專題九線性賦范空間與巴拿赫空間g

1、專題九線性賦范空間與巴拿赫空間g線性賦范空間與巴拿赫空間專題九 線性賦范空間與巴拿赫空間有限維線性賦范空間線性代數(shù)研究對象無限維線性賦范空間泛函分析研究對象代數(shù)構(gòu)造最常用距離空間Rn, m, Ca,b, lp, Lpa,b完備性范數(shù)線性賦范空間線性空間距離線性距離空間巴拿赫空間線性運(yùn)算按范數(shù)連續(xù)線性運(yùn)算按距離連續(xù)幾何構(gòu)造線性運(yùn)算距離空間線性運(yùn)算按范數(shù)連續(xù)賦范空間線性運(yùn)算| x | = d(x,0)線性運(yùn)算按距離連續(xù)| x | = d(x,0)又都是線性空間d(x,y)=|x-y|DFB集合距離線性運(yùn)算線性空間距離空間集合線性運(yùn)算距離線性距離空間線性賦范空間代數(shù)構(gòu)造幾何構(gòu)造線性運(yùn)算按距離連續(xù)|

2、x | = d(x,0)d(x,y)=|x-y|完備性巴拿赫空間賦范空間范數(shù)線性運(yùn)算按范數(shù)連續(xù)距離線性運(yùn)算范數(shù)線性運(yùn)算一、 線性空間1 線性空間及其舉例定義1 設(shè)X是任一非空集合，假設(shè)K是一個(gè)數(shù)域R或C如果X對某種規(guī)定的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，且x,y,zX, ,K, 滿足： 1) x+y=y+x 加法交換律2) (x+y)+z+x+(x+y) 加法結(jié)合律3) X, 使x+=x 零元素存在性4) xX,使x+x= 逆元存在性5) (x)=x=(x) 數(shù)乘結(jié)合律7) (+)x=x+x 元素對數(shù)的加法分配律8) (x+y)=x+y 數(shù)對元素的加法分配律6) 1x=x, 0 x=那么稱x+y為x與y

3、的和，x為數(shù)與x的數(shù)乘 , 稱X為線性空間或向量空間 (實(shí)或復(fù))，X中的元素稱為向量。 例1 歐氏空間Rn 是有限維線性空間且滿足1)8)零元逆元例2 m是線性空間， lp 是線性空間證：零元逆元且滿足1)8)證：例3都是無限維線性空間（或 ）按通常的函數(shù)加法與數(shù)乘運(yùn)算有：（或 ）（或 ）零元故都是線性空間證：逆元且滿足1)8)或（ ） （或 ）定義2 線性子空間設(shè)X是線性空間，MX，如果x,yM, ,K, 對于X中的加法和數(shù)乘運(yùn)算，有x+yM, 那么稱M是X的線性子空間。假設(shè)MX，那么稱M為X的線性真子空間。定義3 由子集張成的線性子空間設(shè)X是線性空間，MX。定義集合L：稱L為由子集MX張成

4、的線性子空間。 注：spanM是包含M的最小線性子空間。即假設(shè)L0也是包含M的線性子空間，必有2 線性子空間定義3 (有限維線性空間的基和維數(shù)) 1e1,e2,en線性無關(guān); 2xX, x都能由e1,e2,en線性表示，即1, 2, nR, 使x=1x1+2x2+nxn那么稱e1,e2,en為X的一個(gè)基底, x1,x2,xn為向量關(guān)于基底e1,e2,en的坐標(biāo)。稱n維線性空間X的維數(shù)，而稱X為n維線性空間。并記dimX=n。注：1) 如果X=, 那么稱X是零維線性空間, 這時(shí)X沒有基。3 線性空間的基與維數(shù)設(shè)X是線性空間, e1,e2,enX, 如果2)xX, 它關(guān)于基底e1,e2,en的坐標(biāo)

5、是唯一的。3) 任何有限維線性空間的基底都不唯一。n維線性空間中的任何n個(gè)線性無關(guān)的向量都可以作為X的基底。定義4 (無限維線性空間的基) 1e1,e2,en,線性無關(guān); 2xX, x都能由e1,e2,en,線性表示，即1, 2, n,R, 使x=1e1+2e2+nen+那么稱e1,e2,en,為X的一個(gè)基底, x1,x2,xn,為向量關(guān)于基底e1,e2,en,的坐標(biāo)。也稱X為無限維線性空間。設(shè)X是線性空間, e1,e2,en,X, 如果注：1任何線性空間X都有基。2對于無限維線性空間X，如果e1,e2,en,X線性無關(guān)，且X=spane1,e2,en, 那么稱e1,e2,en,為X的Hame

6、l基。例4 n為歐氏空間Rn是n維線性空間。例5 Ca,b是一個(gè)無限維線性空間。1e1=1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)稱為Rn的標(biāo)準(zhǔn)基或單位坐標(biāo)基x=(x1,x2,xn)Rn在基e1,e2,en下的坐標(biāo)位x1,x2,xn。是Rn的另一組基。函數(shù)系1,t,t2,tn,是Ca,b的一個(gè)基底。證：如果Ca,b是有限維線性空間，維數(shù)為n, 那么1,t,t2,tnCa,b線性相關(guān) 任何n+1個(gè)n維向量都線性相關(guān)。這與1,t,t2,tn對任何n都線性無關(guān)矛盾。例6 a,b區(qū)間上多項(xiàng)式函數(shù)的全體構(gòu)成的集合Pa,b按照通常的加法和數(shù)乘是一個(gè)無限維線性空間。證：顯然Pa,b是線性空間。

7、 對n, 1,t,t2,tnPa,b線性無關(guān)，故Pa,b是無限維空間。 x=x(t)Pa,b, 都能有1,t,t2,tn,線性表示，故1,t,t2,tn,是Pa,b的一個(gè)基底 。 函數(shù)系1,t,t2,tn,是Pa,b的一個(gè)基底 。 注：函數(shù)空間Pa,bCa,bLpa,b按照通常的函數(shù)運(yùn)算都是無限維線性空間， 1,t,t2,tn,是他們的一個(gè)公共基底 。例7 序列空間S有限個(gè)分量不為零數(shù)列全體、有界數(shù)列空間m、p冪可和數(shù)列空間lp按照通常的數(shù)列加法和數(shù)乘運(yùn)算都是無限維線性空間。他們的標(biāo)準(zhǔn)基底都是：e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,), en=(0,0,0,1,0,.)

8、證：設(shè) S=x=(1,2,n,)| i0,i為有限數(shù)S是一線性空間(按通常數(shù)列加法和數(shù)乘如果S是有限維線性空間，xi=(i1,i2,iN,0,0,) (i=1,2,m)使S的一個(gè)基底 那么x=(1,2,N,0,0,)S，有x=1x1+ 2x2+ mxm 即x可由x1,x2,xm線性表示。但eN+1=(0,0,0,1,0,)S種地N+1位分量0故eN+1不可能由x1x2,xm線性表示。 矛盾。故S是無限維線性空間Smlp,因此m,lp也都是無限維線性空間。4 線性同構(gòu)定義4線性同構(gòu)設(shè)X和Y是兩個(gè)線性空間同為實(shí)的或復(fù)的。如果一個(gè)映射：XY，使得x1,x2X及 R(或C) ，成立注：1兩個(gè)同構(gòu)的線性

9、空間可以看作是同一的。(x1+x2)= (x1)+ (x2)， (x1)= (x1)那么稱X與Y是線性同構(gòu)的，也稱是從X到Y(jié)的線性同構(gòu)映射。2）線性無關(guān)的向量組線性無關(guān)的向量組線性同構(gòu)3同構(gòu)映射的逆映射仍是同構(gòu)映射注：1線性空間的任意線性子空間都是凸集。5 凸集的概念定義6凸集設(shè)X為線性空間，AX。如果對x,yA, 01，有x+(1-)yA，那么稱A為X中的凸集. 2任意個(gè)凸集的交仍是凸集。3如果BX，且BAi, Ai (iI)為X的一族凸集，那么定義5凸組合1 x+(1-)y 01 稱為為x與y的凸組合。2 1x1+2x2+ nxn 0i1, 1+2+n=1 稱為為x1,x2,xn的凸組合。

10、為包含B的最小凸集，成為B的凸包。1 范數(shù)與線性賦范空間二、線性賦范空間與巴拿赫空間定義7 2 由范數(shù)誘導(dǎo)的距離定義8 范數(shù)公理注：由線性度量空間構(gòu)造范數(shù)使之成為賦范線性空間的方法例8 數(shù)列空間1定義1 (x,y)滿足距離公理，是S上的距離函數(shù)故 S是距離空間2S按照通常數(shù)列的加法和數(shù)乘運(yùn)算是線性空間3但距離函數(shù)1(x,y)不是由范數(shù)誘導(dǎo)的距離：事實(shí)上，當(dāng)|1時(shí)，3 常見空間的范數(shù)與距離對照表(1) Rn(2) m(3) lp(4) Ca,b(5) Lpa,b例如：4 巴拿赫Banach)空間定義9 完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。因此Rn是Banach空間。定理1 設(shè)X是線性賦范空間，xn

11、、ynX, x,yX, nR, R如果n, xnx, yny, 那么有xnx, nx x, xn+ynx+y 證 n|n-|0 xnx|xn-x|0 yny|yn-y|0 |xn-x|=| |xn-x|0 xn x |nx-x|=|n-| |x|0 nxx|(xn+ yn)-(x+y) |=|(xn-x)+(yn-y)|xn-x|+|yn-y|0 xn+ynx+y5 線性賦范空間中的極限理論定義10 極限設(shè)X是線性賦范空間，xnX, xX。線性賦范空間中線性運(yùn)算對范數(shù)的連續(xù)性定理2 設(shè)X是線性賦范空間，xnX, xX.1) 如果xnx, 那么|xn|有界 范數(shù)列的有界性；證 1) xnx|xn

12、-x|0|xn|xn-x|+ |x| |x| |xn|有界 如果xnx, 那么|xn|x| (范數(shù)的連續(xù)性，即|x| 是x的連續(xù)函數(shù)；2) 一方面，|xn|-|x| |xn-x| 另一方面， |xn|-|x|=|xn|-|x-xn+xn| |xn|-(|x-xn|+|xn|)=-|xn-x|因此 | |xn|-|x| |xn-x| xnx|xn-x|0| |xn|-|x| |0|xn|x| 定理3 設(shè)X是線性賦范空間，d是由范數(shù)誘導(dǎo)的距離，那么對x，y,z0X有.1) 平移不變性：d(x+z0, y+z0)= d(x, y)證 1) d(x+z0, y+z0)= |(x+z0 )-( y+z0

13、) |= |x- y|= d(x, y) 2) 絕對齊次性：d(x, y)=| | d(x, y)2) d(x, y)= | x-y|= | | | x-y|= | | d(x, y) 設(shè)xn 是線性賦范空間X中的點(diǎn)列，表達(dá)式5 線性賦范空間中的無窮級數(shù)稱為X中的無窮級數(shù)稱為級數(shù)的局部和。如果存在sX, 使得 |sn-s|0(n), 那么稱級數(shù)收斂于s，s稱 為級數(shù)的和，記為如果數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；當(dāng)X是巴拿赫空間時(shí)，假設(shè)級數(shù)絕對收斂那么級數(shù)一定收斂。6 線性賦范空間中的完備化定義5線性等距同構(gòu)設(shè)X1，1和X2，2是同一數(shù)域上的兩個(gè)線性賦范空間。如果存在一一映射T：X1X2，滿足：

14、T( x+ y)= T(x)+ T(y)， 那么稱X1與X2是線性等距同構(gòu)的，也稱T是從X1到X2的線性等距同構(gòu)映射。1線性：x,yX及，成立2等距：xX，成立 Tx2= x1 注：兩個(gè)同構(gòu)的線性空間可以看作是同一的。定理4完備化定理設(shè)X，是一線性賦范空間，那么必存在唯一的巴拿赫空間Y，使X與Y的一個(gè)稠密子空間Y1線性等距同構(gòu)。例如，Ca,b按范數(shù)不完備，其完備化空間是L2a,b.6 線性賦范空間的根本性質(zhì)定理3 線性賦范空間X中的球開或閉是凸集。證有限維線性賦范空間是研究無限維空間的有力工具。三、有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)1 n維線性賦范空間的模型反映了與歐氏空間Rn的關(guān)系是Rn上的連續(xù)函

15、數(shù)。定理5 設(shè)X是n維實(shí)線性賦范空間，xX在基底e1,e2,en下的坐標(biāo) 為(1,2,n), 令x =(1,2,n)，則 證 有限維線性賦范空間具有特殊性質(zhì)(來自它與歐氏空間的相似性)有限維線性賦范空間是研究無限維空間的有力工具。三、有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)有限維線性賦范空間具有特殊性質(zhì)(來自它與歐氏空間的相似性)1 n維線性賦范空間的模型反映了與歐氏空間Rn的關(guān)系定理1 n維實(shí)線性賦范空間X與n維歐氏空間Rn在某種范數(shù)下是線性等距同構(gòu)的。證 設(shè)e1,e2,en是X的一個(gè)基底， (1,2,n)Rn, xX ，也使得 X與Rn之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系T： xX ，(1,2,n)Rn, 使得1T

16、是線性同構(gòu)映射：2T關(guān)于X與Rn的某種范數(shù)是等距同構(gòu)映射：在Rn中定義實(shí)值函數(shù)：故 是Rn中的范數(shù)，記作 ： 則 注：任何n維線性賦范空間的模型都可以看作Rn，從而任何有限維線性賦范空間都是完備的。2 范數(shù)的等價(jià)性 定義2 等價(jià)范數(shù) 設(shè)| |1，| |2 是同一線性空間X中的兩個(gè)不同的范數(shù)。如果當(dāng)| |10時(shí)有| |2 0，那么稱| |1比| |2更強(qiáng)；如果| |1比| |2更強(qiáng)，切| |2比| |1更強(qiáng)，那么稱| |1與| |2等價(jià)。 定理2 范數(shù)等價(jià)的充要條件 線性空間X中的兩個(gè)范數(shù)| |1與| |2等價(jià)的充要條件是：xX，存在兩個(gè)正數(shù)a，b，使得3 有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)定理3 設(shè)

17、X是n維實(shí)線性賦范空間，e1,e2,en是X的一個(gè)基底，那么 a, b0, 使對xX, 有 證 一方面另一方面是Rn中的范數(shù)，因而在Rn上非負(fù)連續(xù)在Rn中的有界閉集單位球面上有最小值a注：定理中， 定理4 范數(shù)等價(jià)性 設(shè)X是有限維線性賦范空間，那么X上的任何范數(shù)都等價(jià)。證 設(shè)| |1，| |2 是X上的任意兩個(gè)范數(shù)，那么根據(jù)定理3，使| |1與| |2 等價(jià) 注：定理4說明，有限維線性賦范空間X上的任何范數(shù)的收斂性一樣，因而在討論極限時(shí)可以任意選取范數(shù) 。推論1 任意有限維線性賦范空間都是Banach空間，從而任意有限維線性賦范空間的子空間都是閉子空間。證 設(shè)X是n維線性賦范空間，xkX是柯西

18、序列，e1,e2,en是X的一個(gè)基底，映射 T : X Rn.是柯西列收斂于某X完備推論2 n維實(shí)線性賦范空間X與n維歐氏空間Rn是拓?fù)渫叩?。證 設(shè)e1,e2,en是X的一個(gè)基底，作一一映射T：那么T是拓?fù)渫哂成?。事?shí)上，由定理3有T是連續(xù)映射T-1 是連續(xù)映射2T是拓?fù)渫哂成浼碩與T-1都是連續(xù)映射：X是n為線性賦范空間，M10, M20, 使T是連續(xù)映射T-1 是連續(xù)映射T是拓?fù)渫哂成渥ⅲ涸诰€性同構(gòu)和拓?fù)渫咭饬x下，任意n維線性賦范空間都與Rn “等同。推論2 任意有限維線性賦范空間都是Banach空間，從而任意有限 維線性賦范空間的字空間都是閉子空間。證 設(shè)X是n維線性賦范空間，

19、xkX是柯西序列，e1,e2,en是 X的一個(gè)基底，映射T:XRn.是柯西列收斂于某X完備X是Banach空間X的任意子空間完備，是閉子空間。推論1證 閉集LX, LX. x1XL, 令Riesz引理是泛函分析中重要定理-在區(qū)別有限維與無限維線性賦范空間的某些特征方面起關(guān)鍵作用。定理4 黎斯FRiesz引理設(shè)X是線性賦范空間，LX是真閉子集 子空間，那么對 (01), x0X , 使|x0|=1, 且對xL, 有xL, 使下確界定義令X對線性運(yùn)算封閉對xL, 有|x-x1 |x+xLLX對線性運(yùn)算封閉xx1x0 xd定理5 X是有限維線性賦范空間X中的任意有界閉集 都是列緊集。 有限維空間的特

20、征性定理證 必要性 設(shè)X是n維線性賦范空間，T: XRn是線性 等距同構(gòu)和拓?fù)渫哂成?。T(A)=y|y=Tx,xARn是有界閉集xnATxnT(A)T(A)是列緊集TxnkTxnT(A), 使TxnkTx0T(A)Rn中有界閉集是列緊集A為列緊集A為緊集xnkx0AT拓?fù)渫逿與T-1均連續(xù)AX為有界閉集拓?fù)渫哂成湫再|(zhì)充分性 設(shè)X中任意有界閉集是列緊集取單位球面B=x|x|=1, xXXB是列緊集假設(shè)X是無限維線性賦范空間，x1S, 令B1=spanx1B1X, B1X是一維閉子空間x2B, |x2|=1, 使Riesz引理B2X, B2X是二維閉子空間x3B, |x3|=1, 使Riesz引理 令B2=spanx1,x2xiB, |xi|=1, 使 xi無收斂子序列 。這與B是緊集矛盾。X是有限維線性賦范空間。推論3 有限維線性賦范空間中的單位球面是列緊集。推論4 在有限維線性賦范空間中，緊集有界閉集。推