勾股定理第課時(shí)

1、關(guān)于勾股定理第課時(shí)第一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能 掌握勾股定理反映的數(shù)量關(guān)系；會(huì)用拼圖法、面積法證明勾股定理；在生活實(shí)踐中學(xué)會(huì)使用勾股定理。 2、過(guò)程與方法 通過(guò) “觀察猜想歸納驗(yàn)證” 過(guò)程理解勾股定理；學(xué)會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考方法。 3、情感態(tài)度、價(jià)值觀 通過(guò)實(shí)驗(yàn)、猜想、拼圖、證明等了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，學(xué)會(huì)合作交流，體驗(yàn)探究樂(lè)趣，增強(qiáng)探索意識(shí)；感受勾股定理的悠久歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。第二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 除地球外，別的星球上有沒(méi)有生命呢？ 自古以來(lái)，人類就不斷發(fā)出這樣的疑問(wèn)，特別是近年來(lái)不斷出現(xiàn)的UFO事件，更讓人們相信有

2、外星人的說(shuō)法，如果真的有，那我們?cè)趺春退麄兘涣髂兀?我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在多年前曾提出這樣的設(shè)想：向太空發(fā)射一種圖形，因?yàn)檫@種圖形在幾千年前就已經(jīng)被人類所認(rèn)識(shí)，如果他們是“文明人”，也必定認(rèn)識(shí)這種圖形.一、創(chuàng)設(shè)情境第三張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用“勾股定理”圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)。第四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月弦圖這個(gè)圖形里蘊(yùn)涵著怎樣博大精深的知識(shí)呢？ 它標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就！第五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 假如我們一旦和外星人見(jiàn)面，該使用什么語(yǔ)言呢？使用“符號(hào)語(yǔ)言”與外星人聯(lián)

3、系是最經(jīng)濟(jì)和最有效的，外星人也最可能使用這種語(yǔ)言,并且最可能是數(shù)學(xué)語(yǔ)言。中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，我們可以用兩個(gè)圖形作為與外星人交談的媒介，一個(gè)是“數(shù)”，另一個(gè)是“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）。因?yàn)檫@種自然圖形所具備的“數(shù)形關(guān)系”在整個(gè)宇宙中是普遍的。探索勾股定理第七張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 那么這到底是一種什么樣的圖形呢？它真的有那么大的魅力嗎？ 下面就讓我們通過(guò)時(shí)光隧道，和古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯一起來(lái)研究這種圖形吧。第八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月畢達(dá)哥拉斯(公元前572-前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。相傳有一次他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成

4、的地面中反映了A、B、C三者面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系A(chǔ)B C 我們也來(lái)觀察右圖的地面，你能發(fā)現(xiàn)A、B、C面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？SA+SB=SC每塊磚都是等腰直角三角形哦第九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）1.A中含有_個(gè)小方格，即A的面積是 個(gè)單位面積B的面積是 個(gè)單位面積C的面積是 個(gè)單位面積99189探究一：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形A、B、C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？二、實(shí)驗(yàn)探究ABC圖1結(jié)論：圖1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系是:SA+SB=SC第十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月探究二：SA+

5、SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2結(jié)論：仍然成立。A的面積是 個(gè)單位面積B的面積是 個(gè)單位面積C的面積是 個(gè)單位面積25169 你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）第十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月ABC問(wèn)題2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來(lái)表示嗎?問(wèn)題4:那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是:abc 至此，我們?cè)诰W(wǎng)格中驗(yàn)證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SCa2 + b2 = c2a2 + b2 = c2問(wèn)題1:去掉網(wǎng)格結(jié)論會(huì)改變嗎？問(wèn)題3:去掉正方形結(jié)論會(huì)改變

6、嗎？第十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.abc我們猜想：第十三張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實(shí)驗(yàn)和猜想還不能把問(wèn)題徹底搞清楚。 這就需要我們對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行證明下面我們就一起來(lái)探究，看一看我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的三、拼圖證明第十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個(gè)正方形，把兩個(gè)正方形如圖1連在一起，通過(guò)剪、拼把它拼成圖2的樣子。你能做到嗎？試試看。趙爽拼圖證明法：c 小組活動(dòng)：仿

7、照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個(gè)連體正方形，拼成一個(gè)新的正方形. 圖1黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)圖2c第十五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)b a MNP剪、拼過(guò)程展示：第十六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月cba用趙爽弦圖證明=ba第十七張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“趙爽弦圖”黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)cab第十八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。因此，當(dāng) 2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)時(shí)， “趙爽弦圖”被選作大會(huì)會(huì)徽。第十九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022

8、年6月 現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以命題1在我國(guó)叫做勾股定理(gou-gu theorem)。勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c，那么 a2 + b2 = c2即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。第二十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.成立條件： 在直角三角形中3.作用：已知直角三角形任意兩邊長(zhǎng)， 求第三邊長(zhǎng)。2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c勾 股 定 理（注意：哪條邊是斜邊）第二十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論變形c2 = a2 + b2a

9、bcABC第二十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 為什么叫勾股定理這個(gè)名稱呢？原來(lái)在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。于是我國(guó)古代學(xué)者就把直角三角形中較短直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關(guān)系，所以叫做勾股定理。勾股國(guó)外又叫畢達(dá)哥拉斯定理第二十三張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月勾2 + 股2 = 弦2股勾勾較短的直角邊稱為 ，股較長(zhǎng)的直角邊稱為 ，直角三角形中弦斜邊稱為 。弦第二十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月勾股世界 我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。三千多年前，

10、周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三股四弦五”的說(shuō)法。第二十五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其他證明方法用四個(gè)全等三角形拼圖證明。 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿了無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫(huà)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。第二十六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月驗(yàn)證勾股定理的正確性第二十七張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題：求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2 =36+64x

11、2 =100 x2=62+82x0 y2+52=132 y2=132-52y2=144 y=12（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2y0A68xCB5y13CABX=10四、實(shí)踐應(yīng)用方法總結(jié)：利用勾股定理建立方程.第二十八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):817125小試牛刀xx用勾股定理建立方程.判斷哪條邊是斜邊！第二十九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)1：圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.916xy144169看誰(shuí)算得快第三十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如圖，大風(fēng)將一根木制旗桿吹裂，隨時(shí)都

12、可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速趕到現(xiàn)場(chǎng)，并決定從斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？議一議：9m24m?第三十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.看誰(shuí)算得快s3第三十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11美麗的勾股樹(shù)第三十三張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144五、反饋評(píng)價(jià)第三十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2、如圖，受臺(tái)風(fēng)影響，一棵

13、樹(shù)在離地面4米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部3米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng).6x101213x第三十五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 2. 受臺(tái)風(fēng)莎麥影響，一棵樹(shù)在離地面4米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部3米處，問(wèn)這棵樹(shù)折斷前有多高？（注：樹(shù)干與地面垂直）快速搶答4米3米ABC解：常用勾股數(shù)：勾3，股4，弦5（勾股定理）第三十六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月169 或119再展身手注意：哪條邊是斜邊!分類討論思想125ACBBC為斜邊125CABBA為斜邊4、已知：RtABC中，AB12，AC5,則 等于_.第三十七張，PPT共七十頁(yè)，

14、創(chuàng)作于2022年6月 若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為6cm、8cm，則第三邊長(zhǎng)一定為10cm.( ) 判斷正誤 :6868第三十八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.高速公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個(gè)小鎮(zhèn)，DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設(shè)一個(gè)收購(gòu)站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多遠(yuǎn)處?DAEBC1510 x25-x方程思想再展身手第三十九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月你能用四個(gè)直角邊長(zhǎng)是a、b(ba)，斜邊長(zhǎng)c的全等三角形，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形嗎？abcabcabcabc動(dòng)動(dòng)手第四十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月想一想

15、（1）你能用幾種方式表示正方形ABCD的面積？（2）由此你能得到怎樣的等式？你能利用該等式證明勾股定理嗎？ABCDEFGHcaba第四十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 趙爽（即趙君卿）是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家，他在注釋周髀算經(jīng)時(shí)，用四個(gè)全等的直角三角形拼圖，對(duì)勾股定理進(jìn)行了詳細(xì)證明。他是我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)家，也是我們中華民族的驕傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb這就是趙爽的弦圖，又叫勾股圓方圖！第四十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 為了紀(jì)念他的這一重大貢獻(xiàn)，2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，將弦圖作為了該屆大會(huì)會(huì)徽。第四十三張，PPT共

16、七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本方法 通過(guò)構(gòu)造幾何圖形,并利用不同方法去表示同一個(gè)幾何圖形的面積，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，這種方法既具嚴(yán)密性，又具直觀性，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范。面積構(gòu)造法ABCDEFGHcabcccaaabbb數(shù)形結(jié)合思想第四十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月周髀算經(jīng) 畢達(dá)哥拉斯 商高 數(shù)學(xué)史話勾股圓方圖第四十五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果用四個(gè)直角邊長(zhǎng)是a、b，斜邊長(zhǎng)c的全等三角形，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，你能根據(jù)所拼出的圖形，利用面積法證明勾股定理嗎？動(dòng)動(dòng)手abcabcabcabc第四十六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果用

17、四個(gè)直角邊長(zhǎng)是a、b，斜邊長(zhǎng)c的全等三角形，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，你能根據(jù)所拼出的圖形，利用面積法證明勾股定理嗎？動(dòng)動(dòng)手證明：周元治證法 abbcABCD第四十七張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 總統(tǒng)證法 用兩個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形和一個(gè)以c為直角邊的等腰直角三角形拼成一個(gè)梯形。acbbacADCBE第四十八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月acbbacACBEacbbacABE總統(tǒng)證法拼圖正好是周元治證法拼圖 的一半！圖1圖2acbbacCDacbbacABE 總統(tǒng)證法周元治證法 第四十九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 如果我們要找

18、一個(gè)定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳選擇,很多具有古老文化的民族和國(guó)家都會(huì)說(shuō)：我們首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理是勾股定理，它的發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上有著獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。 勾股定理 人類偉大的發(fā)現(xiàn)第五十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月勾 股 弦 定 理商 高 定 理 中國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)研究勾股定理的國(guó)家之一，我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中曾記載，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了：勾三，股四，弦五。第五十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月畢達(dá)哥拉斯定理百牛定理第五十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圖1圖2畢達(dá)哥拉斯證法第五十三張，PPT共七

19、十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（鄒元治證明） （趙爽證明） （總統(tǒng)證明） 精彩紛呈的證明方法 迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力，勾股定理是數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。第五十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月精彩紛呈的證明方法（歐幾里得證明） 第五十五張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（劉徽的青朱出入圖） 精彩紛呈的證明方法第五十六張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月精彩紛呈的證明方法（達(dá)芬奇證法） 第五十七張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月精彩紛呈的證明方法印度、阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明第五十八張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（李銳證明） 精彩紛呈的證明方法第五十九張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（陳杰證明） 精彩紛呈的證明方法第六十張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（項(xiàng)明達(dá)證明） 精彩紛呈的證明方法（向明達(dá)證法）第六十一張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（楊作玫證明） 精彩紛呈的證明方法第六十二張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（辛卜松證明） 精彩紛呈的證明方法第六十三張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（梅文鼎證明） 精彩紛呈的證明方法第六十四張，PPT共七十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 畢達(dá)哥拉斯命題是1940年出版的一本勾股定