八上期末復(fù)習(xí)《一次函數(shù)》壓軸題含答案

1、一次函數(shù)綜合題選講及練習(xí)例1.如圖所示，直線 L： y=mx+5m與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸分別交于 A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)OA=OB時(shí)，求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線L的解析式；(2)在(1)的條件下，如圖所示，設(shè) Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線 OQ,過A、B兩 點(diǎn)分別作 AM，OQ于M, BNOQ于N,若AM=Jj斤，求BN的長(zhǎng)；(3)當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn) B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以 OB、AB為邊，點(diǎn)B為直角 頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角 OBF和等腰直角 ABE,連EF交y軸于P點(diǎn)，如圖 .問：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想 PB的長(zhǎng)是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若 不是，說明理由.v變式練習(xí)：

2、1.已知：如圖1, 一次函數(shù)y=mx+5m的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A、B,與函數(shù)y=-Wx的圖象交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-3. 3(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)Q為直線OC上一點(diǎn)，且 S4QAC=3SAAOC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2,點(diǎn)D為線段OA上一點(diǎn)，/ ACD=/AOC.點(diǎn)P為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線CD和直線CO的距離相等.在圖2中，只利用圓規(guī)作圖找到點(diǎn)P的位置；(保留作圖痕跡，不得在圖 2中作無(wú)關(guān)元素.) 求點(diǎn)P的坐標(biāo).例2.如圖1,已知一次函數(shù)y=-2x+6分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線BC 4交x軸負(fù)半軸與點(diǎn) C,且OC=OB .2(1)求直線BC的函

3、數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2,若4ABC中，ZACB的平分線 CF與/ BAE的平分線 AF相交于點(diǎn)F,求證：ZAFC=1Z ABC ;2(3)在x軸上是否存在點(diǎn) P,使 ABP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式練習(xí)：2.如圖，直線l： y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點(diǎn)，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.動(dòng)點(diǎn) 4P、Q分別在線段 AC、AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，滿足/ BPQ=/BAO.(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是, BC=.(2)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)， APQCBP,說明理由.(3)當(dāng)4PQB為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).課后作業(yè)：1.已知，如圖直線 y=2x+3與直線y=

4、-2x-1相交于C點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn).(1)求兩直線與y軸交點(diǎn)A , B的坐標(biāo)及交點(diǎn) C的坐標(biāo)；(2)求4ABC的面積.2.如圖，直線y= - x+1分別與坐標(biāo)軸交于2A , B兩點(diǎn)，在y軸的負(fù)半軸上截取 OC=OB(1)求直線AC的解析式；(2)如圖，在x軸上取一點(diǎn) D (1, 0),過D作DELAB交y軸于E,求E點(diǎn)坐標(biāo).圉圖Z3.如圖，直線L： y= - Jx+2與x軸、y軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)C (0, 4),動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿 x軸向左移動(dòng).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)M在x軸正半軸移動(dòng)并靠近 0點(diǎn)時(shí)，求ACOM的面積S與M的移

5、動(dòng)時(shí)間t之間的 函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M在O點(diǎn)時(shí)，ACOM的面積如何？當(dāng) M在x軸負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，求ACOM 的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)寫出每個(gè)關(guān)系式中 t的取值范圍；(3)當(dāng)t為何值時(shí) COMAOB,并求此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo).B0:/例1.【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.【分析】(1)當(dāng)y=0時(shí)，x= - 5;當(dāng)x=0時(shí)，y=5m ,得出A ( - 5, 0), B (0, 5m),由OA=OB ,解得：m=1,即可得出直線 L的解析式；(2)由勾股定理得出 OM的長(zhǎng)，由AAS證明 AMO0ONB,得出BN=OM ,即可求出 BN的長(zhǎng)；(3)作EKy軸于K點(diǎn)，由AAS證得 ABOA BEK，得

6、出對(duì)應(yīng)邊相等 OA=BK , EK=OB , 得出EK=BF ,再由AAS證明 PBFA PKE,得出PK=PB ,即可得出結(jié)果.【解答】解：(1) ,對(duì)于直線 L： y=mx+5m ,當(dāng)y=0時(shí)，x= - 5,當(dāng)x=0時(shí)，y=5m , .A (-5, 0), B (0, 5m), OA=OB ,5m=5,解得：m=1 , .直線 L 的解析式為：y=x+5 ;OA=5 , AM=T .由勾股定理得：OM=6屋-AM 2=J 5* -(舊)2二Wa,. / AOM+ ZAOB+ ZBON=180 , / AOB=90 , . . / AOM+ / BON=90 ,. / AOM+ Z OAM=

7、90 , . BON= / OAM ,在 AMO 和 OBN 中，Vbon=zoai，NAHO=/BNO90* , QA二 OBAMO ONB (AAS) . BN=OM= 2點(diǎn)；PB的長(zhǎng)是定值，定值為 W;理由如下：2作EKy軸于K點(diǎn)，如圖所示：二點(diǎn) B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角OBF和等腰直角 ABE , AB=BE , / ABE=90 , BO=BF , / OBF=90 , . . / ABO+ / EBK=90 ,ZEBK=Z0AB. / ABO+ Z OAB=90 , . EBK= / OAB，在 ABO 和 BEK 中， /ACB:/BKE=9Q , ,AB二BEAB

8、OA BEK (AAS), . OA=BK , EK=OB , . EK=BF ,2=8,223解得a=- 12 (正值舍去)，Q (-12, 8);當(dāng) Saqao=2Szaoc 時(shí)，1OA?yQ=2 RoA?yc, yQ=2yc,即 | 一 2a|=22=4 ,223解得a=6 (舍去負(fù)值)，.二Q (6, - 4);綜上所述，Q (T2, 8)或(6, -4).(3)如圖2,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，該弧與 x軸的交點(diǎn)即為P;如圖 3,作 PF，CD 于 F, P1ELQC 于 E,作 P2HLCD 于 H, P2G，QC 于 G.C (-3, 2), A ( 5, 0), . AC

9、=-3- C-5) 2+(2-oY 2=2, TOC o 1-5 h z Z ACD= Z AOC , /CAQ=/DAC, . CAQsAC , 鳴二3反，AD=-, 2V2 55.OD=5 -=,則 D (- , 0).5 55f 1717+b 二。設(shè)CD解析式為y=kx+b，把C ( - 3, 2), D (-號(hào)，0)分別代入解析式得*5,5- 3k+b=2II二國(guó)解得” ,函數(shù)解析式為y=5x+17 ,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a, 0),lb=17根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式， 5, 0 1J = 牛+? 1,兩邊平方得， (5a+17) 2=2 Ma2,753+12 也 3解得 a=5史&,P1 (

10、- 5-272, 0), P2 (5+2血，0).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及坐標(biāo)與圖象的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、 角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、三角形的面積公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，值得關(guān)注. 法二：試題解析；(!):炫的數(shù)=一,的圖像上，點(diǎn)C的摘坐標(biāo)為3,，下=一：乂-3) = 2，二C( 3,2) T一次函數(shù). = 3 + 5出過點(diǎn)C，2 = 3而+5M，一打=1 ,一次區(qū)I數(shù)為: y - r + 5 ,在尸=十5中，令x=0,得：、=5，二E，5) j2);點(diǎn)Q為直線0C上一點(diǎn)，且皿358 ,有兩種借況：若Q在線段0C的延長(zhǎng)線上，則工.=4Sj_4w ,0Q=40C,設(shè)

11、Q 時(shí)f -G制)+ 2:,解得二機(jī)二=144.* tn 0，穆=一】2 ,Q (12j S) 若Q在線段CO的延長(zhǎng)線上，則又的=二八2.，口0=28,設(shè)Q (中,一彳，)C加 0 ),則 |加+ 2口 ,解得：物士 = 3$，叨 0 ,掰=6 ,.一 三5=-4 j Q4)三.Q C 12, S)或 Q (6, - 4) j（3）作/3D的第平分線交，軸負(fù)半軸于點(diǎn)P或作NMF的角平分線交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)P，$作/OCD的角平分線交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)P,在）工，十5中，令卜二。,ffl： r = -5，A（-5, 3 ,二3=5, AC=忒-3 + 5尸Q =2近、ZAOC=ZACD7 /DCP=/

12、FCQj . ZACD+ZDCP=ZPCO+ZAOC,艮口 /ACF=/APCj .AP=AC=272，二0P=5-26 _Pf-5十2&，0）5若作/ACF的通平分線交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)F J Zpz cx/p cd, /.Zaoc+Zcp7。二Np ca+N尤d, /Zacd=Zaoc,二/CP 0=ZPy CA,P A=AC=25 P S5,JP （ -5-242 ，0） $* *P （5 + 22 ，。）或（-5-2 j。）考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題.例2.【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.【分析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得 A、B、 C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)角

13、平分線的性質(zhì)， 可得/ FCA=J / BCA , / FAE=Az bae ,根據(jù)三角形外角的關(guān)系，可得/ BAE= / ABC+ / BCA , / FAE二2ZF+ZFCA,根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論：AB=AP=10 , AB=BP=10 , BP=AP,根據(jù)線段的和差，可得 AB=AP=10時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) 線段垂直平分線的性質(zhì)， 可得AB=BP=10時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式， 可得BP=AP 時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6,即B （0, 6）,當(dāng)y=0時(shí)，且x+6=0 ,解得x-8,即A4(8, 0)；由 OC=JoB,

14、得 OC=3,即 C ( 3, 0);2設(shè)BC的函數(shù)解析式為，y=kx+b ,圖象過點(diǎn)B、C,得，-3k+b=0,解得，b二 6k=2kb=6直線BC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x+6 ;（2）證明：一/ ACB的平分線CF與/ BAE的平分線AF相交于點(diǎn)F,./ FCA=_1/BCA , /FAE=/BAE. / BAE 是 ABC 的外角，/ FAE 是 FAC 的外22角,BAE= /ABC+ /BCA , / FAE= / F+/ FCA . .1. 1Z ABC+1Z BCA= Z F+lz BCA , 222ABC= / F; 2 （3）當(dāng) AB=AP=10 時(shí)，8- 10= - 2, P1

15、 （2, 0）, 8+10=18, P2 （18, 0）;當(dāng) AB=BP=10 時(shí)，AO=PO=8 ,即 P3 （ 8, 0）;設(shè) P （a, 0）,當(dāng) BP=AP 時(shí)，平方，得 BP2=AP2,即（8a） 2=a2+62化簡(jiǎn)，得16a=28,解得a=l, P4 （10）,44綜上所述：P1（ - 2, 0）,P2（18,0）,P3（ -8,0）;P4（工0） .4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系求出 A、B、C的值又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式； （2）利用了角平分線的性質(zhì)， 三角形外角的性質(zhì)，（3） 利用了等腰三角形的定義，分類討論是解題關(guān)鍵.變式練習(xí)：2

16、.【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題?！痉治觥浚?）把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BC即可.（2）求出/ PAQ=/BCP, /AQP=/BPC,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出 AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可.（3）分為三種情況：PQ=BP ,BQ=QP,BQ=BP,根據(jù)（2）即可推出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可判斷 ，根據(jù) 勾股定理得出方程，即可求出 .【解答】解：（1） =丫=?*+6,當(dāng)x=0時(shí)，y=6,當(dāng)y=0時(shí)，x= - 8,即A的坐標(biāo)是（8,40）, B的坐標(biāo)是（0, 6）, C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，C的坐標(biāo)是（8, 0）,OA=8 ,OC=8 , OB=

17、6 ,由勾股定理得：BC=&7=10,故答案為：（-8, 0）, 10.（2）當(dāng) P 的坐標(biāo)是（2,0）時(shí)，APQCBP,理由是：,OA=8,P（2,0）,，AP=8+2=10=BC , ./BPQ= /BAO, / BAO+ / AQP+/APQ=180, Z APQ+ Z BPQ+ Z BPC=180 , ./ AQP= ZBPC,. A和C關(guān)于y軸對(duì)稱，/ BAO= / BCP,在APQ 和 CBP 中， ZBA0=ZBCP , APQA CBP （AAS）, 當(dāng) P 的坐標(biāo)是（2, AP=BC0）時(shí)，AAPQACBP.（3）分為三種情況： 當(dāng) PB=PQ 時(shí)，二由（2）知，AAPQAC

18、BP, PB=PQ,即此時(shí) P 的坐標(biāo)是（2, 0）; 當(dāng) BQ=BP 時(shí)，則/ BPQ=/BQP, / BAO= / BPQ, . / BAO= / BQP,而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：/ BQP /BAO ,此種情況不存在； 當(dāng)QB=QP時(shí)，則/ BPQ= Z QBP= Z BAO ,即BP=AP ,設(shè)此時(shí) P的坐標(biāo)是（x, 0）,在 RtOBP 中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2,，（ x+8） 2=x2+62,解彳導(dǎo):x= Z，即此時(shí)P的坐標(biāo)是（-I, 0） . 當(dāng)4PQB為等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)是（2, 0）或（-4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，等腰

19、三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.課后作業(yè)：.解：（1）當(dāng) x=0 時(shí)，y=2x+3=3 ,則 A （0, 3）;當(dāng) x=0 時(shí)，y= - 2x - 1 = - 1,貝U B （0, -1）解方程組產(chǎn)2x+3得產(chǎn)一1 ,則c點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 1）；y= - 2x - 1尸2) AABC 的面積=4X (3+1) M=2.22.解：（1） y= - L+1,當(dāng) x=0 時(shí)，y=1,當(dāng) y=0 時(shí)，x=2,則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn) B2的坐標(biāo)為（0, 1）,二在y軸的負(fù)半軸上截取 OC=OB, .點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, - 1）,設(shè)直線（2k+b=0kf 1