 ac,bc 在 （ ） A第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限 2 22x x 7.

53、方程 x 的正根的個數為（ ） 個 個 個. 3 個 8.已知拋物線過點 A2,0,B-1,0, 與 y 軸交于點 C,且 OC=2.就這條拋物線的解析 式為 第 27 頁,共 50 頁A. y 2 x x 2學習好資料 D. 歡迎下載 2 x x 2B. y 2 x x 2C. y 2 x x 2 或 y 2 x x 2y 2 x x 2 或 y 二,填空題 9二次函數 y 2 x bx 3 的對稱軸是 x 2 ,就 b ；x 的取值范 10已知拋物線 y=-2（ x+3）2+5,假如 y 隨 x 的增大而減小,那么圍是. 11一個函數具有以下性質：圖象過點（ 1,2）,當 x0時,函數值

54、y 隨自變量 x 的增大而增大；中意上述兩條性質的函數的解析式是 （只寫一個即可）； 212拋物線 y 2 x 2 6 的頂點為 C,已知直線 y kx 3 過點 C,就這條直線與 兩坐標軸所圍成的三角形面積為 ； 2 213. 二次函數 y 2 x 4 x 1的圖象是 y 2 x bx c 的圖象向左平移 1 個單位 ,再 由 向下平移 2 個單位得到的 ,就 b= ,c= ； 14如圖,一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在線段 AB 上離中心 M 處 5 米的地方,橋的高度是 取 3.14. 三,解答題： 15.已知二次函數圖象的對稱軸是 5 0, 2 . 1求

55、這個二次函數的解析式 ; x 3 0 ,圖象經過 1,-6,且與 y 軸的交點為 2當 x 為何值時 ,這個函數的函數值為 0. 第 15 題圖 3當 x 在什么范疇內變化時 ,這個函數的函數值 y 隨 x 的增大而增大 . 第 28 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 h v0t 12 gt 16.某種爆竹點燃后,其上上升度 h（米）和時間 t（秒）符合關系式 2（ 0t2）,其中重力加速度 秒的初速度上升, g 以 10 米/秒 2 運算這種爆竹點燃后以 v0=20 米/ （ 1）這種爆竹在地面上點燃后,經過多少時間離地 15 米？ （ 2）在爆竹點燃后的 秒至 秒這段時間內,判定爆竹是

56、上升,或是 下降,并說明理由 . 17.如圖,拋物線 y 2 x bx c 經過直線 y x 3 與坐標軸 的兩個交點 A ,B,此拋物線與 x 軸的另一個交點為 C, 拋物線頂點為 D. （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）點 P 為拋物線上的一個動點, 求S APC ：SACD 5 ： 使 4 的點 P 的坐標； 18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料 （這里的代銷是指廠家先免費供應貨 源,待貨物售出后再進行結算,未售出的由廠家負責處理） 當每噸售價為 260 元時,月銷售量為 45 噸該建材店為提高經營利潤,預備實行降價的方式進行 促銷經市場調查發(fā)覺：當每噸售價每下降 10 元時,

57、月銷售量就會增加 7. 5噸綜合考慮各種因素, 每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用 100元設 每噸材料售價為 x（元）,該經銷店的月利潤為 y（元） 第 29 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 （ 1）當每噸售價是 240 元時,運算此時的月銷售量； （ 2）求出 y 與 x 的函數關系式（不要求寫出 x 的取值范疇）； （ 3）該建材店要獲得最大月利潤,售價應定為每噸多少元？ （ 4）小靜說：“當月利潤最大時, 月銷售額也最大”你認為對嗎？請說明理 由 練習試題答案 一,選擇題, 1 A 2C 3A 4B 5 D 6B 7 C 8 C 二,填空題, 9 b410 x-3 11如

58、y 2 2 x 4, y 2x 4 等（答案不唯獨） 12 1 13-8 71415 三,解答題 151設拋物線的解析式為 y 2 ax bx c ,由題意可得 3 x 53,c 5y 所以 1 x 22 b 2a 3ab5c 6a 解得 1 ,b 2c 2222 x1 或-5 2 x316（1）由已知得, 15 20t 110 t 2 ,解得 t1 3, t 21 當 t 3 時不合題意,舍去； 2所以當爆竹點燃后 1 秒離地 15米（ 2）由題意得, h 5t 2 20t 5t 2 2 20 , 可知頂點的橫坐標 t 2 ,又拋物線開口向下,所以在爆竹點燃后的 1.5 秒至 108 秒這段

59、時間內,爆竹在上升 第 30 頁,共 50 頁學習好資料 歡迎下載 9 3b c 017（ 1）直線 y x 3 與坐標軸的交點 A（ 3,0）,B（0, 3）就 c 3 解 b 2得 c 32所以此拋物線解析式為 y x 2 x 3（ 2）拋物線的頂點 D（1, 4）,與 x 軸 1 2 12 4 a 2a 3 : 4 4 5: 4 的另一個交點 C（ 1,0）.設 Pa, a 2a 3 ,就 2 2 . 2化簡得 a 2a 3 5當 a 2 2a 30 時, a 2 2 a 3 5 得 a 4, a 2 P（ 4,5）或 P（ 2, 5） 2 2 2當 a 2a 3 0 時, a 2a 3

60、 5 即 a 2a 2 0 ,此方程無解綜上所述, 中意條件的點的坐標為（ 4,5）或（ 2,5） 45 18（1） 260 240 y =60（噸）（2） x 10045 260 x 7.5 ,化簡得： 10 10 y 3 2 x 315x 24000 y （3） 3 2 x 315x 24000 3 x 2 210 9075 444紅星經銷店要獲得最大月利潤,材料的售價應定為每噸 210 元 （ 4）我認為,小靜說的不對 理由：方法一：當月利潤最大時, x 為 210 元,而對于月銷售額 W x45 260 x 7.5 3 x 160 2419200 來說, 10 當 x 為 160 元時