專題五解析幾何的知識(shí)點(diǎn)整理歸

1、知識(shí)專題五解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角的范圍：0,)直線的傾斜角與斜率關(guān)系: ktan(其中)2規(guī)律：當(dāng)(0,)時(shí) ， k0, 傾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2當(dāng)(, )時(shí) ， k0, 傾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2當(dāng)0 時(shí)，斜率 k0 ，當(dāng)時(shí)，沒有斜率2y1y2 (其中 x1 x2 )過(guò) P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 兩點(diǎn)的直線斜率公式：kx1x2直線的方程的幾種形式名稱方程形式適用的直線（局限性）點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k( xx0 )ykxb不表示垂直于 x 軸的直線斜截式兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1不表示垂直于 x ， y 軸的直線y1y2x1x2截距

2、式xy1不表示垂直于 x ， y 軸與過(guò)原點(diǎn)的直線ab一般式Ax ByC0（ A2B20 ）直線方程最終都可以化為一般式特別提示： 過(guò)點(diǎn) P（ a,0) 的直線可設(shè)為xamy即xmya(其中 m1 ) , 這樣設(shè)可避免k對(duì)斜率是否存在的討論。兩直線的位置關(guān)系 :（1）利用斜率判斷設(shè)直線 l1: y k1xb1和直線 l2 : y k2 x b2 ,l1 / l 2k1k2且 b1 b2 注：當(dāng)兩直線都沒用斜率時(shí)也有l(wèi)1 / l2l1 l2k1k21注：當(dāng)一條直線沒有斜率， 而另一條直線斜率為0 時(shí)，也有 l1 l 2（2）利用一般式方程的系數(shù)判斷設(shè)直線 l1: A1 xB1 yC10和直線 l

3、2 : A2 xB2 y C20l1 / l 2A1B1C1(A2 B2 C2 0)注：當(dāng) A2B2C 2 0 時(shí)另外考慮A2B2C2l1 l2A1 A2B1B20 ( 不需要討論）距離公式：點(diǎn)到點(diǎn)的距離：點(diǎn) 1(x1 , y1 )到點(diǎn) P2(x2的距離d( x1 x2 )2( y1 y2 )2P, y2 )知識(shí)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P (x0 , y0 ) 到直線 l : AxByC| Ax0 By0C |0 距離 dA2B2平行線間的距離 : 設(shè) l1 : AxByC10, l 2 : AxByC20則 d| C1C2 |A2B25. 圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x a) 2( yb)2

4、r 2 (r0)其中圓心 C( a,b) , 半徑 r（2）圓的一般方程：x2y2DxEyF0(其中 D 2E 24F0)x2y2Dx Ey F 0(xD2( yE2D 2E 24F)422圓心 C(D , E ), 半徑 rD 2E 24F222（3）直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)法 （把直線方程代入圓的方程，位置關(guān)系幾何法 ( 利用弦心距 d與半徑 r 的大小 ）消去 x 或 y , 利用 判斷 ）相 離dr0相 切dr0相 交dr0弦 長(zhǎng)r 2d 2( l ) 2其中 l 指弦長(zhǎng)l1k2( x1x2 )24x1 x22注：研究直線與圓的位置關(guān)系，常用幾何法圓上一點(diǎn) P(x0, y0 ) 引圓 C

5、 的切線有且只有一條，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為xx0當(dāng)切線斜率存在時(shí)，切線方程為yy01(xx0 )kCP圓外一點(diǎn) P(x0, y0 ) 引圓 C 的切線有兩條，可先設(shè)切線方程為y y0k (xx0 )然后利用圓心C到切線的距離 d 等于半徑 r(易忽略了斜率不存在的那條）設(shè) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ), 則以 AB 為直徑的圓的方程為:(x x1 )( x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0證明：設(shè) M ( x, y) 為所求圓上的任意一點(diǎn)，AM(xx1, yy1 ) ， BM(xx2 , y y2 )由AMBM 0易得： ( x x )( xx )(

6、 yy )( yy) 0即為所求圓的方程。1212知識(shí)（4）圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形幾何法公切線條數(shù)Rrd外 離Rrd R r4外 切相 交內(nèi)切內(nèi)含重要知識(shí)： 設(shè)圓 C1 : x2圓 C2 : x2當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦ddRr3Rr2dR r d R rddR - r1ddR - r0y 2D1 x E1 y F10 -，Ny2D 2 x E2 y F20-MMN所在的直線方程求法：將兩圓方程相減， 即 - 消去 x2 , y2 項(xiàng)，得 :Ax By C0 -,此方程就是公共弦 MN所在的直線的方程，下面解釋原因：設(shè) M ( x1, y1), N ( x2 , y2 ) 顯然 M , N

7、符合方程Ax1By1C0即：By2C0Ax2由兩點(diǎn) M,N 確定的直線有且只有一條，方程表示的就是一條直線，故公共弦AB所在的直線的方程就是AxByC0知識(shí)橢圓的定義及其性質(zhì)定義：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：A2B 2F2aacb圖形cF2B1b B 2A1 F1OA2B 1F1標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)頂點(diǎn)范圍性對(duì)稱性質(zhì)a, b, c的關(guān)系離心率通徑A1x2y21(ab 0)y 2x21(ab 0)a2b2a2b2F1 (c,0), F2 (c,0) 焦距 | F1F2 | 2cF1 (0, c), F2 (0, c) 焦距 | F1F2

8、| 2cA1(a,0), A2 (a,0)B1(a,0), B2 (a,0)A1( a,0), A2 (a,0)B1 (a,0), B2 (a,0)長(zhǎng)軸 | A1A2 | 2a,短軸 | B1B2 | 2b長(zhǎng)軸 | A1A2 |2a ,短軸 | B1B2 | 2ba x a, b y bb x b, a y a關(guān)于 x軸 , y軸 及原點(diǎn) O對(duì)稱a2b2c2ec( 0,1)aba2c220，橢圓越圓，離心率1，橢圓越扁aa21e離心率過(guò)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)d2 b2a橢圓的性質(zhì)要點(diǎn) ：六點(diǎn)（ 4 個(gè)頂點(diǎn) +2 個(gè)焦點(diǎn)）、兩線（ 2 條對(duì)稱軸）、兩形（橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形

9、，原點(diǎn)、焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形)焦半徑公式 : 設(shè) M (x0 , y0 )x2y21(a b 0) 上的任意一點(diǎn) ,為橢圓b2a2知識(shí)則 | MF1 | a ex0 ,|MF2 |a - ex0（左加右減）2|MF1|( x0 c)2y02(x0 c)2b2 (1x02 )推導(dǎo)過(guò)程：a( c x0a)2| ac x0 | a ex（0a x0 a)aa雙曲線的定義及其性質(zhì)定義：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：B 2F2cA2cba圖形aF1B1 Ob B2A2 F2F1 A1A1B1F 1標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)頂點(diǎn)性范圍質(zhì)x2y21(a

10、 0,b 0)a2b2F1 ( c,0),F2 (c,0) 焦距 | F1F2 | 2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虛軸端點(diǎn) B1 ( a,0), B2 (a,0)實(shí)軸 | A1A2 |2a ,虛軸 | B1B2 | 2bxa或 xa, y Ry 2x21(a 0,b 0)a2b2F1 (0, c), F2 (0, c) 焦距 | F1 F2 |2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虛軸端點(diǎn) B1 ( a,0), B2 ( a,0)實(shí)軸 | A1A2 | 2a ,虛軸 | B1B2 |2bx R, ya或 y a,對(duì)稱性a, b, c的關(guān)系離心率漸近線通徑關(guān)于 x軸 , y軸 及

11、原點(diǎn) O對(duì)稱c2a2b2ec(1, )bc 2a 2e2 1離心率越大，b 越大即張口越大aaa2ayb xya xab過(guò)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)db22a知識(shí)雙曲線的性質(zhì)要點(diǎn) ：(1)六點(diǎn)（ 2 個(gè)頂點(diǎn) +2 個(gè)焦點(diǎn) +2 個(gè)虛軸端點(diǎn)）、四線（ 2 條對(duì)稱軸 +2條漸近線）、兩形（雙曲線上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，原點(diǎn)、實(shí)軸頂點(diǎn)與虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形)(2)與 雙曲線 x2y2 1共漸近線的雙曲線可設(shè)為x2y2(0)a2b2a2b 2(3)在雙曲線中，焦點(diǎn)到漸近線的距離bcbcbdb2ca2拋物線的定義及其性質(zhì)定義：MdMlF|MF |d 定點(diǎn) F 叫做拋物的焦點(diǎn)，定直線l 叫做拋

12、物的準(zhǔn)線準(zhǔn)線 l標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) :MMMMFM圖形OFFOMOOMFM標(biāo)準(zhǔn)方程y22(0)y22 px( p 0)x22 py( p0)22 py( p0)px px焦點(diǎn)F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p)F (0,p )2222準(zhǔn)線方程xpxppyp22y22范圍x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R對(duì)稱性關(guān)于 x 軸對(duì)稱關(guān)于 y 軸對(duì)稱頂點(diǎn)原點(diǎn) (0,0)離心率e1通徑過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)d2p拋物線的性質(zhì)特點(diǎn)： （ 1）標(biāo)準(zhǔn)方程中，一次項(xiàng)定焦點(diǎn)，一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)定開口;（2）焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的1/4,準(zhǔn)線方程中的數(shù)是一次項(xiàng)系

13、數(shù)的-1/4;(3)|MF|=d利用此結(jié)論， 可實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間相互轉(zhuǎn)化.(4) 拋物線y22(0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：設(shè)A(x , y ), B( x, y)px p1122| AB | | AF | | BF | ( x1ppx2pAA) ( x2) x1p222x1 x2， y1y224p圓心以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切F112| AF | BF |pBB知識(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為相交、相切、相離判斷方法：設(shè)直線 l : Ax By C0( A2B20), 圓錐曲線 C : f ( x, y) 0,由 AxByC 0,即f (

14、 x, y)0將直線 l 方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立 , 消去 y 得關(guān)于 x的一元二次方程ax 2bx c0( 當(dāng)然，也可以消去 x 得關(guān)于 y的一元二次方程),通過(guò)一元二次方程的解的情況判斷直線l 與圓錐曲線 C 的位置關(guān)系，見下表：方程 ax2bx c0 的解位置關(guān)系a若曲線是雙曲線，有1 個(gè)解 , 直線與漸近線平行01 個(gè)解 , 直線與對(duì)稱軸平行相交若曲線是拋物線，有0兩個(gè)不相等的解相交a00兩個(gè)相等的解相切0無(wú)實(shí)數(shù)解相離圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式若直線 l 的斜率存在，不妨設(shè)直線方程為：ykxb , 圓錐曲線 C : f ( x, y)0 ,聯(lián)立方程組ykxm ，消去 y 得關(guān)于 x的一元二

15、次方程ax 2bxc0 ，f (x, y)0設(shè)直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn) A(x1, y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 則 x1, x2 是方程 ax 2bxc0 的兩根，記b24ac（1）由韋達(dá)定定理可得：x1x2b ,x1 x2caa（2）弦長(zhǎng) | AB |1k2| x1x2 |1k 2( x1x2 )24 x1 x21k2| a |若消去 x ，得關(guān)于 y的一元二次方程ay2byc0則|AB| 11| y1y2 |k 211( y1y2 )24 y1 y2k 211k 2| a |知識(shí)10. 解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：直線 l1,l 2 的傾斜角互補(bǔ)k1 k20O

16、P OQ(O為原點(diǎn) )OP OQ0 x1x2 y1 y2 0 （其中 P( x1, y1 ), Q (x2 , y2 ) )在 ABC中, 給出 BAC 900 ,等于己知 AB AC 0 在 ABC中, 給出 BAC為銳角 , 等于己知 AB AC 0在 ABC中, 給出 BAC為鈍角 , 等于己知 AB AC 0給出MAMBMP ，等于己知 MP 是AMB 的平分線MAMB在平行四邊形ABCD 中，給出 ( ABAD) ( ABAD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形 ;uuuruuuruuuruuur在平行四邊形ABCD 中，給出 | ABAD| |ABAD |，等于已知 ABCD 是矩形 ;2OB22ABC 的外心（三角形外接圓的在ABC 中，給出 OAOC ，等于已知 O 是圓心，三角形的外心是三角形三邊垂