積分變換第講拉普拉斯變換

1、積分變換第5講1拉普拉斯變換2對于一個函數(shù)j(t), 有可能因為不滿足傅氏變換的條件, 因而不存在傅氏變換.但是對之進(jìn)行某些處理后，便可進(jìn)行傅氏變換了。因此, 首先將j(t)乘上u(t), 這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了；而大家知道在各種函數(shù)中, 指數(shù)函數(shù)ebt(b0)的上升速度是最快的了, 因而e-bt下降的速度也是最快的.因此, 幾乎所有的實用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在。3tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏變換, 可得5定義 設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t0時有定義, 而且積分在s的某

2、一域內(nèi)收斂, 則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式(簡稱拉氏變換式-單邊拉氏變換), 記為F(s)=L f(t)F(s)稱為f(t)的拉氏變換(或稱為象函數(shù)). 而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為f(t)=L -1F(s) 也可記為f(t)F(s).6例1 求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義, 有這個積分在Re(s)0時收斂, 而且有7例2 求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).根據(jù)(2.1)式, 有這個積分在Re(s)k時收斂, 而且有其實k為復(fù)數(shù)時上式也成立, 只是收斂區(qū)間為 Re(s)Re(k)8拉氏變換的存在定理 若函數(shù)f(t)滿

3、足:1, 在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)2, 當(dāng)t時, f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù)M0及c0, 使得|f(t)|Mect, 0tc上一定存在, 右端的積分在Re(s)c1c上絕對收斂而且一致收斂, 并且在Re(s)c的半平面內(nèi), F(s)為解析函數(shù).9MMectf(t)tO10證 由條件2可知, 對于任何t值(0t0 (即bc+e=c1c), 則|f(t)e-st|Me-et.所以根據(jù)含參量廣義積分的性質(zhì)可知, 在Re(s)c1c上拉氏變換的積分不僅絕對收斂而且一致收斂.11在(2.1)式的積分號內(nèi)對s求導(dǎo), 則由此可見, 上式右端的積分在半平面Re(s)c1c內(nèi)也是絕

4、對收斂且一致收斂, 從而微分與積分可以交換順序。12因此得這就表明, F(s)在Re(s)c內(nèi)是可微的. 根據(jù)復(fù)變函數(shù)的解析函數(shù)理論可知, F(s)在Re(s)c內(nèi)是解析的.13例3 求 f(t)=sinkt (k為實數(shù)) 的拉氏變換14同理可得15G-函數(shù)(gamma函數(shù))簡介, 在工程中經(jīng)常應(yīng)用的G-函數(shù)定義為利用分部積分公式可證明16例4 求冪函數(shù)f(t)=tm (常數(shù)m-1)的拉氏變換.為求此積分, 若令st=u, s為右半平面內(nèi)任一復(fù)數(shù), 則得到復(fù)數(shù)的積分變量u. 因此, 可先考慮積分17積分路線是OB直線段, B對應(yīng)著sR=rRcosq+jrRsinq, A對應(yīng)著rRcosq, 取

5、一很小正數(shù)e, 則C對應(yīng)se=recosq+jresinq, D對應(yīng)recosq. 考察R, 的情況.qaODCAt (實軸)虛軸Bv18根據(jù)柯西積分定理, 有192021同理2223例5 求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏變換bOb2b3b4btf(t)242526對一般周期函數(shù)也成立27滿足拉氏變換存在定理條件的函數(shù)f(t)在t=0處有界時, 積分中的下限取0+或0-不會影響其結(jié)果. 但如果f(t)在t=0處包含脈沖函數(shù)時, 就必須明確指出是0+還是0-, 因為28當(dāng)f(t)在t=0處有界時, 則當(dāng)f(t)在t=0處包含了脈沖函數(shù)時, 則29為了考慮這一情況, 需將進(jìn)行拉氏變換的函數(shù)f(t), 當(dāng)t0時有定義擴(kuò)大為當(dāng)t0及t=0的任意一個鄰域內(nèi)有定義. 這樣, 原來的拉氏變換的定義但為了書寫方便起見, 仍寫成(2.1)式的形式.30例6 求單位脈沖函數(shù)d(t)的拉氏變換.解：31例7 求函數(shù)f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏變換.解：32在今后的實際工作中, 我們并不要求用廣義積分的方法來求函數(shù)的拉氏變換, 有現(xiàn)成的拉氏變換表可查, 就如同使用三