新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修二 第二章平面向量及其應(yīng)用測評(píng) 單元測試卷（解析版）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 可編輯的精品文檔第二章測評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.已知在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),則AC=()A.(-1,-12)B.(-1,12)C.(1,-12)D.(1,12)解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AC=AB+AD=(-1,12).答案B2.如果a,b是兩個(gè)單位向量,那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.a=bB.ab=1C.a=-bD.|a|=|b|解析兩個(gè)單位向量的方向不一定相同或相反,所以選項(xiàng)A,C不正確;由于兩個(gè)單位向量的夾角不確定,則ab=1不成立,所以選項(xiàng)B不正

2、確;|a|=|b|=1,則選項(xiàng)D正確.答案D3.如圖,a-b等于()A.2e1-4e2B.-4e1-2e2C.e1-3e2D.3e1-e2解析a-b=e1-3e2.答案C4.如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是DC,BC的中點(diǎn),那么EF=()A.12AB+12ADB.-12AB-12ADC.-12AB+12ADD.12AB-12AD解析EF=12DB=12(AB-AD).答案D5.已知A船在燈塔C北偏東70方向2 km處,B船在燈塔C北偏西50方向3 km處,則A,B兩船的距離為()A.19 kmB.7 kmC.(6+1) kmD.(6-1) km解析根據(jù)題意,在平面直角坐標(biāo)系中作示意圖,如

3、圖所示,易知在ABC中,BC=3,AC=2,BCA=120,故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA,解得AB2=19,則AB=19.故選A.答案A6.已知a,b,c是共起點(diǎn)的向量,a,b不共線,且存在m,nR使c=ma+nb成立,若a,b,c的終點(diǎn)共線,則必有()A.m+n=0B.m-n=1C.m+n=1D.m+n=-1解析設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,因?yàn)閍、b、c的終點(diǎn)共線,所以設(shè)AC=AB,即OC-OA=(OB-OA),所以O(shè)C=(1-)OA+OB,即c=(1-)a+b.又c=ma+nb,所以1-=m,=n,所以m+n=1.答案C7.在100 m高的山頂上,測得

4、山下一塔頂與塔底的俯角分別為30和60,則塔高是()A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m解析如圖所示,山高為AB=100m,塔高為CD,根據(jù)題意可知BCA=60,CBD=30.在RtABC中,BC=ABsinBCA=10032=20033,在BCD中,CBD=BCD=30,BDC=120,由正弦定理得CDsin30=BCsin120,CD=122003332=2003.故選D.答案D8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D為BC的中點(diǎn),且|BC|=3,則ADBC的最大值為()A.32B.32C.3D.2解析因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC|=1,所以A,B,C

5、在以O(shè)為圓心半徑為1的圓上.以O(shè)為原點(diǎn),OD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)閨BC|=3,|OB|=1,D為BC的中點(diǎn),所以|OD|=12,則B-32,-12,C32,-12,D0,-12,設(shè)A(x,y),則AD=-x,-12-y,BC=(3,0),所以ADBC=-3x,因?yàn)?1x1,當(dāng)A與E重合,即x=-1時(shí),ADBC的最大值為3.故選C.答案C二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.已知ABC的面積為32,且b=2,c=3,則A=()A.30B.60C.150D.120解析因?yàn)镾=12bcsinA=32,所以1223sinA=32,所以sinA=32,因?yàn)?A180

6、,所以A=60或120.故選BD.答案BD10.下列命題中,正確的是()A.對于任意向量a,b,有|a+b|a|+|b|B.若ab=0,則a=0或b=0C.對于任意向量a,b,有|ab|a|b|D.若a,b共線,則ab=|a|b|解析由向量加法的三角形法則可知A正確;當(dāng)ab時(shí),ab=0,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閨ab|=|a|b|cos|a|b|,故C正確;當(dāng)a,b共線同向時(shí),ab=|a|b|cos0=|a|b|,當(dāng)a,b共線反向時(shí),ab=|a|b|cos180=-|a|b|,故D正確.故選ACD.答案ACD11.在ABC中,根據(jù)下列條件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=6B.b=5

7、,c=6,C=4C.a=6,b=33,B=3D.a=20,b=15,B=6解析A選項(xiàng),因?yàn)镃=6,為銳角,c=3b=5,所以三角形有一解;C選項(xiàng),因?yàn)锽=3,為銳角,b=33=asinB=33,所以三角形有一解;D選項(xiàng),因?yàn)锽=6,為銳角,b=15asinB=10,所以三角形有兩解.故選BC.答案BC12.在ABC中,下列結(jié)論正確的是()A.AB-AC=BCB.ABBC0,則ABC為銳角三角形解析AB-AC=CB,故A錯(cuò)誤;設(shè)為向量AB與BC的夾角,因?yàn)锳BBC=|AB|BC|cos,而cos1,故ABBC0,但ABC為鈍角三角形,故D錯(cuò)誤.故選BC.答案BC三、填空題(本題共4小題,每小題5

8、分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,則m=,|b+c|=.解析因?yàn)閍=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因?yàn)?a+b)c,c=(-1,2),所以2-(-1)(m-1)=0.所以m=-1.則b+c=(-2,1),則|b+c|=(-2)2+12=5.答案-1514.在ABC中,若B=60,2b=a+c,則ABC的形狀是.解析根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因?yàn)锽=60,2b=a+c,所以a+c22=a2+c2-2accos60,整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60,所以ABC是等邊三角形

9、.答案等邊三角形15.如圖是以C為圓心的一個(gè)圓,其中弦AB的長為2,則ACAB=.解析如圖,作CDAB交AB于點(diǎn)D,則AC=AD+DC=12AB+DC,則ACAB=12AB+DCAB=12|AB|2=2.答案216.在ABC中,A=30,AB=23,4BC212,則ABC面積的范圍是.解析因?yàn)樵贏BC中,A=30,AB=23,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos30=12+AC2-6AC,又因?yàn)?BC212,412+AC2-6AC12,解得0AC2,或4AC6,而SABC=12ABACsin30=32AC,所以0SABC3或23SABC33,故ABC面積的范圍是(0,323,

10、33.答案(0,323,33四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.解(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因?yàn)閗a-b與a+2b共線,所以2(k-2)-(-1)5=0,解得k=-12.(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,a與b不共線,所以存在實(shí)數(shù),使得AB=BC(R),即2a+3b=(a+mb),整理得(8,3)=(+2m,m

11、),所以+2m=8,m=3,解得m=32.18.(12分)已知O,A,B是平面上不共線的三點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2AC+CB=0,(1)用OA,OB表示OC;(2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),證明四邊形OCAD是梯形.(1)解因?yàn)?AC+CB=0,所以2(OC-OA)+(OB-OC)=0,2OC-2OA+OB-OC=0,所以O(shè)C=2OA-OB.(2)證明如圖,DA=DO+OA=-12OB+OA=12(2OA-OB).故DA=12OC.即DAOC,且DAOC.故四邊形OCAD為梯形.19.(12分)已知長方形AOCD中,OA=3,OC=2,E為OC中點(diǎn),P為AO上一點(diǎn),利用向量知識(shí)判斷當(dāng)點(diǎn)P在什么

12、位置時(shí),PED=45.解如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則O(0,0),C(2,0),D(2,3),E(1,0).設(shè)P(0,y),則ED=(1,3),EP=(-1,y),所以|ED|=10,|EP|=y2+1,EDEP=3y-1.代入cos45=EDEP|ED|EP|,解得y=2y=-12舍去.所以當(dāng)點(diǎn)P在靠近點(diǎn)A的AB的三等分處時(shí),PED=45.20.(12分)在ABC中,AB=3,AC=1,A=60.(1)求sinACB;(2)若D為BC的中點(diǎn),求AD的長度.解(1)因?yàn)樵贏BC中,AB=3,AC=1,A=60.所以由余弦定理可得BC=AB2+AC2-2ABACcosA=32+12-23112=

13、7,所以由正弦定理ABsinACB=BCsinA,可得sinACB=ABsinABC=3327=32114.(2)因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以CD=12BC=72.又因?yàn)閏osC=AC2+BC2-AB22ACBC=1+7-9217=-714,所以在ACD中,由余弦定理可得AD=AC2+CD2-2ACCDcosC=1+74-2172(-714)=132.21.(12分)為了測量兩山頂M,N之間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量,A,B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離,請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案,包括:指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);用文字和公式寫出計(jì)算M,N間的距離的步驟.解需要測量的數(shù)據(jù)有:A點(diǎn)到M,N點(diǎn)的俯角1,1;B點(diǎn)到M,N點(diǎn)的俯角2,2;A,B間的距離d(如圖所示).第一步:計(jì)算AM.由正弦定理得AM=dsin2sin(1+2).第二步:計(jì)算AN.由正弦定理得AN=dsin2sin(2-1).第三步:計(jì)算MN.由余弦定理得MN=AM2+AN2-2AMANcos(1-1).22.(12分)如圖,在ABC中,AB=2,AC=4,線段BC的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)D,且DA-DB=1.(1)求BC的長;(2)求BCD的面積S.解(1)依題意得DB=DC,因?yàn)?/p>