大一大二大一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)4

1、工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)西安交通大學(xué)理學(xué)院hqlee第章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) Fourier級(jí)數(shù)第二節(jié)第三節(jié)第節(jié)冪級(jí)數(shù)2010-12-62/47四四第三節(jié)冪級(jí)數(shù)3.13.23.33.4冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例習(xí)題4.32，4 (3) (5) (6), 9(1) (3) (5),10（2）,11冪級(jí)數(shù)2010-12-63/47.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑xa aa x aLLnx2n形如n0nn0an或的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)，n0n0n都是實(shí)常數(shù).其中0與系數(shù)令 x x ta tnn0ann0n0n 0以下主要研究形如 an0t n的級(jí)數(shù) .n冪級(jí)數(shù)

2、2010-12-64/47定理 3.1(Abel 定理 )對(duì)于級(jí)數(shù)xan ，下列命題成立：nn0（1）若在x0 0處收斂，則當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散;0（2）若在x1 0處發(fā)散，則當(dāng)1nnxxn Nn(1 nxan證明nn0 xx00nxNn收斂 xan收斂.收斂得證.(2) 用反證法可證nx0 xxx 收斂xx 發(fā)散發(fā)散發(fā)散00112010-12-65/47冪級(jí)數(shù)Q xan收斂, lim a xn ,0n0nn0N ,當(dāng)n 時(shí)， xn 1n0冪級(jí)數(shù)的 收斂半 徑冪級(jí)數(shù)xa定理3.2n的收斂性?xún)H有三種可能nn0,（1）對(duì)于任何它都收斂，且絕對(duì)收斂。（2）僅在x=0 收斂.(3 R:

3、 R時(shí)收斂,當(dāng),當(dāng)時(shí)發(fā)散(-R,R):收斂收斂半徑.收斂區(qū)間xRR發(fā)散發(fā)散2010-12-66/47冪級(jí)數(shù)設(shè)有冪級(jí)數(shù) xan若a,0并且定理3.3nnan存在或?yàn)椋瑒t收斂半徑為limn an1若R=0,則級(jí)數(shù)僅在x=0 收斂.若R ，則級(jí)數(shù)在 )上收斂證利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)檢比法，n1 lim an1xaxn1Qlimnanxannnanan當(dāng)x lim時(shí),級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)x lim時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散n an1n an1anR limn an1冪級(jí)數(shù)2010-12-67/47R lim ann an1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:例xnnxn2n12(1) (1n1n2();1)n ( x )n .n1(3n1 n!

4、nan lim n 1 1(Q R lim解n an1nn)n級(jí)數(shù)為n1當(dāng)x 時(shí),該級(jí)數(shù)收斂n1當(dāng)x 時(shí),級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)發(fā)散nn 1故收斂域是 ,1.冪級(jí)數(shù)2010-12-68/47xn2n122();1)n ( x )n .n1(3nn1 n!an(2) R lim lim(n 1) 解 斂域 )n an1nann 1 1(3) R lim limnn an12n2x 1 1 收斂,x (0,1 收斂即221當(dāng)x ,時(shí)級(jí)數(shù)為發(fā)散n故收斂域?yàn)?0,1.n1)n當(dāng)x 級(jí)數(shù)為,時(shí)收斂nn1冪級(jí)數(shù)2010-12-69/47nx例 求冪級(jí)數(shù)n1的收斂區(qū)間.2n應(yīng)用判別法解nx2n1 1n1 limlim

5、n2x,nxn2n2n當(dāng)1 x2 ,1即x 級(jí)數(shù)收斂,2時(shí),2當(dāng)1 x2 ,1級(jí)數(shù)發(fā)散,x即時(shí)2R ,2).,2斂區(qū)為冪級(jí)數(shù)2010-12-610/47設(shè) cn ( 1) 在n 3發(fā)散，求例 3 n)n c該級(jí)數(shù)的收斂半徑；討論的收斂性n 2 令x 1 t解 t 2時(shí)絕對(duì)收斂 2處收斂n在則級(jí)數(shù) cn在t 2處發(fā)散 在t 2時(shí)發(fā)散 R 2斂區(qū)為 ,3)3 3 nQ,2)級(jí)數(shù))n c收斂2n 2 冪級(jí)數(shù)2010-12-611/473.2若a0冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì) s ( xxn, R )定理3.4n111bxn s ( x , R )n2220記R minR , R 則(1) (a b ) xn

6、s ( x) s ( x), (, R)nn120an ) x ) n n(2)a b xR)nnjin0 i 00baa bx a b a b ) x2 L(01100210(a b a b a Lb a b ) xn L1n1n1020n冪級(jí)數(shù)2010-12-612/47c 2級(jí)數(shù)的乘積34 xa5xaxaaa x2xaL345012b0a2345aaaa000102030405b1 xa b xx4x62x 3bax5baababa1013151112142xb2a3567aaaa4a220232521243xb34567aaaaa8a33031323334354xb479a56a8aa

7、aa44043454142445xb6795aaa10a8aa5515254505553Ln ) bn ) n0 xn a0i xbnnnnij02010-12-613/47冪級(jí)數(shù)c 6c 5c 4c 3c1c0定理3.5 （內(nèi)閉一致收斂性）設(shè)冪級(jí)數(shù) xan的收斂半， 則它在其收徑為n0斂區(qū)間(上都是一致收斂的 .內(nèi)任何閉子區(qū)間 r R令 max, b ,則證從而ra即ran絕對(duì)收斂,n收斂.nnn0n0nan x ann)又當(dāng)時(shí)由M判別準(zhǔn)則，級(jí)數(shù) an0n在 r上一致收斂從而在上一致收斂.n冪級(jí)數(shù)2010-12-614/47定理.冪級(jí)數(shù)xan 的和函數(shù)sx(1)在收斂區(qū)間nn 0 RR)內(nèi)連

8、續(xù).任取x0 R R),證,0使 r R,必存在0由內(nèi)閉一致收斂定理，級(jí)數(shù) an在 連續(xù)數(shù)S(r上一致收斂于)nn0)在 根據(jù)定理.23，和函r上連續(xù)因而在x0處連續(xù).冪級(jí)數(shù)2010-12-615/47（2）冪級(jí)數(shù)xan 的和函數(shù)sx在收斂區(qū)間nn 0 R并可逐項(xiàng)求導(dǎo). 即 R)內(nèi)可導(dǎo),R), 有 n1s(n1 .) xnn0naxannnn0(收斂半徑不變)（3）冪級(jí)數(shù)xan 的和函數(shù)s( x )在收斂區(qū)間nn 0)內(nèi)可積,且可逐項(xiàng)積分，即對(duì)R)，有anx n 1xn1 .xxs( x)dx dx nnan xand000n0n0(收斂半徑不變)n0冪級(jí)數(shù)2010-12-616/47n1n例

9、( x ) x n n1 x1 1 x x 11 x211 x n1)Sn1xx )1 (0 S) ln( x1(x冪級(jí)數(shù)2010-12-617/47nxn xnn1 n1n1xn 2 2xn n x nn1n1xn( nn1S n n1 n1例 xn1n1 x n1n1 n0nn(n0 21n)xnn nx2 x n0 1 x n0 nxn1 n1 x)nn0n n0 n0 1 ,1) 1 x 收斂區(qū)間為冪級(jí)數(shù)2010-12-618/47S( 1)nxn1n1nn)求n1例的和.2n解n , nn1)考慮級(jí)數(shù)(-1,1),收斂區(qū)間 x xn1 n1n 1) xn則s(n12 xx 2 x()

10、 1 x,(1 x)3) 1.8 s() 2故2nn1冪級(jí)數(shù)2010-12-619/47xn3x L.例7求級(jí)數(shù)的和函數(shù)。n!3n1n an1 )! QR limlim解!1nnn1xn x3n1!3LL.S設(shè))(n!x3dS!3x),S (xS) C1 lndx)SS(0 x) Cx C1）（ ex 1 C 1 S( x冪級(jí)數(shù)2010-12-620/471n1n1x例求級(jí)數(shù)的和函數(shù)。nn2xna2令 x x 2R limn解nn an1n1 n2 1n112 2則 (x n1 1 n122 xdt x (0) ln1.2 t020 x 012xx 0 x 21 n12x n2n xx 21

11、)n1 ln(2且x 0且x 0 xx冪級(jí)數(shù)2010-12-621/47小結(jié)a或 xa1.冪級(jí)數(shù)的概念:nnn0nn1n12.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域:an limR lim或收斂區(qū)間(-R,R)，nn an1n 首項(xiàng) xn(3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及求和1 x 1)nn n1 nx x x ,n1 n1 xn1xn x S( x xn1n1(nn) n冪級(jí)數(shù)2010-12-622/47n思考題冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.xnxn1 n1(例2nnn1 1)n2()( , 它們的收斂半徑都是1,nn2,11, ,11), (,11)但它們的收斂域各是冪級(jí)

12、數(shù)2010-12-623/47冪級(jí)數(shù)第二講習(xí)題 4.3(A)6(2)(4)(7), 7, 8(5), 14冪級(jí)數(shù)2010-12-624/473.3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂nax R x f ( x )n000n0展開(kāi)問(wèn)題1若 問(wèn)題2能表達(dá)成右端的冪級(jí)數(shù) ，an ?f x 滿(mǎn)足什么條件時(shí)，才能 表達(dá)成右端的冪級(jí)數(shù)，或者右端的冪級(jí)數(shù)收斂 于f .冪級(jí)數(shù)2010-12-625/47首先回答問(wèn)題1 x xnR x x0 R導(dǎo)。x0f如果n0n0則)(在收斂區(qū)間內(nèi)任意階可f x0 a1f x a f ()n1,n x xn01 2f ()n2n n 1)( x xn01f x !2a xLL0220!2(

13、x a n 1)L( k 1)( x xkf)n01k kak xf0k!n0n0n!nx0 R x x0 R)( 0冪級(jí)數(shù)2010-12-626/47Taylor級(jí)數(shù)的定義x0在處任意階可導(dǎo)，則稱(chēng)如果f為在0點(diǎn)的 Taylor級(jí)數(shù)x0 0時(shí)的Taylor級(jí)數(shù) x 11 f 0 x2 L0Lxf!2f n 0n!n0稱(chēng)為f(x)的Maclaurinnxn!（林）級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)2010-12-627/47n n00 n0n!再研究第2個(gè)問(wèn)題，即：f(x)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，k 0k收斂于f(x)。xxk!0k 0如果f 在區(qū)間(Rx0 R 內(nèi)n 1階可導(dǎo)，定理0則)(在該區(qū)間可以表示為k 0 n1 n

14、n1kxfxxn !100k!k 0 Pn x Rx0 xc介于 x 與之間，nn x由于n1x Rn 0f所以n1冪級(jí)數(shù)2010-12-628/47設(shè))(在區(qū)間（ x0 R，定理3.7）任意階0R，x0 R）內(nèi)能展開(kāi)為可導(dǎo)，則 f它在x0點(diǎn)的在（0級(jí)數(shù)的充要條件是 n1n1lim Rnx 0limxxn 0nnx0 R x x0 Rx 與 x0c介于之間，冪級(jí)數(shù)2010-12-629/47推論x 在區(qū)間（ x0 R，x0 R）任意階如果f可導(dǎo)，f在（ x R，xR）內(nèi)一致有界，n0與0即K ,0使對(duì)（x0 R，x0 R）,都有那么 在（ x0 R，x0 R）內(nèi)必能nf( x展開(kāi)為它在 x0點(diǎn)

15、的級(jí)數(shù)n1 Kn n1n1x x0 x x0Rn證n Kn 0 收斂n1Rn 收斂 0Rn冪級(jí)數(shù)2010-12-630/473.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直 接法(級(jí)數(shù)法) f nx求an 0(;步驟:n! (M( n)(2)lim或0fx),nn)則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 斂于冪級(jí)數(shù)2010-12-631/47例1x 展開(kāi)成Maclaurin 級(jí)數(shù).f將 e x(0) 1.(n 0,1,2,L)nn解(f 1 x21 xnx 1 LL!2n!對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿(mǎn)足en1 0n )xnn )! 1 x 2 L 1 xnx )x 1 L!2n!冪級(jí)數(shù)2010-12-632/47例2將(f )x

16、的冪級(jí)數(shù).nsin( n), ( f 0nn )(f)sin ,解2,1,2,L)2( 2n1) (0 f(n(0,1)n ,n fsin( x n) 1x )n且2n1 1 1sin x L3x 1)!3!5x )冪級(jí)數(shù)2010-12-633/47 (例3) n ( 1)L )(1 ny(1 特別地， 1 :（1 Ln 1xx x2x3 Ln011123Lx x :2)n (2n 3)! xnL,1( n) !冪級(jí)數(shù)2010-12-634/472.間接法根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.(sixnx 例co如s)n1 1

17、1Qsin x x Ln 1)!3!512n 1cos 12Lx!2!4n)!x (,)冪級(jí)數(shù)2010-12-635/47dxL dxxx1 2arctan x1 x200n1 1 1 xLx3x5n 1x ,1dxx x) (1 x0ln(nn11 x n00n 1 1 x2Lx 23n,1冪級(jí)數(shù)2010-12-636/47 5處的Taylor展開(kāi)式例4 求)(令x 5 t解 1t1x ft 2 tt 23 t n t n 11)n )n t 2 3 2 32 n0n0 n0 11 n 5n 2)(32冪級(jí)數(shù)2010-12-637/471 )n xn1nx 1 1 x 1 n0例5 把cos

18、x展開(kāi)為（ x )的冪級(jí)數(shù)4 令 則cos解4 2x cos( t ) (cossin)42nt 2n2tnn) ) ( n 2(n)!n0n0 t 2 t 6 t 77!2t1 t L2!2!3!4!5!6 )4( x 24x ) L24!2!3!4冪級(jí)數(shù)2010-12-638/47例6Maclaurin 展式寫(xiě)出下列函數(shù)的1 x1 ;2cosln(cosx);arctan21 x解2nx 21 1 n (x1 (1) f ( x) )22(2n)!2 x )n01n 11211 (21) nlnf( ln( x12x 11 1 1 n1 1 x x nxn13()nx2( n1)n x2n

19、1) f 1 x2f 4( x 1)n0 )n 0 xn( x x)n 4冪級(jí)數(shù)2010-12-639/473.5式的主要應(yīng)用1、求函數(shù)的近似值，且可估計(jì)誤差。sin x1dx04的近似值，并使誤差不超過(guò)例7計(jì)算x0 x3!3L7!Q sin解!5x 2sin x 1L1xsin x!31 !57!111dx L1x!1!0 104!sin x11dx 1 0.9461x!0冪級(jí)數(shù)2010-12-640/472.用小o求極限x2cos2limx0例8求4xx4 分析：cosxx2 2 224 1 1 e2!22 1 1 x 11 1原式 lim !4x08 解x4!4812冪級(jí)數(shù)2010-12-641/473.求高階導(dǎo)數(shù)x xn , n0fn0n0n!an冪級(jí)數(shù)2010-12-642/47 f n (a0n( n0(10)例9 設(shè)f ( xarctan x ),