選修2-1：2 2 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）

1、2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)阿波羅尼奧斯 笛卡兒（1596-1650）：法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，堪稱17世紀(jì)以來歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學(xué)的始祖”，創(chuàng)立了著名的平面直角坐標(biāo)系. 幾何問題代數(shù)化仙女座星系星系中的橢圓在我們實際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎？能舉出一些實例嗎？想一想生活中的橢圓 如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？ 橢圓概念的引入： 在前面圓的方程中我們知道：平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓.橢圓是滿足什么幾何條件的點的軌跡呢？思考數(shù)學(xué)實驗(1)取一條細(xì)繩（30cm，無彈性）(2)把繩的兩端固定在板上靠中的兩個定點F

2、1、F2 （分別取20cm,30cm,40cm）(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形1.動點（移動的粉筆尖）運動出的軌跡是什么？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？4.動點滿足怎樣的幾何條件？一、合作探究，形成概念：結(jié)論：當(dāng)繩長大于|F1F2| ，則點M的軌跡是（ ） 當(dāng)繩長等于|F1F2|，則點M的軌跡是（ ） 當(dāng)繩長小于|F1F2|，則點M的軌跡（ ） 思考:1.動點（移動的粉筆尖）運動出的軌跡是什么？橢圓線段F1F2不存在2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓

3、的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？4.動點滿足怎樣的幾何條件？（一）橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù) （2a） （大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓.定點F1、F2叫做橢圓的焦點.兩焦點之間的距離叫做焦距（2c）.橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：(2a2c)MF2F1結(jié)論：當(dāng)2a 大于 2c,則點M的軌跡是（ ） 當(dāng)2a 等于 2c，則點M的軌跡是（ ） 當(dāng)2a 小于 2c，則點M的軌跡（ ） 橢圓線段F1F2不存在小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點1.平面上-這是大前提2.動點M到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)2a 3.常數(shù)2a要大于焦距2c平面

4、內(nèi)有兩定點A、B，它們之間的距離為8.若動點M滿足：（1）若|MF1|+ |MF2| （填大于、等于或小于）8，則它的軌跡是橢圓，定點A和B是橢圓的 .它們之間的距離就是橢圓的 .（2）若|MF1|+ |MF2|等于8，則它的軌跡是 .（3）若|MF1|+ |MF2|小于8，則它的軌跡 .鞏固練習(xí)：線段AB不存在焦點焦距大于求曲線方程的步驟： _ _ _ _ _建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)動點 P ( x , y )寫出動點 P 的幾何條件用坐標(biāo)代入轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程化簡方程為最簡方程證明化簡后的方程就是所求曲線方程建系設(shè)點限制條件寫幾轉(zhuǎn)代化簡方程 建設(shè)現(xiàn)（限）代化 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyM

5、F1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對稱、“簡潔”)橢圓的方程的推導(dǎo)建設(shè)現(xiàn)（限） 以經(jīng)過橢圓焦點 F1，F(xiàn)2 的直線為 x 軸，線段F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xoy. 設(shè) M（x，y）是橢圓上任一點，設(shè)橢圓的焦距為 2c，點M與兩焦點的距離之和為常數(shù) 2a .故橢圓的兩焦點坐標(biāo)分別為 F1(-c,0) 和 F2(c,0)由橢圓的定義得（a c） 2a代化兩邊同時除以 ，得移項，得平方化簡，得再平方化簡，得則方程可化為 觀察左圖， 和同桌討論你們能從中找出表示c 、 a 的線

6、段嗎？a2-c2 有什么幾何意義？ 由兩點間的距離公式，可知：設(shè)|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)， 又由橢圓的定義可得：|MF1|+ |MF2|=2a焦點在Y軸焦點在X軸 看分母，誰大在誰上 標(biāo)準(zhǔn)方程相 同 點焦點位置的判斷不 同 點 圖 形 焦點坐標(biāo)探究定義a、b、c 的關(guān)系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0) |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）總結(jié)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是個專有名詞，專指本節(jié)介紹的兩 個方程，方程形式是固定的.（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的

7、值.（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)1、填空：(1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標(biāo)為：_焦距等于_;若CD為過左焦點F1的弦，則F2CD的周長為_鞏固練習(xí)543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點所在軸的方法： 看分母，誰大在誰上OXY(2)已知橢圓的方程為： ,則 a=_，b=_，c=_， 焦點坐標(biāo)為：_，焦距 等于_; 若曲線上一點P到下焦點F1的距離為3，則 點P到另一個焦點F2的距離等于_， 則F1PF2的周長為_21(0,-1)、(0,1)2PF1F21、填空：OXY變式 ：將下列方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并判定焦點在哪個軸上，寫出焦點坐標(biāo).2、已知橢圓焦點的坐標(biāo)分別是(-3,0)、(3,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式練習(xí)】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為注意