補(bǔ)充知識(shí)球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解_第1頁(yè)
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1、補(bǔ)充知識(shí)四球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解球坐標(biāo)系下有:X=rsincos,Y=rsinsin,Z=rcos;可導(dǎo)出:Hr=1,H =r,H=rsin拉普拉斯方程具有如下形式:12u1 2 u1u A = u = r2 r rr + r2sin sin + r2sin2 2= 0采用分離變量法求解。首先把表示距離的變數(shù)r 與表示方向的變數(shù) 和分離,以u(píng)(r, , )=R(r)Y(, )代入12u1 2 u1ur + r2sin += 0r r2rsin r sin 222得Y112Y1 2 R11R r rr = Y sin sin Y sin2 2左邊是 r 的函數(shù),跟(, )無(wú)關(guān);右邊是(,

2、)的函數(shù),跟 r無(wú)關(guān)。要等式成立只有為同一個(gè)常數(shù),設(shè)這個(gè)常數(shù)為 l(l+1)。于是有:d r2 dR l(l + 1)R = 0drdrY112Y1sin sin + Y sin2 2 +l(l + 1)Y = 0常微分方程d r2 dR l(l + 1)R = 0drdr是所謂的歐勒型常微分方程,它的解是Drl+1R(r) = Crl +偏微分方程Y112Y1sin sin + Y sin2 2 +l(l + 1)Y = 0稱為球函數(shù)方程。進(jìn)一步分離變數(shù),Y, = ()()代入得1 d2sin dd2d sin d +l(l + 1)sin = d2 = 對(duì)()d2d2 + = 0和自然的周

3、期條件 + 2 = 本征值是 = m2,(m=0,1,2,3,)本征函數(shù) = Acosm + Bsinm對(duì)常微分方程sin ddsin d+ l(l + 1)sin2 = dsinsin d+ l(l + 1)sin2 = 0dddm21ddsin d sin d +l(l + 1) sin2 = 0令x=cos,=arc cosx,dx = sin ,d = d dx = sin ddddx ddxm2d2) ddx (1 xdx +l(l + 1) 1 x2 = 0這叫l(wèi) 階締合勒讓德方程。如果球坐標(biāo)的極軸是對(duì)稱軸,則 u 與無(wú)關(guān),m=0,上式退化為2) d2d(1 x 2x dx + l

4、(l + 1) = 0dx2叫做l 階勒讓德方程。取(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + +an xn +代入方程可得:(k l)(k + l + 1)=aak+2k(k + 2)(k + 1)K=0,1,2,3,(x) = c00(x) + c11(x)偶函數(shù)和奇函數(shù)(勒讓德方程的兩個(gè)線性獨(dú)立的特解)的線性組合。在l 為整數(shù)的條件下,勒讓德方程的兩個(gè)線性獨(dú)立的特解之一退化為l 次多項(xiàng)式,叫做 l 階勒讓德多項(xiàng)式,記作 Pl(x)。這就是本征函數(shù)。通常約定,用適當(dāng)?shù)某?shù)乘本征函數(shù),使得最高次冪項(xiàng) xl 的系數(shù)(2l)!2l(l!)2a =l則(2l 2n

5、)!n! 2l 2l(l n)! (l 2n)!= (1)nal2n這樣,勒讓德多項(xiàng)式具體表達(dá)式為 l 或l122Pl(x) =k=0(2l 2k)!(1)k k! 2l 2l(l k)! (l 2k)! xl2k于是有:Pl(1) = 1, P0(x) = 1,P1(x) = x = cos,P2(x) = 1 (3x2 1) = 1 (3cos2 + 1)。24勒讓德多項(xiàng)式還有微分表達(dá)式dl12)lPl(x)= 2ll! dxl(x 1勒讓德多項(xiàng)式的正交關(guān)系+1Pk(x)Pl(x)dx = 01+1(k l)2Pl(x)Pl(x)dx = 2l + 11廣義傅里葉級(jí)數(shù)f(x) = f1Pl (x)l=01(1 1)2l + 1()()fl = f1xPlxdx2f() = f1Pl (cos)l=012l + 1fl =1 f0()Pl(cos)sind2例:展開1 =r 1d12rcos +r21dBll= A r + P (cos)llrll=0考慮原點(diǎn)的有限性,Bl=0。當(dāng)=0 時(shí),有11 r= A rlP(1)lll=0同時(shí),1= 1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 +rn +1

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