線性代數(shù)考研筆記

1、第一章 行列式性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì) 2互換行列式的兩行（列） ，行列式變號(hào)。推論如果行列式的兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì) 3行列式的某一行 （列）中所以的元素都乘以同一個(gè)數(shù)?，等于用數(shù) ?乘以此行列式。 第 ?行（或者列） 乘以 ?，記作 ?( 或 ?)。推論行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。第?行（或者列）提出公因子 ?，記作 ? ?(或 ? ?)。性質(zhì) 4行列式中如果兩行（列）元素成比例，此行列式等于零。性質(zhì) 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第?列的元素都是兩數(shù)之和，則 ?等于下列兩個(gè)行列式之和：?(? +?

2、)?1?1?1?1?11121112|?|11121?1?|?21?22?2122()?2122? +?2?2?=2?= | +2?2?2? |?|?1 ?2 ? ?( ?+)?1?2?1?2?性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。?1? |2? |?11?1?1?11?1?+ ?1?1?1?1? + ?2?+2?212?2?2?()?212?2?=| ? |? ?(? +?+)? ?|? + ?1?1?定義在 ?階行列式，把（ ?,?）元 ? 所在的第 ?行和第 ?列劃去后，留下來的 ?- 1階行列式叫做（ ?,?）元 ? 的余子式，?

3、記作? ；記 ? = (-1)?+? ， ? 叫做（ ?,）元 ? 的代數(shù)余子式。?引理 一個(gè) ?階行列式，如果其中第?行所有元素除（ ?,?）元 ? 外都為零，那么這行列式等于? 與它的代數(shù)余子式的?乘積，即 ?= ?定理 3 ( 行列式按行按列展開法則) 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即?= ? ? + ? ? + ? + ? ?(?= 1,2， ? ，?)，或 ?= ? ? + ? ? + ? + ? ?(?= 1,2， ? ，?)?1 ?1?2 ?2?1? 1?2? 2?推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。

4、? + ? + ?+? =0()()?和? ? + ? ? + ? + ? ? = 0? ?1 ?1?2 ?2?1? 1?2? 2?范德蒙德行列式11?1?12?222Dn = |?= (?- ?)?12? |? ? 1?-1?-1?-1?1?2?克拉默法則?11?1+ ?12?2+ ?+ ?1?= ?1?+ ?+ ?+?= ?2112222? ?2 ? ? ?1?1+ ?2?2 + ?+ ? = ?如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即1/10a11?a1nD=?0，an1?ann那么，方程組有唯一解 ? =?1 ，2， ? ，?)是把系數(shù)行列式矩陣D中第 ?列的元1，?=2 ，? =? 其

5、中 ?(?=1?2?a11?a1 ，j-1b1a1， j+1?a1n素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的?階行列式，即 Dj = | ? |an1?an ，j-1bnan，j+1?ann定理 4如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式D 0 ，則非齊次線性方程組一定有解，且解是唯一的。定理如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。?定理 5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D 0 ，則齊次線性方程組沒有非零解如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零定理 ?第二章 矩陣級(jí)其運(yùn)算定義 1由 ?個(gè)數(shù) ?， ? ，?)排成的 ?行 ?列的數(shù)表，稱為 ?行?列矩陣；?(?= 1，2

6、?11?12?1?= 2122?2? ?1?2?為 (?， ?)元的矩陣可簡(jiǎn)記作（? ）或（ ? ）以數(shù) ? mn ?矩陣 ?也記作 ? ?。行數(shù)和列數(shù)都等于 ?的矩陣稱為 ?階矩陣或 ?階方陣。 ?階矩陣 ?也記作 ? 。?特殊定義：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣同型矩陣 ?和 ?的每一個(gè)元素都相等，就稱兩個(gè)矩陣相等， ?= ?；元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作?；注意不同型的零矩陣是不同的。特殊矩陣?階單位矩陣 ，簡(jiǎn)稱 單位陣 。特征：主對(duì)角線上的元素為1，其他元素為0；10?0?= 010?00?1對(duì)角矩陣， 特征：不在對(duì)角線上的元素都是0，記作 ?= diag(?

7、，? ，?1,?2?)?001?0?0?=2?00?定義 2 矩陣的加法設(shè)有兩個(gè) ?矩陣 ?= （ ? ）和 ?= （ ? ），那么矩陣 ?與 ?的和記作 ?+ ?，規(guī)定為?11+ ?11?12+ ?12?1?+ ?1?+ ?= ?21+ ?21?22+ ?22?2?+ ?2? +?+ ?2?+ ?1?1?2注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算；矩陣加法滿足運(yùn)算律（設(shè) ?， ?，?都是 ?矩陣）2/10i.）?+ ?= ?+ ?ii.）(?+ ?) + ?= ?+ (?+ ?)定義 3數(shù)與矩陣相乘?11?12?1?21222?= ?= ?1?2?數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律

8、（設(shè)?， ?都是 ?矩陣， ， 為數(shù)）（ i.）()?= ( ?)；ii.）(+ ) ?= ?+ ?；iii.）(?+ ?) = ?+ ?iv.）?= ?定義 4 矩陣與矩陣相乘設(shè) ?= （ ? ）是一個(gè) ?矩陣，?= （ ? ）是一個(gè) ?矩陣，那么規(guī)定矩陣?與矩陣 ?的乘積是一個(gè) ? ?矩陣 ?=?），其中 ? = ? + ? ? + ? + ? =? ?11?22?并把此乘積記作?= ? ? (?= 1， 2， ? ， ?； ?= 1， 2， ? ， ?)，?=1?注意： 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘；矩陣的乘法性質(zhì)（不滿足交換律）i.

9、）（?） ?= ?（ ?）ii.）(?) = (?)?= ?( ?)iii. ）?( ?+ ?) = ?+ ?，（ ?+ ?） A = BA+ CAiv.）?= ?= ?()()? ?+? ?（ v.）?= ?=?； ? ? = ? ，(? ) = ?= ?矩陣的轉(zhuǎn)置定義 5把矩陣?的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做?的轉(zhuǎn)置矩陣，記作? 。性質(zhì)：（ i.）TT= ?；(? )（ ii.）(?+ ?)T = (?)T + (?)T（ iii.）T=T(?)?（ iv. ）T=T T(?)? ?定義 6由?階方陣 ?的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱方陣 ?的行列式，記作 |?|或

10、det A ；（ ?， ?為 ?階方陣， ?為數(shù)）（ i.）?|?|=?（ ii. ）|?= ?| |?（ iii. ）|?| = |?|= |?| ?|伴隨矩陣3/10?1121?1定義： ?1222?2|=?的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 ?1?2?性質(zhì) ： ?| |= ? ?=?定義 7對(duì)于 ?階矩陣 ?，如果有一個(gè) ?階矩陣 ?，使 ?=?= ?，則說矩陣 ?是可逆的，并把矩陣?稱為 ?的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣 。定理 1若矩陣 ?可逆，則|? ?-?1 ?定理 2若 | ?| ?， 則矩陣 ?可逆，且? =|?|?為矩陣 ?的伴隨陣。其中 ?-?= |?| ?是可逆矩陣的 充分必要條件是 | ?|

11、 ?推論若 ?= ?(或?= ?)，則 ?= ?-?方陣的逆陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：（ i.）若?可逆，則 ?-?亦可逆，且 ( ?-?) -? = ?（ ii.）若?可逆，數(shù) 0，則 ?可逆，且 ( ?) -1 = 1 ?-1iii.）若?， ?為同階矩陣且均可逆，則 ?亦可逆，且 (?)-? = ?-?-?分塊矩陣的運(yùn)算法則i.）分塊矩陣的加法 ? 矩陣的加法ii.）數(shù)與分塊矩陣相乘 ? 數(shù)與矩陣相乘（ iii.）分塊矩陣與分塊矩陣相乘? 矩陣與矩陣相乘（ iv.）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 :設(shè)?T?T111?11?1?=? ? ?= ?T?T?1?1?v.）設(shè)?為?階矩陣，若 ?的分塊矩陣只有在對(duì)角線

12、上有非零子塊，其余子塊都為非零矩陣，且在對(duì)角線上的子塊都是方陣，即?1?=?2其中 ?(?= 1， 2 ， ? ， ?)都是方陣，那么稱?為分塊對(duì)角矩陣|?| = |? | ? | ? | ?|?12?克拉默法則對(duì)于 ?個(gè)變量、 ?個(gè)方程的線性方程組?11 ?1 + ?12 ?2 + ? + ?1?= ?1?21 ?1 + ?22 ?2 + ? + ?2? = ?2? ? ?1?1 + ?2?2 + ? + ?= ?如果它的系數(shù)行列式? 0，則它有唯一解?1?T?1111?2? =? = (? + ? + ?+ ? )( 其中?= 1，2， ? ，?) ? ?=2?(?)?1 1?2 2? ?

13、3(3?)4/10第三章矩陣的初等變換與線性方程組定義 1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換 ：（ i.）對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)?，?兩行，記作 ?）；?（ ii.）以數(shù) ? 0乘某一行中的所有元素（第?行乘 ?，記作 ?）；（ iii.）把某一行所有元素的?倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去（第?行的 ?倍加到第 ?行上，記作 ?+ ?；?把定義 1 中的“行”換成“列” ，即得矩陣的初等列變換 的定義（所用的記號(hào)是把“?”換成“ ?”）矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換如果矩陣 ?經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣?，就稱 ?與 ?行等價(jià)，記作?；如果矩陣 ?經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣?，就稱 ?與 ?列

14、等價(jià)，記作?；如果矩陣 ?經(jīng)有限次初等變換變成矩陣?，就稱 ?與 ?列等價(jià)，記作?；矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：i.）反身性 ? ?；ii.）對(duì)稱性 若? ?，則 ? ?；iii.）傳遞性 ? ?， ? ?，則 ?；行最簡(jiǎn)形矩陣，特點(diǎn)：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。定理 1 設(shè) ?與 ?為 ?矩陣，那么：（ i.）?的充分必要條件是存在?階可逆矩陣 ?；使 ?= ?；（ ii.）?的充分必要條件是存在?階可逆矩陣 ?；使 ?= ?；（ iii.）? ?的充分必要條件是存在?階可逆矩陣 ?及 ?階可逆矩陣 ?，使 ?= ?；推論方陣 ?可逆的充分必要條件是

15、?行變換三個(gè)應(yīng)用：(1)?-?(?， ?) (?， ?)?= ? ?= ? ? 求 ?(2)?-?(?， ?) (?， ?)?= ?(3)?-?(?， ?) (?， ?)?= ? ?= ? ?定義 3在? ?矩陣 ?中，任取 ?行與 ?列（ ? ?， ? ?），位于這些行列交叉處的2?中?個(gè)元素，不改變它們?cè)谒幍奈恢么涡蚨玫??階行列式，稱為矩陣 ?的?階行列式。定義 4設(shè)在矩陣 ?中有一個(gè)不等于 0 的 ?階子式 ?，且所有 ?+ 1 階子式（如果存在的話） 全等于 0，那么 ?稱為矩陣 ?的最高階非零子式 ，數(shù) ?稱為矩陣 ?的秩，記作 R(?)；并規(guī)定零矩陣的秩序等于 0定理2()若

16、 ?，則 ? = ?(?)推論若可逆矩陣 ?，?使 ?= ?，則 ?( ?) = ?(?)矩陣秩的基本性質(zhì)0 ?(? ) ?，?；R(? ) = R(?)若 ?，則 R( ?) = R(?)若 ?， ?可逆，則 ?(?)= R(?)max?( ?) ，?( ?) ?(?， ?) ?( ?) + ?(?)，特別地，當(dāng) ?= ?為非零列向量時(shí)， 有 R(?) R(?， ?) R( ?) +?(?+ ?) ?(?) + ?(?)5/10?( ?) min?(?) ，?( ?)若 ? ? = ?，則 ?( ?) + ?(?) ? ? ?定理 3 ?元線性方程組 ?= ?（ i.）無解的充分必要條件是?

17、( ?) ?(?， ?)（ ii.）有唯一解的充分必要條件是?(?)= ?(?， ?)= ?（ iii.）有無限多解的充分必要條件是()? = ?(?，?) ?求解線性方程組的步驟（ i.）對(duì)于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣?化成行階梯形，從?的行階梯形可同時(shí)看出( )( )?和? 。若()? ?(?)，則方程組無解。（ ii.）()( )?化成行最簡(jiǎn)形。若? = ? ，則進(jìn)一步把 ?化成行最簡(jiǎn)形。而對(duì)于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣（ iii.）設(shè)?(?) = ?( ?) = ?，把行最簡(jiǎn)形中 ?個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余 ?- ?個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由

18、未知數(shù)分別等于?， ?， ? ， ?，由 ?(或?)的行最簡(jiǎn)形，即可寫出含12n-?-?個(gè)參數(shù)的通解。定理 4?元齊次線性方程組 ?= ?有非零解的充分必要條件( )是 ? 0?， ? ?， ?， ?施瓦茨不等式222， ? ?維向量 ?的長(zhǎng)度 （或范數(shù) ）。定義 2 令 ?= ?， ?= x1+ x2+ ? + xn?=1 時(shí)，稱 ?為 單位向量 。向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：i.非負(fù)性當(dāng) ? 0時(shí)， ?0 ；當(dāng) ?= 0 時(shí)， ?= 0 ；ii.齊次性?=| ?| ?；三角不等式 ?+ ? ?+ ?當(dāng) ?，?= 0時(shí)，稱向量 ?與 ?正交。定理 1 若 ?維向量 ?， ?， ， ?是一組兩兩相

19、交的非零向量，則?，?， ，?線性無關(guān)；12?12?定義 3設(shè) ?維向量 ?， ?， ， ?是向量空間 V（ V ? Rn ）的一個(gè)基，如果 ?， ?， ，?兩兩正交，且都是單12?12?位向量，則稱 ?， ?， ， ?是 V的一個(gè)規(guī)范正交基。12?， ?， ， ?規(guī)范正交化：?1= ?1?2= ?2-?1， ?2 ?1?1 ， ?1?， ?， ?， ?= ?-? -1? ?1 -2?2- ?-1? ?-1?， ?， ?， ?12?-112?-1單位化8/10? =111?， ? =?， ? ?=?1?11?1?11?定義 4 如果 ?階矩陣 ?滿足 AT A = ? （即 A-1 = AT

20、）那么稱 ?為正交矩陣 ，簡(jiǎn)稱 正交陣 。方陣 ?為正交陣 的充分必要條件是 ?的列向量都是單位向量 ，且 兩兩正交 ；定義 5 若 ?為正交矩陣，則 ?= ?稱為 正交變換定義 6 設(shè) ?是 ?階矩陣，如果 ?和 ?維非零列向量 ?使關(guān)系式 ?= ?成立，那么，這樣的數(shù)?稱為矩陣 ?的特征值 ，非零向量 ?稱為 ?的對(duì)應(yīng)于特征值 ?的特征向量 。?-?特征方程為：?= ? ( ?- ?) ?= ? | ?- ?| = ? ?- ? = 0?-?| ?-?|是矩陣 ?的特征多項(xiàng)式 ，記作 ?(?)設(shè) ?階矩陣 ?= (?， ?，? ?，不難證明) 的特征值 ?12?i.）ii.）?；1+?2+

21、 ? + ?= ?11 + ?22 + ? +?|1?2 ?=?定理 2設(shè) ?，?， ? ，? 是方陣 ?的?個(gè)特征值， ?，?， ? ，? 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果?，?，12?12?12，?， ?，? 線性無關(guān)。? ，? 各不相等，則 ?12?定義 7-1?，則稱 ?是 ?的相似矩陣 ，或說矩陣 ?與 ?相似。對(duì) ?進(jìn)設(shè) ?， ?都是 ?階矩陣，若有可逆矩陣 ?，使 ? ?=行運(yùn)算-1?稱為對(duì) ?進(jìn)行 相似變換 ?？赡婢仃??稱為把 ?變成 ?的相似變換矩陣。?定理 3 若 ?階矩陣 ?與 ?相似，則推論 若 ?階矩陣 ?與對(duì)角陣1=2相似，則?與 ?的特征多項(xiàng)式相同，從而?與 ?的

22、特征值亦相同。?，?， ? ， ?即是 ?的 ?個(gè)特征值。12?(n )定理 4 ?階矩陣 ?與對(duì)角陣相似（即?能對(duì)角化）的充分必要條件是?有 ?個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論如果 ?階矩陣 ?的 ?個(gè)特征值互不相等，則?與對(duì)角陣相似。定理 5對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理 6設(shè) ?，?是對(duì)稱陣 ? 的兩個(gè)特征值， ?， ?，則 ?與 ?1212 是對(duì)應(yīng)的特征向量。若?1 ?12正交；2定理 7-?，其中 是以 ?的 ?個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣。設(shè) ?為 ?階對(duì)稱陣， 則必有正交陣 ?，使 ?= ? ?=推論設(shè) ?為 ?階對(duì)稱陣， 是 ?的特征方程的 ?重根，則矩陣 ?-?的秩 ?( ?-?) = ?

23、-?，從而對(duì)應(yīng)特征值 恰有?個(gè)線性無關(guān)的特征向量。對(duì)稱陣 ?對(duì)角化的步驟：（ i.）求出 ?的全部互不相等的特征值 ?， ?， ?， ?，它們的重?cái)?shù)依次為 ?，? ?(?1+ +?2 ? + ?= ?)12?12（ ii.）對(duì)每個(gè) ?重特征值 ?，求方程 (?- ?)個(gè)線性無關(guān)的特征向量。再把它們正交化、單?= 0的基礎(chǔ)解系，得?位化，得 ?個(gè)兩兩正交的單位特征向量。因?+ +? ? + ? = ?，故總共可得 ?個(gè)兩兩正交的單位特征向量。?12?（ iii. ）把這 ?個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣-?中?，便有 ? ?= ? ?= ?。注意 ?中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與列向量的排列次序相對(duì)應(yīng)。9/10定 義 8含有 ?個(gè) 變量 ?，?， ? ，? 的二 次齊次 函數(shù) ?(?，?， ?，?22212?12?) = ?11?1 + ?22 ?2 + ? + ?+2?12 ?12 + 2?13 ?1?3+ ? + 2?稱為 二次型 ，?-1 ?-1，?取 ?則 2?，于是 ?(?， ?， ? ，?2+ ?12 ?1?2 + ? + ?1?1?+ ?21 ?