大一課件全電磁場new場論

1、工程電磁場南京航空航天大學(xué) 0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)x=0 平面dydzdxdydxdzdydxdzP(x,y,z)0.1 標(biāo)量場和矢量場1. 坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系（笛卡爾坐標(biāo)系）xyz0原點z=0 平面y=0 平面dV=dxdydz0.1 標(biāo)量場和矢量場2. 標(biāo)量和標(biāo)量場標(biāo)量：僅具有大小特征的量。用一個實數(shù)表示，例如：距離L，高度H用兩個實

2、數(shù)表示，例如：正弦電壓標(biāo)量場：標(biāo)量在空間的分布。例如 電位場：高度場：等值面（線），等位面（線）單位矢量模矢量：不僅具有大小，而且具有方向特征的量。0.1 標(biāo)量場和矢量場3. 矢量和矢量場矢量場：矢量在空間的分布。例如 電場：例如：電場強(qiáng)度 ，速度矢量線0.1 標(biāo)量場和矢量場矢量：大?。＃较颍▎挝皇噶浚?. 矢量運(yùn)算（1） 代數(shù)運(yùn)算加減運(yùn)算：（平行四邊形法則）乘法運(yùn)算：（點乘，叉乘） 0.1 標(biāo)量場和矢量場（2） 積分運(yùn)算 線積分:定義：若矢量場 的線積分值與積分路徑l 的形狀無關(guān)，則稱 為守恒場（或保守場）。0.1 標(biāo)量場和矢量場 環(huán)量積分: 通量積分:S閉合時，有：物理意義：環(huán)量表示

3、漩渦源的強(qiáng)弱。物理意義：通量表示通量源的強(qiáng)弱。：S 內(nèi)有源：S 內(nèi)有匯0.1 標(biāo)量場和矢量場5. 矢量微分算子標(biāo)量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度哈密頓算子0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0.2 標(biāo)量場的梯度圖1 等高線問：P 點處，三個顏色標(biāo)注的方向，哪個山勢最陡？P紅色的那條路徑山勢最陡0.2 標(biāo)量場的梯度設(shè)一個標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)，若函數(shù) 可微，定義：梯度(gradient)哈密頓算子式中物理意義： 標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點的函數(shù); 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方

4、向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向. 梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù);0.2 標(biāo)量場的梯度梯度的計算公式0.2 標(biāo)量場的梯度例：設(shè)一標(biāo)量函數(shù) 描述了空間標(biāo)量場，試求：(1) 該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；(2) 該函數(shù)沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)，并求得該方向?qū)?shù)在點P(1,1,1)處的值。答案：(1)(2)0.2 標(biāo)量場的梯度課后習(xí)題：（1） 和 ；xyz0（2） 。如圖所示， 為空間中源點 與場點 之間的距離，即矢量 的模， ，求：其中，0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0

5、.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0.3 矢量場的散度 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)圖3 矢量場的通量 通量的物理意義： 如果包圍點P的閉合面S 所圍區(qū)域V 以任意方式縮小為點P 時, 通量與體積之比的極限存在，即:散度(divergence)計算公式物理意義: 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；散度的概念和物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性：這點有正源這點有負(fù)源連續(xù)場，無源場散度和通量源(無源）(正源）(負(fù)源） 在矢量場中，若 ，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 ，稱之為無源場。散度的計算公式注意： 散

6、度是一種矢量運(yùn)算，但結(jié)果是一個標(biāo)量； 通量源的性質(zhì)只有兩種，對應(yīng)散度的正負(fù)號，散度無需方向信息。例題與習(xí)題如果 ，求原點處解：是常數(shù)2，與位置無關(guān)。課后習(xí)題：1. 求點 P(2,3,-1) 處的 ，其中，通量高斯散度定理 高斯散度定理意義： 在三重積分與二重積分之間，建立起了聯(lián)系0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0.4 矢量場的旋度旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。旋度(curl)在直角坐標(biāo)系下旋度也可描述成單位面積上的環(huán)流量max以“流速場”為例，利用

7、一個小漿輪作為“旋度計”。如圖所示：流速場1. 流速均勻2. 流速不均旋度的物理意義物理意義： 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 在矢量場中，若 ,稱之為旋度場(或旋渦場)， 稱為旋度源(或旋渦源)； 若矢量場處處 ，稱之為無旋場（保守場）。旋度的物理意義旋度的計算公式注意： 旋度是一種矢量運(yùn)算，但結(jié)果也是一個矢量； 旋度的方向垂直于矢量線圍成的面，與矢量線的方向滿足右手螺旋法則。例題與習(xí)題設(shè)在 區(qū)域內(nèi) ，其余區(qū)域 ，如圖所示。計算邊長為d，中心位置在 y0 平面上 處的正方形路徑的 值，其中 。xyzdd解1： 當(dāng)面積趨于0 時，有：其他分量值為0，所以：例題與習(xí)題解2： 而課后習(xí)題

8、：2. 已知 ，求沿著 到 到 到 再到 的矩形路徑的閉合回路積分 ；作為 的近似，求閉路線積分與該閉路圍成的面積的商；計算該面積中心點的 。斯托克斯旋度定理 斯托克斯旋度定理意義： 在面積分與線積分之間，建立起了聯(lián)系。由散度的定義：有：0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0.5 亥姆霍茨定理1. 矢量恒等式證明：由斯托克斯定理，有：在矢量場中，任取一有向曲面，做面積分，而，而 是任取的， 0.5 亥姆霍茨定理2. 場的分類無旋場無源場一般場調(diào)和場判斷矢量場的類型=0=0=000=00.5

9、 亥姆霍茨定理在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。在電磁場中3. 亥姆霍茨定理：已知矢量 的通量源密度矢量 的旋度源密度場域邊界條件矢量 唯一地確定電荷密度 電流密度場域邊界條件唯一地確定了電磁場無源場無旋場0.5 亥姆霍茨定理線性空間，根據(jù)矢量的疊加原理： 其中結(jié)論： 任意矢量場可描述成無旋場和無源場之和，且無旋場由該矢量場的散度決定，無源場由該矢量場的旋度決定。物理意義：0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)0.6 三種特殊的場1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)

10、為 Z 軸)的一族平行平面上，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為平行平面場。2.軸對稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族子午面上，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為軸對稱場。3,球面對稱場：如果在一族同心球面上(設(shè)球心在原點)，場 的分布都相同，即 ，則稱這個場為球面對稱場。0 場論0.1 標(biāo)量場和矢量場0.2 標(biāo)量場的梯度0.3 矢量場的散度0.4 矢量場的旋度0.5 亥姆霍茨定理0.6 三種特殊的場主要內(nèi)容總結(jié)主要內(nèi)容1. 矢量場和標(biāo)量場：d100 V+-0 d /2 d50100間距zv/V電壓v的分布：電場強(qiáng)度 的分布：xyz0+ + + + + + + + + +- -

11、 - - - - - - - - - - - -100V0Vyz0主要內(nèi)容2. 矢量乘法：點乘叉乘主要內(nèi)容習(xí)題：1. 證明 和 是正交矢量。2. 證明矢量 、 和 是直角三角行的邊，并計算該三角形的面積。作業(yè)：用矢量，求由P(1,1,1)、Q(3,2,5)和S(5,7,9)三點構(gòu)成的三角形的面積。主要內(nèi)容直角坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)球坐標(biāo)3. 矢量微分算子：主要內(nèi)容習(xí)題：作業(yè)：1. 若 ，求 。 2. 在靜電場，我們定義電場強(qiáng)度 和電位 之間滿足負(fù)梯度關(guān)系： ，還定義體電荷密度滿足： ，在下列情況下，求 和 ，(1) 圓柱坐標(biāo)下， ，這里V0和a是常數(shù)；(2) 球坐標(biāo)下， 。 如果電場強(qiáng)度在空間給定，是 ，求： 和 。 無旋場無源場一般場調(diào)和場主要內(nèi)容4. 場的分類參考文獻(xiàn)1 王澤忠，全玉生，盧斌先. 工程電磁場 M.