五年級(jí)奧數(shù).計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí)).學(xué)生版

1、知識(shí)結(jié)構(gòu)一、排列問(wèn)題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法,就是排列問(wèn)題.在排的過(guò)程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.排列的基本問(wèn)題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù).從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有

2、排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素的排列中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做Pm.n根據(jù)排列的定義，做一個(gè)m元素的排列由m個(gè)步驟完成：步驟1：從n個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有n種方法；步驟2:從剩下的(n-1)個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有(n-1)種方法；步驟m:從剩下的n-(m-1)個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第m個(gè)位置，有n-(m-1)，n-m+1(種)方法；由乘法原理，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)是n(n-1)(n-2)(n-m+1)，即Pm，n(n-1).(n-2)(n-m+1)，這里，mn，且等號(hào)右邊從n開(kāi)始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1,n共有m個(gè)因數(shù)相乘.二、

3、排列數(shù)一般地，對(duì)于m，n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)镻”，n(n-1)(n-2)321.n表示從n個(gè)不同元素中取n個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種n個(gè)排列全部取出的排列，叫做n個(gè)不同元素的全排列.式子右邊是從n開(kāi)始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)力，一直乘到1的乘積,記為n!，讀做n的階乘，則Pn還可以寫為：Pnn!，其中n!=n（n1）（n2）-3-2-1.MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí))學(xué)生版Page1of10nn在排列問(wèn)題中，有時(shí)候會(huì)要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個(gè)整體捆綁在一起進(jìn)行計(jì)算.三、組合問(wèn)題日常生活中

4、有很多“分組”問(wèn)題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等.這種“分組”問(wèn)題，就是我們將要討論的組合問(wèn)題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問(wèn)題.一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（mn）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān).如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（mn）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù).記作C

5、m.n一般地，求從n個(gè)不同元素中取出的m個(gè)元素的排列數(shù)Pm可分成以下兩步:n第一步：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素組成一組，共有Cm種方法；n第二步：將每一個(gè)組合中的m個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有Pm種排法.m根據(jù)乘法原理，得到Pm=CmPm.nnm因此,.Pm組合數(shù)Cm=nnPmmn（n一1）（n一2）-（n一m+1）這個(gè)公式就是組合數(shù)公式.m（m一1）（m一2）-321四、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：Cm=Cn-m（mn）nn這個(gè)公式的直觀意義是：Cm表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成一組的所有分組方法.Cn-m表示從nnn個(gè)元素中取出（n-m）個(gè)元素組成一組的所有分組方法.顯然

6、，從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的分組方法恰是從n個(gè)元素中選m個(gè)元素剩下的（n-m）個(gè)元素的分組方法.例如，從5人中選3人開(kāi)會(huì)的方法和從5人中選出2人不去開(kāi)會(huì)的方法是一樣多的，即C3=C.規(guī)定Cn=1，C0=1.nn五、插板法一般用來(lái)解決求分解一定數(shù)量的無(wú)差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個(gè)要求：所要分解的物體一般是相同的：所要分解的物體必須全部分完：參與分物體的組至少都分到1MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版Page2of10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)

7、數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí))學(xué)生版Page3of10個(gè)物體，不能有沒(méi)分到物體的組出現(xiàn).在有些題目中，已知條件與上面的三個(gè)要求并不一定完全相符，對(duì)此應(yīng)當(dāng)對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得它與一般的要求相符，再適用插板法.六、使用插板法一般有如下三種類型：m個(gè)人分n個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有一個(gè).這個(gè)時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的(n1)個(gè)空隙中放上(m1)個(gè)插板，所以分法的數(shù)目為Cmi1.m個(gè)人分n個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有a個(gè).這個(gè)時(shí)候，我們先發(fā)給每個(gè)人(a-1)個(gè)，還剩下n-m(a-1)個(gè)東西，

8、這個(gè)時(shí)候，我們把剩下的東西按照類型來(lái)處理就可以了.所以分法的數(shù)目為CmTn-m（a一1）-1m個(gè)人分n個(gè)東西，允許有人沒(méi)有分到.這個(gè)時(shí)候，我們不妨先借來(lái)m個(gè)東西，每個(gè)人多發(fā)1個(gè)，這樣例題精講【例1】4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個(gè)女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？【鞏固】4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法?【例2】將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰.請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的排列方法？【鞏固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A,B兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?若A、B兩

9、人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？【例3】書(shū)架上有4本不同的漫畫書(shū)，5本不同的童話書(shū)，3本不同的故事書(shū)，全部豎起排成一排，如果同類型的書(shū)不要分開(kāi)，一共有多少種排法？如果只要求童話書(shū)和漫畫書(shū)不要分開(kāi)有多少種排法？【鞏固】四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng).整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成.請(qǐng)問(wèn):如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場(chǎng)順序？【例4】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?【鞏固】a，b，c，d，e五個(gè)人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法?【例5】一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目.求：當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，

10、有多少不同的安排節(jié)目的順序？當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序?【鞏固】由4個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和3個(gè)不同的合唱節(jié)目組成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開(kāi)始和最后一個(gè)節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排方法共有多少種？【例6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法?【鞏固】小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法?【鞏固】有12塊糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一塊，問(wèn)共有種吃法.【例7】10只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著.請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的放法?MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年

11、級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10【鞏固】將13個(gè)相同的蘋果放到3個(gè)不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法?！纠?】把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法?【鞏固】三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會(huì)，共演出14個(gè)節(jié)目，如果每校至少演出3個(gè)節(jié)目，那么這三所學(xué)校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？【例9】（1）小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法？（2）小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?【鞏固】有1

12、0粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法?【例10】馬路上有編號(hào)為1，2，3，10的十只路燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版【鞏固】學(xué)校新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞燈，那么熄燈的方法共有多少種?【例11】在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少?【鞏固】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有

13、多少個(gè)?【例12】所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個(gè)?【鞏固】從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位?MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí))學(xué)生版Page9of10課堂檢測(cè)【隨練1】某小組有12個(gè)同學(xué)，其中男少先隊(duì)員有3人，女少先隊(duì)員有4人，全組同學(xué)站成一排，要求女少先隊(duì)員都排一起，而男少先隊(duì)員不排在一起，這樣的排法有多少種？【隨練2】把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少1支，問(wèn)有多少種方法?【隨練3】

14、在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個(gè)6的偶數(shù)有多少個(gè)?家庭作業(yè)【作業(yè)1】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法?！咀鳂I(yè)2】學(xué)校合唱團(tuán)要從6個(gè)班中補(bǔ)充8名同學(xué)，每個(gè)班至少1名，共有多少種抽調(diào)方法?【作業(yè)3】能被3整除且至少有一個(gè)數(shù)字是6的四位數(shù)有個(gè)?！咀鳂I(yè)4】學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4名男生和3名女生.某次比賽后他們站成一排照相，請(qǐng)問(wèn):如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？【作業(yè)5】由0，1，2,3,4,5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，百位不是2的奇數(shù)有個(gè).【作業(yè)6】停車站劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在起，一共有多少種不同的停車方案？MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合（ABC級(jí)）學(xué)生版PagelOof10MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí))學(xué)生版