空間向量在立體幾何中應(yīng)用知識點大全經(jīng)典高考題帶解析練習(xí)試題帶包括

1、空間向量在立體幾何中應(yīng)用知識點大全、經(jīng)典高考題帶解析、練習(xí)試題帶包括空間向量在立體幾何中應(yīng)用知識點大全、經(jīng)典高考題帶解析、練習(xí)試題帶包括空間向量在立體幾何中應(yīng)用知識點大全、經(jīng)典高考題帶解析、練習(xí)試題帶包括空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱說明】能夠利用共線向量、共面向量、空間向量基本定理證明共線、共面、平行及垂直問題；會利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長度、角、距離等問題；培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識思考問題和解決問題的能力；【知識梳理】一、空間向量的運(yùn)算1、向量的幾何運(yùn)算（1）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：；（2）向量共線定理

2、：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（2）若，則，；，（3）夾角公式：1（4）兩點間的距離公式：若，則二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用利用空間向量證明平行問題對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明利用空間向量證明垂直問題對于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；4.利用空間向量求角度（1）線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為（線線角的范圍00,900）（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線

3、與平面所成的角為（3）二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）利用空間向量求距離（1）平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即獲得平面的一個法向量（如圖）。22）利用法向量求空間距離（a）點A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。（b）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（c）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。【經(jīng)典例題】【例1】（2010全國卷1理）正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的

4、余弦值為（）（A）2（B）3（C）2（D）63333【解析】D【例2】（2010全國卷2文）已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（）3573S（A）(B)(C)(D)4444【解析】DFC【例3】（2012全國卷）三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，EBABAA1CAA160，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_。6【解析】63【例4】（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點。（）求異面直線CC1和AB的距離；（）若AB1A

5、1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值?！窘馕觥?13【例5】（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABCABC中，ABAC，DE分別是棱BCCC上的點（點D不同1111111，1于點），且為A1C1CADDE，F(xiàn)B1C1的中點B1F求證：（1）平面ADE平面BCC1B1；E（2）直線A1F/平面ADECADB【例6】（2012山東）在如下列圖的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值錯誤！未指定書簽。【解析】二面角F-BD-C的余弦值為55【例7】（2012江西）在三棱柱A

6、BCA1B1C1中，已知ABACAA15，BC4，點A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。（1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長；A1C1B1（2）求平面A1BC1與平面BB1C1C夾角的余弦值?！窘馕觥?，30A510COB4【例8】（2012湖南）四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中點.（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.11851285【解析】VSPA1633515【例9】（2012廣東）如下列

7、圖，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，AB/CD,PDAD，E是PB中1點，F(xiàn)是DC上的點，且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高。2（1）證明：PH平面ABCD；（2）若PH1,AD2,FC1，求三棱錐EBCF的體積；（3）證明：EF平面PAB1【解析】三棱錐EBCF的體積VSBCFh11FCADh112123326212【例10】（2012新課標(biāo)）如圖，直三棱柱ABCA1B1C11，D是棱AA1的中點，DC1BD中，AC=BC=AA11DCBC21（）證明：1；C（2）求二面角11的大小B1ABDCA1【解析】二面角A1BDC1的大小為30DCBA【例11】如下列圖，在四棱錐PABCD

8、中，底面ABCD為矩形，PA平面點在線段上，ABCDEPCPC平面BDEP（1）證明：BD平面PAC；（2）若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值A(chǔ)ED【解析】二面角BPCA的平面角的正切值為3BC5【例12】（2012天津）如圖，在四棱錐PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，ABC=450，PA=AD=2，AC=1.P()證明PC丄AD；（）求二面角APCD的正弦值；（）設(shè)E為棱PA上的點，知足異面直線BE與CD所成的角為300，求AE的長.【解析】30，10BA610CD【課堂練習(xí)】1、（2012上海）若n(2,1)是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為（用反三

9、角函數(shù)值表示）2、（2012四川）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是_。D1C1A1B1NDCMAB、（全國卷）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，32012PAAC22PA2E是PC上的一點，PE2EC。P（）證明：PC平面BED；（）設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小。EABDC4、（2010遼寧理）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=?AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的

10、大小.65、（2010遼寧文）如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B（）證明：平面AB1C平面A1BC1；（）設(shè)D是AC上的點，且AB/平面BCD，求AD:DC的值.1111116、（2010全國文）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點，E為AB1上的一點，AE=3EB1（）證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線；（）設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45,求二面角A1-AC1-B1的大小7、（2010江西理）如圖BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB23。1）求點A到平面MBC的距

11、離；2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。7、（重慶文）四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，點是棱82010PAPAAB2EPB的中點.（）證明：AE平面PBC；（）若AD1，求二面角BECD的平面角的余弦值.9、（2010浙江文）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E為線段AB的中點，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點。（）求證：BF平面ADE；（）設(shè)M為線段DE的中點，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值。10、（2010重慶理）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB

12、=6，點E是棱PB的中點。（1）求直線AD與平面PBC的距離；P（2）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。EADBC11、（2010北京理）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。812、如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三平分點，平面AEC外一點F知足FC平面BED,FB=5a1）證明：EBFD2）求點B到平面FED的距離.13、（2010江蘇卷）如圖，在四棱錐求證：PCBC；求點A

13、到平面PBC的距離。0P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90。PDCAB16題圖14、（2012上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.15、（2012四川）如圖，在三棱錐PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，平面PAB平面ABC。（）求直線PC與平面ABC所成角的大?。唬ǎ┣蠖娼荁APC的大小。PCAB16、（2012安徽）長方體ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，O是

14、的中點，E是棱AA上任意一點。11111111BD19（）證明：BDEC1；（）如果AB=2，AE=2，OEEC1,求AA1的長。17、（2012北京文）如圖1，在RtABC中，C90，D,E分別為AC,AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的地址，使A1FCD，如圖2。A（）求證：DE/平面ACB1；（）求證：AF1BE；A1ED（）線段AB上是否存在點Q，使AC平面DEQ？說明原因。DE11FFCBBC圖1圖218、（2012湖南）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC

15、=2，直線PD與平面PAC所成的角為30，求四棱錐P-ABCD的體積.19、如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點，已知BAC，AB2，AC23，2PA2，求：（1）三棱錐PABC的體積10（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20、（2008安徽文）如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC,OA底面ABCD,M為OA的中點。4OA2,（）求異面直線AB與MD所成角的大??；O（）求點B到平面OCD的距離。MDABC11【課后作業(yè)】1.（2008全國）如圖，正四棱柱ABCDABCD中，AA2AB4，點11111E（）證明：AC1

16、平面BED；（）求二面角ADEB的大小12、（2008湖南）四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2.（）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.D1C1A1B1EDCAB3、（2008福建）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD2，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大小；（）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為3？2若存在，求出AQ的

17、值；若不存在，請說明原因.QD124、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA=60。11111（1）求DP與CC1所成角的大小；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。D1C1A1B1PDCAB5、（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為3的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。DO1CO1CDAOBOBA6、（2007安徽文、理)如圖,在六面體ABCDA1B1C1D1中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形,

18、DD1A1B1C1D1,DD1平面ABCD，DD=21平面。()求證:A1C1與AC共面，B1D1與BD共面.()求證:平面A1ACC1平面B1BDD1;()求二面角ABB1C的大小.137、(2007海南)如圖，在三棱錐SABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，BAC90，O為BC中點（）證明：（）求二面角SO平面ABC；ASCB的余弦值SCOBA8、(2007四川理）如圖，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直線AM與直線PC所成的角為60.（）求證：平面PAC平面ABC;（）求二面角MACB的大小;（）求三棱錐PMAC的體積

19、.9、(2006全國卷)如圖，l1、l2是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN。（）證明ACNB；()若ACB60O，求NB與平面ABC所成角的余弦值。l2Cl1HANMB1410、（2006福建文、理）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CACBCDBD2,ABAD2.（I）求證：AO平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點E到平面ACD的距離。ADOCBE11、（2010福建文）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH/AD。過E

20、H的平面與棱BB,CC相交，交點分別為F，G。1111（I）證明：AD/平面EFGH；（II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)采用一點，記該點取自于幾何體A1ABFED1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點E，F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B上運(yùn)動且知足EF=a時，求p的最小值。12、如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，（）求證：平面AEC平面PDB；PD底面ABCD，點E在棱PB上.（）當(dāng)PD2AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.1513、在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PAO為球平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中點心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.1）求證：平面ABM平面PCD；2）求直線CD與平面ACM所成的角的大??；zP（3）求點N到平面ACM的距離.MNDAyOBxC14、如圖4，在正三棱柱ABCABC中，AB2AAD是AB的中點，點E在AC上，且DEAE。111。11111）證明平面ADE平面ACC1A12）求直線AD和平面ABC所成角的正弦值。16【參照答案】【課堂練習(xí)】1、a