江蘇高中數(shù)學(xué)競賽

1、智浪教育普惠英才文庫PAGE PAGE 10江蘇高中數(shù)學(xué)競賽一選擇題 (本題滿分36分, 每小題6分)1. 函數(shù) 的圖像按向量 平移后, 得到的圖像的解析式為. 那么 的解析式為 B A. B. C. D. 2. 如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么這樣的二次方程有 C A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個3. 設(shè) , 那么 的最小值是 C A. 2 B. 3 C. 4 D. 54. 設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形, 用平面 去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 D A. 不存在 B. 只有1個 C. 恰有4個 D. 有無數(shù)多個5. 設(shè)數(shù)列 : , N*,

2、 則 被 64 除的余數(shù)為 C A. 0 B. 2 C. 16 D. 486. 一條走廊寬 2 m, 長 8 m, 用 6 種顏色的 11 m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有答: D A. 個 B. 個 C. 個 D. 個二填空題 (本題滿分36分, 每小題6分)7. 設(shè)向量 繞點(diǎn) 逆時針旋轉(zhuǎn) 得向量 , 且 , 則向量 （ eq f(11,5)， eq f(23,5)） .8. 設(shè)無窮數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù), 是它的前 項(xiàng)之和, 對于任意正整數(shù) , 與 2 的等差中項(xiàng)等于 與 2 的等比中項(xiàng), 則該數(shù)列的

3、通項(xiàng)公式為 an= 4n2 (nN*) .9. 函數(shù) R) 的最小值是 eq f(r(2),2) .10. 在長方體 中, , 點(diǎn) 、分別是棱 、 與 的中點(diǎn), 那么四面體 的體積是 V eq sdo3(B1EFG) = eq f(3,8) .11. 由三個數(shù)字 、 組成的 位數(shù)中, 、 都至少出現(xiàn) 次, 這樣的 位數(shù)共有 150 個.12. 已知平面上兩個點(diǎn)集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是1 eq r(6)，3+ eq r(10) 三解答題 (第一題、第二題各15分；第三題、第四題各24分)13. 已知點(diǎn) 是 的中線 上的一點(diǎn), 直線 交邊 于點(diǎn), 且 是 的外接圓的切線, 設(shè) ,

4、試求 (用 表示).證明：在 中，由Menelaus定理得因?yàn)?，所以 6分由 ，知 ，則所以， 即 12分因此， 又 ， 故 15分14. 求所有使得下列命題成立的正整數(shù) : 對于任意實(shí)數(shù) , 當(dāng) 時, 總有 ( 其中 ).解： 當(dāng) 時，由 ，得 所以 時命題成立. 3分當(dāng) 時，由 ，得.所以 時命題成立. 6分當(dāng) 時，由 ，得所以 時命題成立 9分當(dāng) 時，令 ，,則 .但是, ，故對于 命題不成立綜上可知，使命題成立的自然數(shù)是 . 15分15. 設(shè)橢圓的方程為 , 線段 是過左焦點(diǎn) 且不與 軸垂直的焦點(diǎn)弦. 若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn) , 使 為正三角形, 求橢圓的離心率 Q的取值范圍, 并用 表

5、示直線 的斜率. Q解： 如圖, 設(shè)線段 的中點(diǎn)為 過點(diǎn) 、 分別作準(zhǔn)線的垂線, 垂足分別為 、, 則 6分假設(shè)存在點(diǎn) ，則 ， 且 ， 即 ，所以，于是， 故若 (如圖)，則. 18分當(dāng) 時, 過點(diǎn) 作斜率為 的焦點(diǎn)弦 , 它的中垂線交左準(zhǔn)線于 , 由上述運(yùn)算知, 故 為正三角形. 21分若 ，則由對稱性得 24分又 , 所以，橢圓 的離心率 的取值范圍是， 直線 的斜率為 16. (1) 若 N*) 個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2005, 求 的最小值, 并說明理由；(2) 若 N*) 個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2002, 求 的最小值, 并說明理由.解： (1) 因

6、為 , ，故 .因?yàn)?，所以存在 ， 使 若 ，因 , 則最大的正方體邊長只能為 或 ，計(jì)算，而 與 均不是完全立方數(shù), 所以 不可能是 的最小值.若 ，設(shè)此三個正方體中最大一個的棱長為 , 由 , 知最大的正方體棱長只能為 、 或 . 由于 , , , 所以 .由于 , , , , 所以 .由于 , , , 所以 .由于 , , 所以 . 因此 不可能是 的最小值.綜上所述， 才是 的最小值. 12分(2) 設(shè) 個正方體的棱長分別是 ， 則 由 ， ，得 15分又當(dāng) N* 時，所以 eq o(,)， eq o(,)， eq o(,). 21分 式模 , 由 、 可知, 而 ，則 24分因此

7、為所求的最小值2008年一、選擇題（本題滿分30分，每小題6分）1. 如果實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足，其中a，b為常數(shù)，那么mx+ny 最大值為答：BA. B. C. D. 2. 設(shè)為指數(shù)函數(shù). 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四點(diǎn)中，函數(shù) 與其反函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)只可能是點(diǎn) 答：D A. P B. Q C. M D. N120.513. 在如圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等120.51 數(shù)列，那么的值為 答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 如果的三個內(nèi)角的余弦值分別是的三個內(nèi)角的正弦值，那么答：BA. 與都是銳角三角形B. 是銳角三角形，是鈍角三角形C.

8、 是鈍角三角形，是銳角三角形D. 與都是鈍角三角形5. 設(shè)a，b是夾角為30的異面直線，則滿足條件“，且”的平面， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一對 C. 有且只有兩對 D. 有無數(shù)對二、填空題（本題滿分50分，每小題10分）6. 設(shè)集合，其中符號表示不大于x的最大整數(shù)，則 . 7. 同時投擲三顆骰子，于少有一顆骰子擲出6點(diǎn)的概率是(既約分?jǐn)?shù)）. 8. 已知點(diǎn)O在內(nèi)部，.的面積之比為5：1.9. 與圓外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程為或 .10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，則 = 3 . 三、解答題（本題滿分70分，各小題分別為15分、15分

9、、20分、20分）11. 已知函數(shù)在時有最大值1，并且時，的取值范圍為. 試求m，n的值.解 由題 ，即，上單調(diào)減，且. ，n是方程的兩個解，方程即=0， 解方程，得解為1，.，. 12. A、B為雙曲線上的兩個動點(diǎn)，滿足。 （）求證：為定值； （）動點(diǎn)P在線段AB上，滿足，求證：點(diǎn)P在定圓上.證 （）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，則，A在雙曲線上，則. 所以. 由得，所以，. 同理，所以. （）由三角形面積公式，得，所以 ，即. 即. 于是，. 即P在以O(shè)為圓心、為半徑的定圓上. 15分13. 如圖，平面M、N相交于直線l. A、D為l上兩點(diǎn)，射線DB在平面M內(nèi)，射線DC在平面N內(nèi). 已知，且， 都是銳角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函數(shù)值表示）.解 在平面M中，過A作DA的垂線，交射線DB于B點(diǎn)；在平面N中，過A作DA的垂線，交射線DC于C點(diǎn).設(shè)DA=1，則， 5分 并且就是二面角平面角. 10分在中，利用余弦定理，可得等式，所以，=， 15分故得到. 20分14. 能否將下列數(shù)組中的數(shù)填入33的方格表，每個小方格中填一個數(shù)，使得每行、每列、兩條對角線上的3個數(shù)的乘積都相等？若能，請給出一種填法；若不能，請給予證明.（）2,4,6,8,1