電動力學(xué)習(xí)題第一章電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律

1、電動力學(xué)習(xí)題答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律電動力學(xué)習(xí)題答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律電動力學(xué)習(xí)題答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符uv的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式：uvuuvuvuvuvuvuvuvuv(AB)B(A)(B)AA(B)(A)Buv(uv1A2uuvuvAA)(A)A解：矢量性為2vvvvvvvvva(bc)b(ca)c(ab)vvvvvvvvvc(ab)(bc)a(ca)bvvvvvvvvv(ab)c(ca)b(cb)a微商性vvdvvvvdadbdt(ab)dtbadtvdvvvvvdadbdt(ab)dtbadt由得uvuvuvuvuvuuvBc

2、(A)(BcA)(Bc)AuuvuvuvuvuvuvAc(B)(AB)(A)Bcc+得uuvuvuuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvBc(A)Ac(B)(BcA)(AcB)(Bc)A(Ac)Buvuvuvuvuvuuv因?yàn)?AB)(AcB)(ABc)上式得uvuvuuvuvuuvuvuvuvuvuvuvuv(AB)Bc(A)Ac(B)(Bc)A(Ac)B令BA得uvuvuuvuvA2(2AA)2(A)Auv(uv1A2uuvuvAA)(A)A22.設(shè)是空間坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，證明：f(u)dfudxuuvuvudAA(u)duuvuvdAA(u)udu解：uuvuuvuvf(u)xf(

3、u)exf(u)eyf(u)ezyzf(u)uuuvf(u)uuuvf(u)uuvuexuyeyuezxzf(u)uuuvuuuvuuvx(xeyee)xyzzdf(u)uduuvxAxyAyzAzA(u)dAxudAyudAzuduxduyduzuvudAduuuvuuvuvexeyezuvA(u)xyzAxAyAzAAyuuvAxAuuvAAxuv()ex(y)ezzzzz)ey(yyxx(dAzudAyuuuv(dAxudAzuuuvdAyudAxuuvduydu)exduzdux)ey(xduy)ezzduuvudAdu3.設(shè)r222vvv(xx)(yy)(zz)為原點(diǎn)x出席點(diǎn)x的距離

4、，r的方向規(guī)定為從原點(diǎn)指向場點(diǎn)。證明下列結(jié)果，并意會對原變數(shù)求微商exeyez（xyz）與對場變數(shù)求微商（exxeyyezz）的關(guān)系vvvrrr,11r,r0,rrrr3r3（最后一式在r=0點(diǎn)不建立，見第二章第五節(jié)）vvvvvvuuvuuvv求r,r,(a)r,(ar),E。sin(kr)及vvrr0,(r0)r3r3uuvuuvvvvuv。a,kEsin(kr)，其中。及E均為常矢量。解：ruuvruuvruvrexxeyyezzuuvxxuuvyyex(xx)2(yy)2(zz)2ey(xx)2(yy)2(zz)2uvzzez(xx)2(yy)2(zz)2vrruvruuvruvrrex

5、xeyezzyuuv(xx)uuv(yy)uv(zz)ex(xx)2(yy)2(zz)2ey(xx)2(yy)2ez(xx)2(yy)2(zz)2v(zz)2rrruuvuuvuv1(111)e()e()erxrxyryzrz1ruuvruuvruvr2(xeyeze)vxyzrr3uuvuuvuv1111rx()exy()eyz()ezrrr1ruuvruuvruvr2(xexyeyez)zvrr31vrvvr1(1)rrr3r3vr3103rr3r4rvv3rr4rr0v1vr(r3r2r)vv11r3rr3r3v1r4rrr33vv1rr4(rr)r3vrr3(1vr3r)v11r3rr

6、3vv3(r1r4rr)r30vrr3vrr30(r0)r(xx)xvr3vr(3)(yy)(zz)yz3uuvuuvuvexeyezv0rxyzuuvvxxyyzz(a)rv(axxayyazz)rvvvaxrayrazrxyzuuvuuvuvaxexayeyazezvav(ar)vvvvvvvva(r)(a)rr(a)(r)avvvva00(rxryyrz)a(a)rvxvzvrayrraxazvxyzauuvuuvv。Esin(kr)uuvvuuvuuvvuuvsin(kr)E。sin(kr)E。uuvsin(kx(xx)ky(yy)kz(zz)E。Eoxkxcoskx(xx)ky(yy

7、)kz(zz)Eoykycoskx(xx)ky(yy)kz(zz)Eozkzcoskx(xx)ky(yy)kz(zz)(EoxkxEoykyEozkz)coskx(xx)ky(yy)kz(zz)uuvvuuvvcos(kr)E。kuuvuuvv。Esin(kr)uuvvuuvuuvvuuvsin(kr)。sin(kr)。EEuuvvuvuuvuuvvuuvuuvvuuvkxcos(kr)exkycos(kr)eykzcos(kr)ez。Euuvvuuvuuvuvuuvcos(kr)(kxexkyeykzez)。Euuvvuuvcos(kr)(k。E)4.4.應(yīng)用高斯定理證明uvuv?SdSVd

8、Vff應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明uvuv解：SdS?LdLuvv?SdSfvcuvuv(fc)dSS?uvvV(fc)dVuvvdV(f)cVuvuv?SdSfVdVfuvv?dLcLvuv?cdLLuv(c)dSSvuvScdSvSdScuvdS?dLSL5.已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為uvvvP(t)(x,t)xdVV利用電荷守恒定律uv0Juvt證明P的變化率為uvuvvdPJ(x,t)dVdtV解：uvPdtvuvvvVtxdVJ(x,t)xdVVuvvuvvV(Jx)dV(J)xdVuvvuvVvuv?SJxdSVJ(x)dVuvvuvuvSJxdSVJdVuvv?0，則

9、取被積地區(qū)大于電荷系統(tǒng)的地區(qū)，即V的邊界S上的J(x,t)uvvuv0.?JxdSSuvuvvdPJ(x,t)dVdtV。uvuvuvuvuvuvmRmRR=0點(diǎn)以外矢量AR3R36.若m是常矢量，證明除的旋度等于標(biāo)量的梯uv0),其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)出席點(diǎn)的距離，度的負(fù)值，即A(R方向由原點(diǎn)指向場點(diǎn)。解：uvuvR(m3)RuvuvuvuvuvuvuvRRR(Rm(3)(m)3R3m)(3RRRuvuvuvuv(R)Rm3)(m3uvRRQR0R3uvuv)R上式(mR37.有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為止自由電荷f，求空間各點(diǎn)的電場；極化體電荷和極化面電荷散布。解：對

10、空間做高斯面，由：uvuvQ?EdSQ4r2EI1(4r234r13)f33EI(r23r13)f3r2uuv(r23r13)fvEI3r2ruvuv對空間：做高斯面，由?DdS4r2D(4r34r3)fuvuv331QDEuv(r3r13)fvE3r2r對空間:做高斯面，由4r2E0E0由uvuvuvD0EPuvuvuvPD0Euv(r3r13)f0(r3r13)fvP3r23r2ruv)m，使介質(zhì)內(nèi)平均帶靜uv(0)fv3vr13r)P(rP3uvrPuvvv(0)f(r13r)3rr3(0)f(30)(10)f3r2時(shí),由邊值條件:P2nP1nuvP(P由1指向2)PP1nP2n(0)f

11、(r24r13r23r23)(r23r13)(0)f3r22r23r13(10)f,(rr)3r222PP1nP2nuv0(0)fuvr13r1)3(r13r20(rr1)8.內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定平均自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感覺強(qiáng)度和磁化電流。Bdl0I解：由L所以2rBI0r22r12Jf所以BI0r22r12Jf2r方向?yàn)?JrBI2r02r22r12Jfrrr2對地區(qū)由HdlIL2rHr2r12JH1r2r12J2r方向?yàn)閷Φ貐^(qū)有:(2)由由JM00000由?JrB1H2r2r22r12Jfr2rB0B0BMH0MBH0H00M012r2r12JZr

12、02rJMM0JZrr12JZr11r12JZr22r222r20011r12JZr1r12JZr22r222r21r12rJZr1r12rJZJZrr3r22r21r12rJZr1r123JZJZr422r21r12JZr21r122JZr402r22221r12JZJZr12JZ1JZrr0DHJZt同理fnH2H1JMMMnM2M1由vvBvHM0BH得M11B0vv11v11vBMr2nB00v1122vvn2r2r1Jfr02r20r22r12vvv02r22nJfrr22r12vvvvvv12r2JfnrrJfn02r2r2v1221r2Jf02r2r22r12vr2)12r2Jf

13、(r0vv11v11vMr1n0B0Bv1122vvn02r2r2r1Jfr10(rr1)(10)9.證明平均介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p老是等于體自由電荷密度f的倍。p(01)f即：解：由平均介質(zhì)有uvuvuvP0EPuvuvPEuvuvPPuvPf由得uvuvuvD0DP兩邊求散度uv0uvuvPPP由得0uvffPP(10)fuv10.證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作使勁大小相等，發(fā)向相反。（但兩個(gè)電流元之間的相互作使勁一般并不聽從牛頓第三定律）uv解：令兩個(gè)線圈中的電流分別為I1和I2。電流圈L1對另一個(gè)電流圈L2中的電流元I2dl2的作使勁為：uvuvuuvuuvdF12I2dl2

14、B(r12)其中vuuvuvuuv0I1dl1r12B(r12)?34L1r12uvuuvv是電流圈在電流元I處激發(fā)的磁感覺強(qiáng)度，是從中的電流元到電流元L12dl2rL1Idl1211uuvuvr120L2r123I2dl2的矢徑。將式代入式，并對積分，利用斯托克斯定理,同時(shí)注意到,即獲得電流圈L1對L2的作使勁：vuuvuvuv0?L1I1dl1r12dF12I2dl24r123uvuvvuuv0蜒LI1dl13r12F12I2dl2L214uvvuuvr120蜒LI1I2dl2dl1r124L321r120蜒LI1I2vuvvvuvv4L3dl1(dl2r12)r12(dl2dl1)21r

15、12uuvuvuvvvvQ40蜒L2I1I20I1I2r12dl2L1r123(dl2r12)dl14蜒L1dl1L1r123vuuv0r124蜒L1I1dl1S2I2(r123)dS2uuv因?yàn)閞120(r123)0vuvuvv0蜒L2I1I2r12dF124L1r123(dl2dl1)v同樣，電流圈L2對L1中的電流元I1dl1的作使勁為:uvvuvvdF21I1dl1B(r21)其中uvvuvv0?L2I2dl2r21B(r21)4r213vvuvuvuuvB(r21)是電流圈L2在電流元I1dl1處激發(fā)的磁感覺強(qiáng)度,r21是從電流元I2dl2到電流元vI1dl1的矢徑。L2對L1的作使

16、勁為vuv0I1I2蜒L1L2r21vuvdF214r213dl1dl2注意到vvr21r12于是有uvuvF21F1211.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，令在兩板接上電動勢為的電勢，求：電容器兩板上的自由電荷面密度介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和，當(dāng)電流達(dá)到恒準(zhǔn)時(shí)，上述兩問題的結(jié)果怎樣解：由E1wfE2wfE1l1E2l212wfl1wfl2wfl1l21212nD2D1wf2得wf1E12E20當(dāng)介質(zhì)漏電時(shí)由得JEJE有Jl1Jl2Jl1l21212wfJwf11J21E12l11l2111同理wf22J2122l11l2wf2nE2

17、E11E22E11222l11l212l11l212212l11l2tg12.證明：當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，電場線的波折知足：tg211其中1和2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，1和2分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。tg當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒電流時(shí)，分界面上電場線波折知足tg分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。解：2211，其中1和2nE2E10切向分量連續(xù)有E2E1E1E1ntg1E2E2ntg2tg2E1ntg1E2nnD2D1f0D2nD1n2E2n1E1n代入上式得：tgtg2E1n211E1n12nE2E10，切向分量連續(xù)，JEJE有E2E1E1E1ntg1E2E2ntg2tg2E1

18、ntg1E2nnJ2J1n2E21E1ft02E2n1E1n代入上式得tgtg2E1n2111E1n213.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線老是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體的電場線老是平行于導(dǎo)體表面。解：由邊值關(guān)系：n2E21E1f01E1nffE1n1又由邊值關(guān)系nE2E10即E2E1因?yàn)榧俣殪o電情況JE0JE0E2E10E1tg10E1/0即導(dǎo)體外的電場線老是垂直于導(dǎo)體表面。在恒定電流情況下：由nJ2J10n2E21E102E2n1E1n因?yàn)?0所以E2n0即導(dǎo)體內(nèi)電場線老是平行于導(dǎo)體表面。14.內(nèi)外半徑分別為和的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，極間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)1）證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。2）求f隨時(shí)間的衰減規(guī)律3）求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度4)求長度為L的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率解：（1）?Jt?EvEJ00t由（3