《變量與函數(shù)》教案 精華版

1、變量與函數(shù)教案一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容變量與常量的概念，函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的概念2內(nèi)容解析函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型，它來源于客觀實(shí)際，又服務(wù)于客觀實(shí)際本節(jié)課是函數(shù)的起始課，在這里學(xué)生初步接觸了變量的概念，函數(shù)的定義，也為以后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的內(nèi)容打下基礎(chǔ)本節(jié)課內(nèi)容不但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、概括的思維能力有作用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動(dòng)變化等辨證唯物主義觀點(diǎn)和形成良好的個(gè)性品質(zhì)也有一定的幫助本節(jié)課首先從幾個(gè)實(shí)際問題情境入手，引導(dǎo)學(xué)生通過填表和列式表示問題中相關(guān)的量，從中認(rèn)識(shí)常量和變量的主要特征，學(xué)會(huì)區(qū)別它們；接著，教科書通過“歸納”欄目總結(jié)出這些問題中變量之間關(guān)系的共同特

2、點(diǎn)，即“問題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)”教科書又繼續(xù)用心電圖、人口統(tǒng)計(jì)表等問題對(duì)這種變化與對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了補(bǔ)充和強(qiáng)化，這也為后面歸納多種函數(shù)表示法埋下伏筆在此基礎(chǔ)上，教科書第一次給出了函數(shù)的一般概念以及自變量、函數(shù)值等概念，從而初步建立函數(shù)的概念，并給出函數(shù)的解析式的意義所以，本節(jié)課的重點(diǎn)是了解變量與常量的意義，概括并理解函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，用解析法和列表法表示函數(shù)關(guān)系，確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1目標(biāo)（1）了解變量與常量的意義（2）概括并理解函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）用解析法和列表法表示函數(shù)關(guān)系，

3、確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值2目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：在充分體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化過程中數(shù)量變化的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會(huì)變量與常量的含義達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：探究在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在觀察具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)的概念達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：在學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論函數(shù)的自變量取值范圍，用解析法和列表法表示函數(shù)關(guān)系，初步體會(huì)用函數(shù)描述和分析運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課中函數(shù)概念的表述比較抽象，含義深刻，學(xué)生往往不能一下子就能從其定義的文字真正地理解它的內(nèi)涵，因而把握不準(zhǔn)函數(shù)的本質(zhì)教學(xué)時(shí)不要急于給出定義，而需要讓學(xué)生經(jīng)歷分析具體問題

4、中變量之間存在什么樣的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系的過程，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系的共同之處都是單值對(duì)應(yīng)通過對(duì)多個(gè)問題的分析，歸納出各問題中都具有相關(guān)的兩個(gè)變量，這兩個(gè)變量間都具有一個(gè)變量隨另一個(gè)變量而變，而且是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系在具體積累到一定程度上，再給出函數(shù)的定義有了定義后，還需要適當(dāng)?shù)卦儆镁唧w的例子對(duì)定義加以解釋所以本節(jié)課的難點(diǎn)是探究在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在觀察具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)的概念四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）變量與常量的概念1出示問題，創(chuàng)設(shè)情境（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時(shí)間為t h填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？（2）

5、電影票的售價(jià)為10元/張，第一場(chǎng)售出150張票，第二場(chǎng)售出205張票，第三場(chǎng)售出310張票，三場(chǎng)電影的票房收入各多少元設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？（3）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢擴(kuò)大，在這一過程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10 cm，20 cm，30 cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？（4）用10 m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3 m，3.5 m，4 m，4.5 m時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？2解決問題，形成概念針對(duì)上述問題，教師可以進(jìn)行問題分解，學(xué)生以小組合作的形式完成問題1：分別指出

6、問題（1）（4）的變化過程中所涉及的量，在這些量中哪些量是發(fā)生了變化的？哪些量是始終不變的？（1）涉及的量有：速度、時(shí)間和路程，其中時(shí)間和路程發(fā)生了變化，速度始終不變；（2）涉及的量有：票價(jià)、張數(shù)和票房收入，其中張數(shù)和票房收入發(fā)生了變化，票價(jià)始終不變；（3）涉及的量有：圓周率、半徑和面積，其中半徑和面積發(fā)生了變化，圓周率始終不變；（4）涉及的量有：矩形的周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)和鄰邊長(zhǎng)，其中邊長(zhǎng)和鄰邊長(zhǎng)發(fā)生了變化，矩形的周長(zhǎng)始終不變問題2：在問題（1）（4）的變化過程中，發(fā)生變化的量有限制條件嗎？如何限制？變化過程中，發(fā)生變化的量要符合實(shí)際問題的意義如（1）中的時(shí)間t就不能為負(fù)數(shù)，（2）中票的張數(shù)x就只能為

7、自然數(shù)問題3：請(qǐng)給上述問題（1）（4）中發(fā)生了變化的量和始終不變的量起一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿Q在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量問題4：在一個(gè)變化過程中，理解變量、常量的關(guān)鍵詞是什么？在同一個(gè)變化過程中，理解變量與常量的關(guān)鍵詞分別是：發(fā)生了變化和始終不變3鞏固應(yīng)用，掌握概念指出下列變化過程中的變量和常量：（1）汽油的價(jià)格是7.4元/升，加油x升，車主加油付油費(fèi)y元；（2）小明看一本200頁(yè)的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁(yè)數(shù)為n；（3）用長(zhǎng)為30 cm的繩子圍矩形，圍成的矩形一邊長(zhǎng)為x cm，其面積為S 答案：（1）變量x，y；常量7.4（2）變量t，n；

8、常量200（3）變量x，S；常量30設(shè)計(jì)意圖：從幾個(gè)實(shí)際問題情境入手，引導(dǎo)學(xué)生通過填表和列式表示問題中相關(guān)的量，從中認(rèn)識(shí)常量和變量的主要特征，并學(xué)會(huì)區(qū)別它們，也為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的概念做準(zhǔn)備（二）函數(shù)的概念1繼續(xù)探究上面（一）中出示的問題（1）（4）中是否各有兩個(gè)變量？同一問題中的變量之間有什么聯(lián)系？也就是說當(dāng)其中一個(gè)變量確定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量是否隨之確定一個(gè)值呢？首先，師生一起分析變化過程（1）中變量之間的關(guān)系問題（1）中有兩個(gè)變量t、ss是怎樣隨t的具體變化而變化呢？用數(shù)值進(jìn)行說明當(dāng)t的值取定后，s的值有一個(gè)并且只有一個(gè)也就是說，當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，s有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)然后，教師引導(dǎo)學(xué)生類

9、比問題（1）中變量之間的關(guān)系的分析，對(duì)問題（2）（3）（4）進(jìn)行分析，并得出結(jié)論：變化過程（1）有兩個(gè)變量t、s，當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，s有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)變化過程（2）有兩個(gè)變量x、y，當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)變化過程（3）有兩個(gè)變量r、S，當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，S有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)變化過程（4）有兩個(gè)變量x、y，當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)2歸納小結(jié)由以上探究我們可以歸納這樣的結(jié)論：上面每個(gè)問題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)3再次討論其實(shí)，在一些用圖或表格表達(dá)的問題中，也能看到兩個(gè)變量間的關(guān)系我們來看下面

10、兩個(gè)問題，通過觀察、思考、討論后回答：（1）下圖是體檢時(shí)的心電圖其中橫坐標(biāo)x表示時(shí)間，縱坐標(biāo)y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個(gè)變量在心電圖中，對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的對(duì)應(yīng)值嗎？（2）在下面的我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個(gè)變量x與y對(duì)于表中每個(gè)確定的年份x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y嗎？通過觀察不難發(fā)現(xiàn)在問題（1）的心電圖中，對(duì)于x的每個(gè)確定值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)；在問題（2）中，對(duì)于表中每個(gè)確定的年份x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y4形成概念一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x

11、是自變量，y是x的函數(shù)如果當(dāng)xa時(shí)，yb，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值據(jù)此可以認(rèn)為：上面問題（1）中時(shí)間t是自變量，路程s是t的函數(shù)當(dāng)t1時(shí)的函數(shù)值s60；當(dāng)t2時(shí)的函數(shù)值s120；當(dāng)t2.5時(shí)的函數(shù)值s150；同樣地，在以上心電圖問題中，時(shí)間x是自變量，心臟部位的生物電流y是x的函數(shù)；在人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份x是自變量，人口數(shù)y是x的函數(shù)當(dāng)x2 010時(shí)，函數(shù)值y13.71億從上面的學(xué)習(xí)中可知許多問題中的變量之間都存在函數(shù)關(guān)系5鞏固概念下圖是一只螞蟻在豎直的墻面上的爬行圖，請(qǐng)問：螞蟻離地高度h是離起點(diǎn)的水平距離t的函數(shù)嗎？為什么？螞蟻離起點(diǎn)的水平距離t是離地高度h的函數(shù)嗎？為什么？學(xué)生

12、獨(dú)立思考后，小組討論，師生共同得出答案：螞蟻離地高度h不是離起點(diǎn)的水平距離t的函數(shù)，因?yàn)樵谖浵伵佬羞^程中雖有兩個(gè)變量t、h，但當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，h有多個(gè)值與其對(duì)應(yīng)螞蟻離起點(diǎn)的水平距離t是離地高度h的函數(shù)，因?yàn)樵谖浵伵佬羞^程中有兩個(gè)變量t、h，當(dāng)h取定一個(gè)值時(shí)，t有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，探究在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在觀察具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)的概念（三）例題解析例汽車油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子；

13、（2）指出自變量x的取值范圍；（3）汽車行駛200 km時(shí)，油箱中還有多少汽油？解：（1）行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數(shù)行駛路程為x時(shí)耗油為：0.1x油箱中的油量為：500.1x所以函數(shù)關(guān)系式為：y500.1x（2）僅從式子y500.1x看，x可以取任意實(shí)數(shù)，但是考慮到x代表的實(shí)際意義是行駛路程，所以不能取負(fù)數(shù)，并且行駛中耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現(xiàn)有汽油50 L，即0.1x50，x500因此自變量x的取值范圍是：0 x500（3）汽車行駛200 km時(shí)，油箱中的汽油量是函數(shù)y500.1x在x200時(shí)的函數(shù)值將x200代入y500.1x，得y500.120030即汽車行駛

14、200 km時(shí)，油箱中還有30 L汽油像y500.1x這樣，用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的式子，叫做函數(shù)的解析式，它是描述函數(shù)的常用方法設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用解析法表示函數(shù)關(guān)系，使學(xué)生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)；聯(lián)系求代數(shù)式的值的知識(shí)，探索求函數(shù)值的方法（四）課堂練習(xí)1下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出函數(shù)的解析式（1）改變正方形的邊長(zhǎng)x，正方形的面積S隨之改變（2）秀水村的耕地面積是，這個(gè)村人均占有耕地面積y（單位：m2）隨這個(gè)村人數(shù)n的變化而變化2求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍（1）y3x1；（2）；（

15、3）；（4）學(xué)生獨(dú)立完成答案：1（1）正方形的邊長(zhǎng)x是自變量，正方形的面積S是x的函數(shù)函數(shù)關(guān)系式：（2）這個(gè)村人口數(shù)n是自變量，人均占有耕地面積y是n的函數(shù)函數(shù)關(guān)系式：2（1）x取任意實(shí)數(shù)；（2）x取任意實(shí)數(shù)；（3）x2；（4）x2點(diǎn)撥：一般來說，自變量的取值范圍是使式子有意義的值，對(duì)于上述的第（1）（2）兩題，x取任意實(shí)數(shù)，這兩個(gè)式子都有意義，而對(duì)于第（3）題，(x2)必須不等于0式子才有意義，對(duì)于第（4）題，(x2)必須是非負(fù)數(shù)式子才有意義設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)自變量、函數(shù)等概念的理解，掌握用解析式法表示變量間的單值對(duì)應(yīng)以及函數(shù)自變量取值范圍的確定（五）課堂小結(jié)（1）在一個(gè)變化過程中，

16、什么是變量？什么是常量？舉一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的例子并指出其變量和常量（2）在一個(gè)變化過程中，對(duì)于變量x和y而言，滿足什么對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，y才是x的函數(shù)？?jī)蓚€(gè)變量滿足“一對(duì)多”的關(guān)系是函數(shù)嗎？并舉例說明對(duì)函數(shù)概念中“對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)（3）函數(shù)的表示方法有哪些？自變量的取值范圍如何確定？受哪些因素的限制？如何確定函數(shù)值？設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)函數(shù)等概念的理解（六）布置作業(yè)1每個(gè)同學(xué)購(gòu)買一支鋼筆，每支筆5元，求總金額y（元）與學(xué)生人數(shù)n（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系，并指出關(guān)系式中的函數(shù)與自變量，寫出自變量的取值范圍設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求自變

17、量的取值范圍2列出下列問題的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍：（1）如圖，在直角三角形ABC中，C90，銳角A的度數(shù)y與另一銳角B的度數(shù)x的關(guān)系；（2）某20層高的大廈底層高4.8米，以上各層高3.2米，第n層樓頂?shù)母叨萮（米）與n的函數(shù)關(guān)系設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求自變量的取值范圍3一水管以均勻的速度向容積為100立方米的空水池中注水，注水的時(shí)間t與注入的水量Q如下表：請(qǐng)從表中找出t與Q之間的函數(shù)關(guān)系式，且求當(dāng)t5分15秒時(shí)，水池中的水量Q的值設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求函數(shù)值作業(yè)答案：1y5n，n是自變量，y是n的函數(shù)自變量n的取值范圍是：n為自然數(shù)2（1）y90 x，0 x90（2）h3.2（n1）4.8，n是不大于20的正整數(shù)3解：水管是勻速流出水于池中，速度是(42)2，即每分鐘2立方米，函數(shù)解析式為Q2t，自變量t為非負(fù)數(shù)又水池容積為100立方米，時(shí)間不能超過100250(分鐘)，0t50當(dāng)t5分15秒時(shí)，Q2，即當(dāng)t為5分15秒時(shí)，水量為立方米五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1在ABC