高中數(shù)學(xué)必修5配北師版-課后習(xí)題Word版-第三章　不等式§3　3.2　基本不等式與最大(小)值

1、3.2基本不等式與最大(小)值1.若a0,b0,且ln(a+b)=0,則1a+1b的最小值是() A.14B.1C.4D.8解析由a0,b0,ln(a+b)=0,得a0,b0,a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2baab=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,等號成立.所以1a+1b的最小值為4.答案C2.若x4,則函數(shù)y=-x+14-x()A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2解析因為x4,所以x-40.所以y=-x+14-x=-(x-4)+1x-4-4-2-4=-6,當(dāng)且僅當(dāng)x-4=1x-4,即x=5時,等號成立.答案A3.已知x1,y1,且14

2、ln x,14,ln y成等比數(shù)列,則xy有()A.最小值eB.最小值eC.最大值eD.最大值e解析因為x1,y1,且14ln x,14,ln y成等比數(shù)列,所以14ln xln y=142.所以14=ln xln ylnx+lny22,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=e時,等號成立,所以ln x+ln y1,即ln xy1,所以xye.答案A4.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+1x-1(x0),則f(x)()A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)解析令2x=1x,由x0,3a+4b0,所以a0,b0.又log4(3a+4b)=log2ab,所以log4(3a+4b)=log4ab.所以3a+4b=ab,所以

3、4a+3b=1.所以a+b=(a+b)4a+3b=7+3ab+4ba7+23ab4ba=7+43,當(dāng)且僅當(dāng)3ab=4ba,即a=4+23,b=3+23時取等號,故選D.答案D6.若正數(shù)a,b,c滿足c2+4bc+2ac+8ab=8,則a+2b+c的最小值為()A.3B.23C.2D.22解析方法一:c2+4bc+2ac+8ab=(c+2a)(c+4b)=8,因為a,b,c均為正數(shù),所以由基本不等式得(c+2a)(c+4b)c+2a+c+4b22,所以a+2b+c22.當(dāng)且僅當(dāng)c+2a=c+4b,即a=2b時,等號成立.方法二:(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc,因為

4、c2+8ab+2ac+4bc=8,所以(a+2b+c)2=a2+4b2-4ab+8=(a-2b)2+88,所以a+2b+c22.答案D7.若直線xa+yb=1(a0,b0)過點(1,2),則2a+b的最小值為.解析直線xa+yb=1過點(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時“=”成立.答案88.若a,bR,ab0,則a4+4b4+1ab的最小值為.解析a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24時取等號.答案4

5、9.已知x0,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.解析因為x0,y0,且2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy4+24yxxy=8,當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=4,y=2時,x+2y取得最小值8,所以m2+2m8,解得-4m0且a1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn0,則1m+2n的最小值為.解析函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖像恒過定點A(-2,-1),則有2m+n-1=0,即2m+n=1.又mn0,1m+2n=1m+2n(2m+n)=4+nm+4mn4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n

6、=12時等號成立.答案811.已知a,b都是正實數(shù),且a+b=1.(1)求證:1a+1b4;(2)求a+1a2+b+1b2的最小值.(1)證明因為a+b=1,a0,b0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2baab=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,等號成立.所以1a+1b4.(2)解因為a+b=1,a0,b0,所以a+1a2+b+1b22a+1a+b+1b22=121+1ab2,又a+b2ab,所以0ab14,即1ab4,所以1+1ab5.所以a+1a2+b+1b2252,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,等號成立.所以a+1a2+b+1b2的最小值為252.12.某旅游公司在相距為1

7、00 km的兩個景點間開設(shè)了一個游船觀光項目,已知游船最大時速為50 km/h,游船每小時使用的燃料費用與速度的平方成正比例,當(dāng)游船速度為20 km/h時,燃料費用為每小時60元,其他費用為每小時240元,且單程的收入為6 000元.(1)當(dāng)游船以30 km/h航行時,旅游公司單程獲得的利潤是多少?(利潤=收入-成本)(2)游船的航速為何值時,旅游公司單程獲得的利潤最大,最大利潤是多少?解(1)設(shè)游船的速度為v(單位:km/h),旅游公司單程獲得的利潤為y(單位:元),因為游船的燃料費用為每小時kv2元,依題意k202=60,則k=320.所以y=6 000-320v2100v+240100v=6 000-15v-24 000v(0v50).v=30 km/h時,y=4 750元;(2