基于空間連續(xù)尺寸場的動態(tài)均勻化方法

1、基于空間連續(xù)尺寸場的動態(tài)均勻化方法論文摘要：以均勻化理論為根底，將各向同性蜂窩狀微孔結(jié)構(gòu)作為材料描述方式，提出了基于空間連續(xù)尺寸場的動態(tài)均勻化方法,克服了動態(tài)優(yōu)化中的局部模態(tài)現(xiàn)象。不同于將微孔結(jié)構(gòu)尺寸變量依附于單元或節(jié)點，采用物質(zhì)點對應(yīng)的微孔尺寸作為設(shè)計變量，基于修正過濾公式的形函數(shù)，構(gòu)造了空間連續(xù)的尺寸場，克服了棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定性問題。基于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么，推導(dǎo)了總剛度陣、總質(zhì)量陣等敏度表達式。以動態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)量最小化或最大化為目標(biāo)，體積比為約束，建立了動態(tài)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過二維結(jié)構(gòu)數(shù)值算例對理論方法進行驗證。結(jié)果說明，方法在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中具有可行性和有效性。論文關(guān)鍵詞：

2、拓?fù)鋬?yōu)化,均勻化理論,連續(xù)體結(jié)構(gòu),頻率優(yōu)化,過濾函數(shù)引言近年來受結(jié)構(gòu)靜力拓?fù)鋬?yōu)化開展的推動，結(jié)構(gòu)動力拓?fù)鋬?yōu)化研究方面取得了一定的進展。早期的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化研究均采用了均勻化方法。Xie等提出的漸進式優(yōu)化方法在此方面也有所應(yīng)用。單元變密度方法在結(jié)構(gòu)動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化中存在著局部模態(tài)現(xiàn)象。它指在采用固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)(solidisotropicmicrostructureswithpenalization,SIMP)材料插值模型下，在低密度區(qū)出現(xiàn)的模態(tài)，而這些模態(tài)影響了優(yōu)化收斂的穩(wěn)定性。針對此問題，Pederson采用修正剛度陣將質(zhì)量剛度比限制在一定范圍內(nèi)。朱繼宏等將該現(xiàn)象歸結(jié)為SIMP模型對空洞

3、區(qū)域剛度描述的不合理性，并采用口;型微結(jié)構(gòu)取得了理想的優(yōu)化結(jié)果。彭細(xì)榮等基于拓?fù)渥兞康莫毩⑿酝瑫r懲罰單元剛度陣與質(zhì)量陣，從而防止局部模態(tài)現(xiàn)象。相對于結(jié)構(gòu)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化問題，動響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化的研究進展那么更為緩慢。Ma等最先建立了無阻尼結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)下拓?fù)鋬?yōu)化模型。針對周期鼓勵下的拓?fù)鋬?yōu)化問題，Jog提出一個動態(tài)柔順度性能指標(biāo)，該指標(biāo)不僅適用于有阻尼結(jié)構(gòu)，且優(yōu)化模型具有減振降噪的作用。Du等以聲壓最小化為目標(biāo)建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，討論了不同鼓勵頻率下平板的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。隋允康等推導(dǎo)了頻率響應(yīng)位移幅值敏度分析的伴隨法，實現(xiàn)了該約束條件下的體積最小拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。大多數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果普遍存在著棋盤格和網(wǎng)格依賴

4、性等數(shù)值不穩(wěn)定性問題。以節(jié)點屬性作為設(shè)計變量，通過構(gòu)造空間連續(xù)變量場的方法從優(yōu)化數(shù)學(xué)模型上來克服棋盤格現(xiàn)象。Matsui和Terada提出了節(jié)點均勻化法。與之類似，Rahmatalla等提出節(jié)點變密度法。Glaucio等提出了獲得高分辨率拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的改良節(jié)點變密度法。Belytschko等基于構(gòu)造空間連續(xù)設(shè)計變量場的思想提出了拓?fù)涿枋龊瘮?shù)法。為克服局部模態(tài)現(xiàn)象，提出采用各向同性蜂窩狀微結(jié)構(gòu)作為材料描述模型；以物質(zhì)點對應(yīng)的微孔尺寸為設(shè)計變量，通過構(gòu)造空間連續(xù)尺寸場消除各類數(shù)值不穩(wěn)定性問題。最后通過二維動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值算例考察方法的可行性和有效性。1復(fù)合材料的均勻化理論均勻化理論是通過引入微孔結(jié)

5、構(gòu)來求解材料的宏觀特性參數(shù)，尋求一種用宏觀量來表達微觀量變化特征的方法。設(shè)為一小量，代表微觀尺度與宏觀尺度度量之比，x和y分別為材料宏觀和微觀尺度量度，且。彈性常數(shù)表達為(1)依賴于宏觀量x和微觀量y，將其展開為的漸進式為(2)對于復(fù)合材料，將位移表達式代入到平衡方程中，即可得到均勻化彈性張量表達式為(3)即(4)在均勻化拓?fù)鋬?yōu)化方法中，常見平面微孔結(jié)構(gòu)包括矩形微孔結(jié)構(gòu)和蜂窩微孔結(jié)構(gòu)等。這里采用如圖1所示的蜂窩微孔結(jié)構(gòu)，此類微孔結(jié)構(gòu)具有近似的各向同性性質(zhì)，能夠簡化拓?fù)鋬?yōu)化求解中微孔結(jié)構(gòu)的空間方位角確定的問題。假設(shè)微孔結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)為r，微孔結(jié)構(gòu)相對密度與尺寸變量的關(guān)系為(5) 圖1蜂窩微孔結(jié)構(gòu)F

6、ig.1honeycombmicrostructure為了計算不同微孔尺寸下對應(yīng)的材料特性，采用如圖2所示的網(wǎng)格離散模型。根據(jù)式(4)可數(shù)值計算出不同的彈性常數(shù)。在此根底上，采用最小二乘法擬和得到材料特性曲線。設(shè)實心材料的彈性模量210GPa，泊松比0.3，密度7800kg/m，蜂窩微孔結(jié)構(gòu)相對密度與彈性張量分量之間的關(guān)系如圖3所示。圖2蜂窩結(jié)構(gòu)離散模型Fig.2FEmeshforthehoneycombcell圖3密度與彈性常數(shù)間的關(guān)系Fig.3therelationshipbetweendensityandelasticityconstants引起局部模態(tài)的原因之一是在低密度區(qū)域單元質(zhì)量剛

7、度比過大。在SIMP模型中，單元剛度陣和質(zhì)量陣分別為，。其中p為懲罰因子，和分別為固有單元剛度陣和質(zhì)量陣。由于僅對剛度懲罰，低密度單元質(zhì)量大而剛度小，當(dāng)單元密度趨于零的極端情況下，質(zhì)量剛度比趨于無窮大。這里設(shè)懲罰因子p=3，當(dāng)相對密度時，相對彈性質(zhì)量與相對彈性模量的比值為。均勻化理論中的材料密度和彈性系數(shù)是一種真實;的物理關(guān)系。同樣采用上述數(shù)據(jù)，各彈性系數(shù)相對值與密度的比值為，。由上述兩種方法下的密度與彈性系數(shù)比值比照可知，均勻化法采用微結(jié)構(gòu)替代了變密度法中假設(shè)函數(shù)關(guān)系，合理近似了空洞材料的剛度，使低密度區(qū)域的質(zhì)量剛度比值保持在一定范圍內(nèi)，從而能自然防止局部模態(tài)現(xiàn)象。2空間連續(xù)尺寸場龍凱等指出

8、基于低次單元形函數(shù)構(gòu)造了空間連續(xù)密度場的缺乏之處。首先，空間變量場連續(xù)而不光滑，無法完全抑制棋盤格現(xiàn)象和消除網(wǎng)格依賴性。其次，結(jié)構(gòu)分析方法必須采用有限元法，節(jié)點變量數(shù)量和位置受到離散網(wǎng)格的限制。本文假設(shè)蜂窩微孔結(jié)構(gòu)在連續(xù)介質(zhì)中連續(xù)分布，微孔結(jié)構(gòu)可以視為一種材料模式而非子結(jié)構(gòu)。以蜂窩微結(jié)構(gòu)的尺寸作為設(shè)計變量，單元內(nèi)任意一點的尺寸變量r量插值得到，數(shù)學(xué)表達式為(6)式(6)中m為插值區(qū)域內(nèi)尺寸變量的個數(shù)；是插值函數(shù)。如圖4所示，設(shè)物質(zhì)點j具有緊支域，基于過濾方式的插值形函數(shù)表達式為(7)其中(8)或(9)圖4物質(zhì)點j及其支持域Fig.4materialpointjanditssupportdoma

9、in式中，r為過濾半徑，其定義具有網(wǎng)格無關(guān)性；dist(i,j)為物質(zhì)點i和j間的距離。式(8)-(9)中過濾半徑值對應(yīng)結(jié)構(gòu)制造加工最小尺寸和最小孔洞。物質(zhì)點變量確定是其本身及其預(yù)定義領(lǐng)域的有無，方法可稱為物質(zhì)點均勻化法，物質(zhì)點均勻化法不僅能抑制棋盤格現(xiàn)象，還能進一步克服拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果存在著大量多孔結(jié)構(gòu)的缺點。3空間連續(xù)尺寸場的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量與敏度推導(dǎo)結(jié)構(gòu)總剛度陣K、結(jié)構(gòu)總質(zhì)量陣M和結(jié)構(gòu)總體積V表達式分別為(10)(11)(12)式中k，m和V分別表示單元剛度陣、單元質(zhì)量陣和單元體積，M是單元總數(shù)。B是應(yīng)變矩陣；D是彈性矩陣；N是插值矩陣。在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)量如固有特征值的敏度表達式歸

10、結(jié)為總剛度陣、總質(zhì)量陣等的敏度表達式求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法那么，總剛度陣、總質(zhì)量陣和總體積的敏度表達式分別為(13)(14)(15)4拓?fù)鋬?yōu)化建模與求解動態(tài)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分為結(jié)構(gòu)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化和動響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化兩類。結(jié)構(gòu)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化通常以結(jié)構(gòu)一階特征值最大化為目標(biāo)，體積比f為約束建立優(yōu)化模型。在工程最常見的諧響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化中，以區(qū)域內(nèi)關(guān)心自由度振幅平方和最小化為目標(biāo)，體積比f為約束建立優(yōu)化模型。兩類優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如式(16)(17)所示。(16)(17)式中是結(jié)構(gòu)一階特征值；V和V分別表示優(yōu)化后和初始結(jié)構(gòu)體積；是結(jié)構(gòu)特征值列陣；是各階模態(tài)向量組成的模態(tài)矩陣。設(shè)計變量下限用于防止有限元分析的

11、奇異性，這里取值。當(dāng)設(shè)計變量值為1時，由式(15)可得體積敏度敏度為0，為了防止優(yōu)化求解的奇異性，設(shè)計變量上限取值。在諧響應(yīng)優(yōu)化中，關(guān)心自由度振幅平方和，其中是復(fù)振幅u的共軛，L是關(guān)心自由度標(biāo)識矩陣，當(dāng)某自由度振幅為考察對象，矩陣L相應(yīng)對角線元素值為1，其余元素為0；是激振圓頻率；C是總阻尼陣；F是復(fù)載荷振幅列陣。第j階特征值和關(guān)心自由度振幅平方和A的敏度表達式為(18)(19)式中是第j階特征值位移向量，表示-;的實數(shù)局部，伴隨向量滿足伴隨方程(20)設(shè)阻尼陣采用比例阻尼形式，阻尼系數(shù)和為常數(shù)，那么有(21)在每輪優(yōu)化迭代中，采用啟發(fā)式算法更新微孔尺寸變量值，數(shù)學(xué)表達式為，式中上標(biāo)k表示優(yōu)化

12、迭代步數(shù)，運動極限m(0m和阻尼系數(shù)用于保證優(yōu)化迭代的穩(wěn)健性，在動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化問題中，是一種典型的取值。式中(22)其中F是目標(biāo)函數(shù)；l是拉格朗日乘子，可通過滿足體積函數(shù)二分法計算求得。優(yōu)化迭代至尺寸變量相對變化率滿足(23)5二維動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值算例本節(jié)采用二維動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化算例對提出的方法進行驗證。鑒于高階等參元有利于抑制棋盤格現(xiàn)象，為了檢驗算法的有效性，這里采用四節(jié)點平面應(yīng)力單元離散結(jié)構(gòu)。各算例在Matlab2007中編程實現(xiàn)，采用50%體積比約束建立拓?fù)鋬?yōu)化模型。在優(yōu)化迭代終止后，根據(jù)式(5)計算密度值，并采用閾值0.5進行結(jié)果輸出。算例1如圖5所示的短懸臂梁尺寸為3200mmx2000m

13、mx1mm，左端面全支撐，右端面中點處有一質(zhì)量大小為100kg的集中質(zhì)量點，僅計垂直方向的慣性。結(jié)構(gòu)離散為48x30個矩形單元，拓?fù)鋬?yōu)化模型以一階固有特征值最大化為目標(biāo)。當(dāng)采用SIMP插值的單元變密度法進行優(yōu)化，出現(xiàn)局部模態(tài)現(xiàn)象，導(dǎo)致優(yōu)化迭代不收斂。當(dāng)采用48x30個均勻和隨機兩種不同尺寸場描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時，本文方法分別優(yōu)化迭代至50步和53步收斂，兩種不同尺寸場分布下的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果如圖6所示，一階固有頻率優(yōu)化迭代歷程如圖7所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)分別離散為32x20和64x40個矩形單元，最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果如圖8所示。圖5短懸臂梁Fig.5shortcantileverbeam(a)均勻分布(b)隨機分布圖6不

14、同尺寸場分布下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果比照Fig.6comparisonofoptimumtopologywithdifferentsizefield圖7一階固有頻率優(yōu)化迭代歷程Fig.7Historycurveofthefirstorderfrequency(a)32x20(b)64x40圖8不同離散網(wǎng)格和對應(yīng)尺寸場下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果比照Fig.8comparisonofoptimumtopologywithdifferentgirdandsizefield由結(jié)果可知，兩種不同尺寸場分布下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果均未出現(xiàn)類似棋盤格的散亂點現(xiàn)象。不同離散網(wǎng)格下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相似，且表達了網(wǎng)格無關(guān)性。算例2結(jié)構(gòu)尺寸同

15、算例1，右端面中心處無集中質(zhì)量點，右下角點受垂直向下載荷作用，載荷幅值為10kN，激振頻率10Hz，比例阻尼系數(shù)，。拓?fù)鋬?yōu)化模型以載荷作用點垂直方向振幅平方最小化為目標(biāo)。當(dāng)采用48x30個均勻和隨機兩種尺寸場時，分別優(yōu)化迭代69步和77步收斂，兩種不同尺寸場分布下的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)果如圖9所示。(a)均勻分布(b)隨機分布圖9不同尺寸場分布下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.9comparisonofoptimumtopologywithdifferentsizefield6結(jié)論提出了基于空間連續(xù)尺寸場的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化方法。方法基于均勻化理論，采用蜂窩狀微孔結(jié)構(gòu)作為材料描述方式的根底，其近似各向同性簡化

16、了微孔結(jié)構(gòu)方位角確實定問題。同時，合理的剛度描述防止了動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化中局部模態(tài)現(xiàn)象。采用物質(zhì)點對應(yīng)的微孔尺寸為設(shè)計變量，構(gòu)造了具有空間連續(xù)性的尺寸場，在拓?fù)鋽?shù)學(xué)描述中克服了棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定性問題?；趶?fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法那么，推導(dǎo)了總剛度陣、總質(zhì)量陣等敏度表達式。以動態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)量最小或最大化為目標(biāo)，體積比為約束，建立了動態(tài)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。通過二維結(jié)構(gòu)數(shù)值算例驗證了方法的可行性和有效性。參考文獻DuJianbin,OlhoffNiels.Minimizationofsoundradiationfromvibratingbi-materialstructuresusingtopologyoptim

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