一元微積分（第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)）復(fù)習進程

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一元微積分（第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)）-第一章函數(shù)、極限、連續(xù)重點：1、求函數(shù)的極限（最重要的方法是LP法則）2、無窮小的比較3、考察分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性4、間斷點的判定及分類5、介值定理一、函數(shù)1、函數(shù)的定義及表示法【理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式】函數(shù)概念函數(shù)的兩要素函數(shù)的表示方法顯函數(shù)：隱函數(shù)：由方程確定的函數(shù).例：確定了參數(shù)方程表示的函數(shù)：由方程確定的函數(shù).例：確定了.積分上限函數(shù)：例：概率表示的函數(shù)：，其中為隨機變量，為實數(shù).分段函數(shù)：自變量不同范圍內(nèi)用不

2、同式子表示的一個函數(shù)【例】；.如A.絕對值表示的函數(shù)；B.極限表示的函數(shù)；C.其他形式-符號函數(shù)取整函數(shù)2、函數(shù)的性質(zhì)【了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性，奇偶性】有界性：在某區(qū)間內(nèi)有定義，若存在，對任意，總有，則稱在某區(qū)間內(nèi)有界.否則稱在某區(qū)間內(nèi)無界.例：單調(diào)性：在某區(qū)間內(nèi)有定義，若，當時，就稱單調(diào)上升；當時，就稱單調(diào)下降不含等號時稱嚴格單增（或單減）.奇偶性：若，則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱；若，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱周期性：（主要是三角函數(shù)）【例1】討論的奇偶性【奇函數(shù)】【例2】設(shè)，則是（）A.偶函數(shù)B.無界函數(shù)C.周期函數(shù)D.單調(diào)函數(shù)【解】因為時，所以非有界即為無

3、界函數(shù).基本初等函數(shù)【掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形】（反、對、冪、三、指）常數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)-（為常數(shù)）例：指數(shù)函數(shù)-（），對數(shù)函數(shù)-（），三角函數(shù)-反三角函數(shù)-復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)【了解反函數(shù)和隱函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解初等函數(shù)的概念】復(fù)合函數(shù)；為外層函數(shù)，稱為內(nèi)層函數(shù)反函數(shù)的反函數(shù)為或.【例】稱為是函數(shù)的反函數(shù).【例】看作是由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).初等函數(shù)：由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合運算而得的用一個數(shù)學式子表示的函數(shù).注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)?！纠吭O(shè)，求【解】二、極限【理解極限的概念，理解左、右極限的概念及極限存在與左、右極限的關(guān)系】定

4、義：若當時，則稱結(jié)論：性質(zhì)【掌握極限的性質(zhì)】極限存在的唯一性：極限存在則唯一局部有界性：若，則在的一定范圍內(nèi)有.保號性：若，則在的一定范圍內(nèi)若存在，則當時，一定有【例】由.【例】由.【例】由單調(diào)遞增.3、無窮小及其比較【理解無窮小、無窮大及無窮小階的概念，會用等價無窮小求極限】定義：若，則稱時，為無窮小量若，則稱時，為無窮大量（注意區(qū)別無窮大量與無界函數(shù)）性質(zhì)：有限個無窮小的和（積）仍為無窮小常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小【即】【例】求【0】無窮小的比較若和為自變量同一變化趨勢下的無窮小量，若，稱是比高階的無窮小，記為若，（），稱和為同階無窮小若，稱和為等價無窮小

5、，記為若，(),則稱是的階無窮小4.求極限的方法【掌握洛必塔法則、極限的四則運算法則、極限存在的兩個準則、兩個重要極限，會用它們求極限】用洛必塔法則求極限未定型的極限一般可用洛必塔法則來求.型直接用，其他五種未定型的極限必須化為上述形式才能用洛必塔法則來求.【例1】求【例2】求.【例3】求.求.求.【例6】【例7】（2009數(shù)三）求利用四則運算法則求極限（和、差、積、商的極限當每一個極限存在且分母極限不為零時可分別求）【例1】求【例2】求【例3】求.利用左、右極限求極限【例1】設(shè)，求【解】，則=1求【解】；，則利用極限存在的兩個準則求極限（）若，且，則（）若數(shù)列單調(diào)遞增有上界（或數(shù)列單調(diào)遞減有

6、下界），則數(shù)列一定有極限【例1】求【解】因而，則求【解】，則或【例】設(shè)，其中，求【證】，即數(shù)列有下界即，即數(shù)列單調(diào)遞減，由單調(diào)有界原理知數(shù)列有極限，設(shè)，則，即，則.【例4】設(shè)【解】，假設(shè)，則，所以有上界；因假設(shè)，那么，所以單調(diào)遞增；由于數(shù)列單調(diào)遞增有上界，所以數(shù)列一定有極限，設(shè)在兩邊取極限，有總結(jié)：給出了與的關(guān)系式（），要求，一般用單調(diào)有界準則（首先證明極限存在，再兩邊取極限）.利用兩個重要極限求極限（與三角函數(shù)有關(guān)的型的極限）（型的極限）【例1】求.【例2】求.利用“有界函數(shù)與無窮小量相乘仍是無窮小量”求極限若，且，則【例1】求解：而，故.【例2】求.利用等價無窮小代換求極限定理：若，則（注

7、：乘除可以換，加減不能換）常見的等價無窮?。簳r，【例1】求【解】原式【例2】求(注：)【解】原式（乘積中某一部分極限存在且不為零，可先求出此極限）【例3】已知，求【解】，則【例4】求【解】原式.利用函數(shù)的極限求數(shù)列的極限(注：數(shù)列非連續(xù)，不可直接使用羅必塔法則)【例】求利用變量代換求極限【例1】已知，求【解】令：，則.【例2】求.極限值已知，確定未知常數(shù).【例1】已知，求【解】解得：【例2】設(shè)當時，是比高階的無窮小，求.【解】由已知得,即又，則，【例3】（2009數(shù)1、2、3）當時，與為等價無窮小量，求.【解】,于是再由.則總結(jié)：求型極限，若乘積因子中有等價無窮小量可先代換；若有非零的乘積因子

8、可先計算出其極限；若仍為型，此時考慮用羅必塔法則，同時結(jié)合其他求極限的方法.二連續(xù)性【理解函數(shù)連續(xù)的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判斷函數(shù)間斷點的類型】連續(xù)的定義：若（），則稱函數(shù)在點連續(xù)間斷點及其分類：若函數(shù)在點不連續(xù)，則點稱為的間斷點第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點（左、右極限不相等的為跳躍間斷點，左、右極限相等的間斷點為可去間斷點）第二類間斷點：非第一類的間斷點（注：一般地，分段函數(shù)的分段點及分式函數(shù)中分母為0的點都有可能為間斷點）初等函數(shù)的連續(xù)性【了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性】基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的；單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在相對應(yīng)

9、的區(qū)間上仍為單調(diào)連續(xù)函數(shù)【例1】討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型.【解】因為，所以為第二類無窮型間斷點，因為，所以為第一類跳躍間斷點.【，為第一類可去間斷點，為第二類無窮型間斷點】【解】，為的間斷點，且因為，所以，為第一類可去間斷點，為第二類無窮型間斷點【例2】函數(shù)（A）在其定義域內(nèi)連續(xù)，AB.C.D.【解】為初等函數(shù)，其定義域為，即其定義區(qū)間為，由初等函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)知A正確.而B、C、D的定義域均為R，其中在處均不連續(xù).【例3】設(shè)，如何選擇，使在內(nèi)連續(xù)【解】時，為初等函數(shù)，時，為初等函數(shù)，均連續(xù)，要使在內(nèi)連續(xù)，只需在時連續(xù)即可.即時，在內(nèi)連續(xù)討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型.【解】，則為第一類跳躍間斷點；，則為第一類跳躍間斷點【例5】（2009數(shù)1、2、3）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為.【解】由均為的間斷點，而；，當時，均有，故函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為3.、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)】（1）若為上的連續(xù)函數(shù)，則在上一定取得最大值和最小值（2）若為上的連續(xù)函數(shù)，M和m分別是在上的最大值和最小值，常數(shù)C滿足：，則一定存在，使（3）（零點定理）若為上的連續(xù)函數(shù)，且，則至少存在，使【例1】證明方