現(xiàn)代控制理論第11講

1、現(xiàn)代控制理論第十一講139 傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題問(wèn)題：對(duì)于某一給定的傳遞函數(shù)將有無(wú)窮多的狀態(tài)空間表達(dá)式與之對(duì)應(yīng)，即一個(gè)傳遞函數(shù)陣描述著無(wú)窮多個(gè)不同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，是否存在一個(gè)維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)？2可以從模擬結(jié)構(gòu)圖中看出： 系統(tǒng)的輸入u和輸出y之間只存在一條唯一的單向控制通道，即u B1 1C1 y。 反映輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀的子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。 也就是是說(shuō)，傳遞函數(shù)陣只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述，如果在系統(tǒng)中添加（或去掉）不能控或不能觀子系統(tǒng)，并不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。結(jié)論： 對(duì)于某一給定的傳遞函數(shù)將有無(wú)窮多的狀態(tài)空間表達(dá)式與之對(duì)應(yīng)，其中僅包含能控且能觀子系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)是維數(shù)最

2、少的實(shí)現(xiàn)，也就是系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。3一、實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的基本概念對(duì)于給定傳遞函數(shù)陣W(S),若有狀態(tài)空間表達(dá)式 使成立，則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)陣W（S）的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。1、傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)的定義2、傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)存在的條件（1）傳遞函數(shù)陣中的每一個(gè)元的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。（2）傳遞函數(shù)陣中的元是s的真有理分式，即的分子多項(xiàng)式的次數(shù)低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)。43、傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)形式 （1） 當(dāng)?shù)姆肿佣囗?xiàng)式的次數(shù)低于分母多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)其實(shí)現(xiàn)具有（A，B，C）的形式。 （2）當(dāng)至少有一個(gè)元的分子多項(xiàng)式的次數(shù)等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)其實(shí)現(xiàn)具有（A，B，C，D）的形式。且4、傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)方

3、法（1）根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)條件，對(duì)于其元不是嚴(yán)格的真有理式的傳遞函數(shù)陣，確定D陣。（2）根據(jù)W（S） D尋求形式為（A，B，C）的實(shí)現(xiàn)5二、能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)1、傳遞函數(shù)陣 m r的傳遞函數(shù)陣寫成和單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)類似的形式：2、傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)常數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣的特征多項(xiàng)式63、傳遞函數(shù)陣的能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)零矩陣和單位矩陣r系統(tǒng)輸入的維數(shù),這個(gè)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是nr維n分母多項(xiàng)式的最高階次，當(dāng)r=m=1時(shí)是單輸入單輸出的形式零矩陣和單位矩陣m系統(tǒng)輸出的維數(shù),這個(gè)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是nm維7【例318】試求的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解： （1）W（S）化為嚴(yán)格的真有理式

4、（2）將 寫成s降冪排列的形式8（3）求i 和i（4）將i 和i代入，得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣9（5）將i 和i代入，得到能觀標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣10三、最小實(shí)現(xiàn)1、最小實(shí)現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)W（S）的一個(gè)實(shí)現(xiàn)如果W（S）不存在其它實(shí)現(xiàn)使 的維數(shù)小于 維數(shù)，則該式的實(shí)現(xiàn)為最小實(shí)現(xiàn)。說(shuō)明：傳遞函數(shù)陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，把系統(tǒng)中不能控或不能觀的狀態(tài)分量消去，將不會(huì)影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。也就是說(shuō)這些不能控或不能觀狀態(tài)分量的存在將使系統(tǒng)成為不是最小實(shí)現(xiàn)。2、尋求最小實(shí)現(xiàn)的步驟傳遞函數(shù)陣W（S）的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為最小實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是 （A，B，C）是能控且能觀。11確定傳遞函數(shù)陣W（S）最

5、小實(shí)現(xiàn)的一般步驟： （1）對(duì)給定傳遞函數(shù)陣W（S），初選出一種實(shí)現(xiàn) （A，B，C），一般選取能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)或能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。 （2）對(duì)初選出的實(shí)現(xiàn) （A，B，C），找出其完全能控且完全能觀部分 ，于是這個(gè)完全能控且完全能觀部分就是傳遞函數(shù)陣W（S）的最小實(shí)現(xiàn)。【例319】試求傳遞函數(shù)矩陣的最小實(shí)現(xiàn)。解： 1、初選出一種實(shí)現(xiàn) （A，B，C）（1） W（S）化為嚴(yán)格的真有理式（2）將 寫成S降冪排列的形式12（3）求i 和i（4）將i 和i代入，得到能觀標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣132、檢驗(yàn)所求能觀測(cè)實(shí)現(xiàn) =（A0，B0，C0）是否能控3、 =（A0，B0，C0）是能控且能觀的，為最小實(shí)現(xiàn)解：1、初選出一種

6、實(shí)現(xiàn) （A，B，C）（1） W（S）化為嚴(yán)格的真有理式（2）將 寫成s降冪排列的形式【例320】試求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)14（3）求i 和i（4）將i 和i代入，得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣2、判別該能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) =（A，B，C）是否完全能觀153、該能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)不是最小實(shí)現(xiàn)，按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1）構(gòu)造變換矩陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀性分解（2）利用分塊矩陣的求逆公式，求R016（3）求變換后各矩陣17（4）求出最小實(shí)現(xiàn)是能控且能觀子系統(tǒng)，W（S）的最小實(shí)現(xiàn)為：4、根據(jù) Am , Bm , Cm , D 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣，檢驗(yàn)所得結(jié)果18解法之二：寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)型，按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1

7、）寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) =（A0，B0，C0）19（2）將 =（A0，B0，C0）按能控性分解，求變換矩陣Rc（3）求變換矩陣的逆矩陣20（4）求變換后各矩陣21（5）求出最小實(shí)現(xiàn)是能控且能觀子系統(tǒng)，W（S）的最小實(shí)現(xiàn)為：(6)根據(jù) Am , Bm , Cm , D 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣，檢驗(yàn)所得結(jié)果22說(shuō)明：（1）傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)不是唯一的。（2）最小實(shí)現(xiàn)也不是唯一的，只是最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是唯一的。（3）如果 和 是同一傳遞函數(shù)陣的兩個(gè)最小實(shí)現(xiàn)，那么他們之間必存在狀態(tài)變換： 使得：23310 傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控性和能觀性之間的關(guān)系、對(duì)于單輸入、單輸出和單輸入單輸出系統(tǒng)能控且能觀的充要條件是其傳遞函數(shù)的分子分母間沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消；、對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)能控且能觀的充分條件是其傳遞函數(shù)的分子分母間沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消。也即系統(tǒng)能控且能觀則傳遞函數(shù)的分子分母間沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消的情況，但傳遞函數(shù)的分子分母間出現(xiàn)有零極點(diǎn)對(duì)消的情況，系統(tǒng)也有可能是能控且能觀的。例：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)是不完全能控，或不完全能觀，或既不完全能控又不完全能觀