數(shù)學(xué)模型(第4版)全套課件完整版電子教案最新板

1、數(shù)學(xué)模型（第4版）前 言 (2010年) 數(shù)學(xué)建模是我國(guó)大學(xué)20世紀(jì)80年代初開(kāi)設(shè)的一門(mén)新課，其主要內(nèi)容是通過(guò)眾多的示例著重介紹如何將實(shí)際問(wèn)題“翻譯” 成數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)求解的結(jié)果又如何“翻譯”回到實(shí)際中去。課堂講授需要簡(jiǎn)明的實(shí)際背景、合理的模型假設(shè)、有創(chuàng)意的模型構(gòu)造及必要的模型檢驗(yàn)，不會(huì)涉及太多的數(shù)學(xué)概念和繁瑣的公式推導(dǎo)，因此適宜采用多媒體電子課件進(jìn)行教學(xué)。 本電子教案是根據(jù)數(shù)學(xué)模型（第四版）（姜啟源、謝金星、葉俊編）研制的，包含了該書(shū)全部章節(jié)的內(nèi)容，共873頁(yè)，其中大部分內(nèi)容經(jīng)過(guò)了以數(shù)學(xué)模型（第三版）的多年教學(xué)實(shí)踐，力求做到精練簡(jiǎn)明、形式活潑、信息量大、便于使用。使用者如有條件，還可以將

2、其中一些內(nèi)容鏈接到數(shù)學(xué)軟件上，作數(shù)值計(jì)算和圖形演示。 根據(jù)編制者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，電子教案應(yīng)該像板書(shū)一樣，將重點(diǎn)內(nèi)容給以提綱式的演示，而不要把教師的講解都制作在教案上。打算利用本電子教案的教師，需要結(jié)合教案仔細(xì)研究教材的內(nèi)容，體會(huì)編制者的意圖。 對(duì)教師來(lái)說(shuō)，課堂教學(xué)是極具個(gè)性化的表現(xiàn)藝術(shù)。不同教師對(duì)同一內(nèi)容完全可以有不同的處理，各個(gè)學(xué)校的學(xué)生狀況也不一樣。因此，提倡教師僅以本電子教案為參考資料，編制適合自己教學(xué)風(fēng)格和具體的教學(xué)對(duì)象的教案。 由于時(shí)間和精力所限, 目前提供的課件存在許多不完善之處, 歡迎大家提出各種意見(jiàn)，我們今后將不定期地出版增補(bǔ)、改進(jìn)的版本。第一章 建立數(shù)學(xué)模型第二章 初等模型第三章

3、 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型第四章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 第五章 微分方程模型第六章 代數(shù)方程與差分方程模型第七章 穩(wěn)定性模型第八章 離散模型第九章 概率模型第十章 統(tǒng)計(jì)回歸模型第十一章 博弈模型第十二章 馬氏鏈模型第十三章 動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型第一章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物.模型集中反映了原型

4、中人們需要的那一部分特征.1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速為20km/h.甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h，從乙到甲逆水航行需50h，問(wèn)船的速度是多少?x=20y =5求解航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)） 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y分別表示船速和水速） 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程） 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5） 回答原問(wèn)題（船速為20km/h）數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)

5、建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表述.建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展. 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視. 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地. 在高新技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具. 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地.“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”. 數(shù)學(xué)“由研

6、究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力具有重要意義”. “計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑” .數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形. 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面. 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地.模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái). 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性.xB

7、ADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置. 四只腳著地距離是的函數(shù).四個(gè)距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái).f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明

8、方法3）由 f, g 的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 ( 0 0 0，知 f(/2)=0, g(/2)0.2）令 h()= f()g(), 則 h(0)0 和 h(/2)0)，總劑量1100 mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道.2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t) 成正比，比例系數(shù)(0)，t=0時(shí)血液中無(wú)藥物.3. 氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為6 h. 4. 孩子的血液總量為2000 ml. 胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時(shí)間t以孩子誤服藥的時(shí)刻為起點(diǎn)（t=0）. 模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)), 總劑量110

9、0mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道.轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長(zhǎng)的速度是x，由排除而減少的速度與y(t) 成正比(比例系數(shù)) , t=0時(shí)血液中無(wú)藥物.模型求解 藥物吸收的半衰期為5 h 藥物排除的半衰期為6 h 只考慮血液對(duì)藥物的排除血液總量2000ml血藥濃度200g/ml結(jié)果及分析 胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100g/mly(t) =200mg嚴(yán)重中毒y(t) =400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時(shí)施救，約3h后將致命！y(2)=236.5 施救方案 口服活性

10、炭使藥物排除率增至原來(lái)的2倍. 孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開(kāi)始施救，血液中藥量記作z(t) =0.1386 (不變)， =0.11552=0.2310 施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中藥量z (t)顯著低于y(t). z (t)最大值低于致命水平. 要使z (t)在施救后立即下降，可算出至少應(yīng)為0.4885. 若采用體外血液透析，可增至0.11556=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見(jiàn)后確定. 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律.將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分

11、析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí).以下建模主要指機(jī)理分析.二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù).1.4 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的“問(wèn)題”模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù).如結(jié)果的誤

12、差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性.模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題.選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答.將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象.用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答.實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類

13、應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)、表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策、建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6 數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人做過(guò)的模型. 親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目.參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的意義和作用 1992年中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)開(kāi)始組織 1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)2010年33省/市/區(qū)(含港澳)的1197校17317隊(duì)內(nèi)容 賽題：工

14、程技術(shù)、管理科學(xué)中簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題. 答卷：包含模型假設(shè)、建立、求解計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗(yàn)、模型改進(jìn)等方面的論文.形式 3名大學(xué)生組隊(duì)，在3天內(nèi)完成的通訊比賽. 可使用任何“死”材料（圖書(shū)、計(jì)算機(jī)、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊(duì)外任何人討論.宗旨創(chuàng)新意識(shí) 團(tuán)隊(duì)精神 重在參與 公平競(jìng)爭(zhēng)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 競(jìng)賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì) 賽題緊密結(jié)合科技和社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)和實(shí)踐能力. 解決方法沒(méi)有任何限制，培養(yǎng)主動(dòng)學(xué)習(xí)、獨(dú)立研究的能力. 沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，留有充分余地供同學(xué)們發(fā)揮聰明才智和創(chuàng)造精神.

15、 綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)(選擇合適的數(shù)學(xué)軟件)通過(guò)數(shù)學(xué)建模分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 三天內(nèi)自由地使用圖書(shū)館和互聯(lián)網(wǎng)，培養(yǎng)同學(xué)在短時(shí)間內(nèi)獲取與賽題有關(guān)知識(shí)的能力. 分工合作、取長(zhǎng)補(bǔ)短、求同存異、同舟共濟(jì)，培養(yǎng)同學(xué)的團(tuán)隊(duì)精神和組織協(xié)調(diào)能力. 完成一篇用數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問(wèn)題的完整的科技論文，培養(yǎng)同學(xué)的文字表達(dá)能力.競(jìng)賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì) 在三天開(kāi)放型競(jìng)賽中自覺(jué)遵守紀(jì)律，培養(yǎng)誠(chéng)信意識(shí)和自律精神. 多位中國(guó)科學(xué)院和中國(guó)工程院院士以及教育界的專家參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽舉辦的活動(dòng)，為競(jìng)賽題詞,對(duì)這項(xiàng)活動(dòng)給予熱情關(guān)心和高度評(píng)價(jià).競(jìng)賽長(zhǎng)期以來(lái)受到媒體關(guān)注與支持 第二章 初等模型2.1 光盤(pán)的數(shù)據(jù)

16、容量2.2 雙層玻璃窗的功效2.3 劃艇比賽的成績(jī)2.4 實(shí)物交換2.5 污水均流池的設(shè)計(jì)2.6 交通流與道路通行能力2.7 核軍備競(jìng)賽2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.9 天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià) 研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單 用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)構(gòu)造和求解模型盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來(lái)建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.初 等 模 型2.1 光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量背景和問(wèn)題 20世紀(jì)80年代出現(xiàn)激光唱片(CD)與激光視盤(pán)(LD), 統(tǒng)稱光盤(pán)，用于儲(chǔ)存數(shù)字聲頻、視頻信號(hào)和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)等. 20世紀(jì)90年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(pán)(DVD). 21世

17、紀(jì)初光盤(pán)集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體, 帶動(dòng)了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展. CD的數(shù)據(jù)容量: 單層650MB(兆字節(jié))DVD的數(shù)據(jù)容量: 單層4.7GB(千兆字節(jié))從數(shù)學(xué)建模的角度研究 : 光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量是怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化.調(diào)查和分析45mm120mm2mm信道間距信道(螺旋線)經(jīng)過(guò)編碼的數(shù)字信息，以一定深度和寬度、不同長(zhǎng)度的凹坑的形式，用燒蝕技術(shù)存儲(chǔ)在光盤(pán)表面呈螺旋線形狀的信道上. 當(dāng)盤(pán)片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，數(shù)據(jù)容量的大小取決于信道的總長(zhǎng)度與信道上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度. 決定信道長(zhǎng)度和線密度大小的主要因素是所用激光的波長(zhǎng)，和驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式.調(diào)查和分析

18、當(dāng)光盤(pán)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識(shí)別出信道上的凹坑所攜帶的信息，必須精確地聚焦. 數(shù)據(jù)容量 激光波長(zhǎng) 驅(qū)動(dòng)形式 信道長(zhǎng)度 線密度激光波長(zhǎng) 光的衍射使激光束在光盤(pán)上形成圓狀的光斑. 為了提高存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，而光斑的大小與激光波長(zhǎng)成正比. 激光器激光波長(zhǎng)（m）光斑直徑（m）信道間距（m）數(shù)據(jù)線密度（字節(jié)/mm）紅外(CD)0.7821.6121紅色(DVD)0.640.9250.74387藍(lán)色(DVD)0.410.40.32800調(diào)查和分析恒定角速度(CAV)驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式每一圈螺旋線上存儲(chǔ)同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息容量取決于最內(nèi)圈的長(zhǎng)度、線密度以及總?cè)?shù) 各圈螺旋線上數(shù)據(jù)的線密度不變 容量

19、取決于固定的線密度和螺旋線總長(zhǎng)度 恒定線速度(CLV )從光盤(pán)的容量比較，CLV優(yōu)于CAV. 數(shù)據(jù)讀取時(shí)間: CLV每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外圈移動(dòng)時(shí)，需要等待光盤(pán)加速或減速，而CAV不需要. 對(duì)音樂(lè)、影像、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用CLV;對(duì)詞典、數(shù)據(jù)庫(kù)、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用CAV.模型建立 CLV(恒定線速度)光盤(pán)R1光盤(pán)環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑, R2 外圓半徑, d 信道間距LCLV 信道總長(zhǎng)度 環(huán)形區(qū)域面積/信道間距 同心圓平均周長(zhǎng)*總?cè)?shù) 數(shù)據(jù)容量線密度,(n總?cè)?shù))其他方法建模模型建立 CAV(恒定角速度)光盤(pán)螺旋線最內(nèi)圈的長(zhǎng)度近似為2R1, 總?cè)?shù)可視為 數(shù)據(jù)

20、容量LCLV 信道總長(zhǎng)度 線密度,當(dāng)線密度、信道間距d和外徑R2給定后， 可選擇環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑R1，使數(shù)據(jù)容量最大 .模型求解 CLV(恒定線速度)光盤(pán)激光器激光波長(zhǎng)(m)信道長(zhǎng)度(mm)信息容量, (MB)影像時(shí)間(min)紅外(CD)0.785,611,17967918紅色(DVD)0.6412,132,2794,695126藍(lán)色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm CD信道長(zhǎng)度在5km以上，容量約680 MB; DVD容量在GB量級(jí). 影像時(shí)間按照每秒鐘占用0.62 MB計(jì)算 .模型求解 激光器激光波長(zhǎng) (m)信道長(zhǎng)度 (

21、mm)信息容量, (MB)影像時(shí)間(min)紅外(CD)0.783,302,59940011紅色(DVD)0.647,140,7552,76474藍(lán)色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度)光盤(pán)即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，CAV光盤(pán)的信息容量也小于CLV光盤(pán) .R1=R2/2時(shí)LCAV最大 2d墻室內(nèi) T1室外 T2dd墻l室內(nèi) T1室外 T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T溫差,

22、 d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2 雙層玻璃窗的功效雙層單層dd墻l室內(nèi) T1室外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi) T1室外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.510-4, k1/k2=16 32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2 =16建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%

23、的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低, 而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過(guò)天花板、墻壁、損失的熱量更多.實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!2.3 劃艇比賽的成績(jī)賽艇 2000m成績(jī) t (min)種類 1 2 3 4 平均單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重w0(kg) 槳手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人) 4次國(guó)際大賽

24、冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l /b, w0/n 基本不變艇長(zhǎng)l 艇寬b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0問(wèn)題分析 前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力 槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定:劃槳功率 賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力槳手?jǐn)?shù)量 艇重浸沒(méi)面積 對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定. 運(yùn)用合適的物理定律建立模型.模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/

25、b為常數(shù)), w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 槳手?jǐn)?shù) n, 槳手功率 p, 槳手體重 w, 艇重 W.艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比槳手的特征模型建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績(jī) t n 1/9np fv,模型檢驗(yàn)n t1 7.212 6.884 6.328 5.84線性最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn).與模型吻合！tn12487.216.8

26、86.325.84O劃艇比賽的成績(jī) 對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題. 利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題. 模型假設(shè)比較粗糙. 利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度). 模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！)問(wèn)題甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分. 研究實(shí)物交換方案.yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量. 設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox02.4 實(shí)物交

27、換xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的無(wú)差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的.MN將所有與p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái), 得到一條無(wú)差別曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上, 于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）.p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減(x增加, y減小) 下凸(凸向原點(diǎn)) 互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;在p2點(diǎn)占有y少

28、、x多，就要以較多的 x換取較少的 y.甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度（f 等滿意度曲線）甲的無(wú)差別曲線xyOg(x,y)=c2c2乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）. 雙方的交換路徑xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）甲的無(wú)差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p, (雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模AB 交換方案的進(jìn)一步確定交換方案 交換后甲的占有量 (x,y)0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑

29、AB雙方的無(wú)差別曲線族X(qián),Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線CD.AB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)等價(jià)交換原則x0yy0O.xp.2.5 污水均流池的設(shè)計(jì)城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的, 在凈化處理前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲(chǔ)存的大池子，再通過(guò)水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備. 背景和問(wèn)題集中、儲(chǔ)存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為均流池.根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì)均流池的容積及水泵和輸水管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原則確定均流池的具體尺寸.調(diào)查和分析除了

30、節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池的流量是以天為周期變化的.典型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量(m3/s) 時(shí)間(h)01234567流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369時(shí)間(h)89101112131415流量0.05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775時(shí)間(h)1617181920212223流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天進(jìn)入均流池的平均流量（忽略蒸發(fā)等損失） =從均流池用水泵打入凈

31、化設(shè)備的恒定流量 由以小時(shí)為單位間隔的污水流入量和從均流池到凈化設(shè)備的恒定流出量，可得均流池中污水隨時(shí)間變化的容量. 調(diào)查和分析 均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量，并考慮留有一定裕量來(lái)設(shè)計(jì). 均流池的面積可以由它的容積和深度得到. 均流池的施工成本：底部單位面積的成本，四條邊上單位長(zhǎng)度的施工成本. 均流池的形狀一般為矩形，其深度通常按照工程需要（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定. 模型假設(shè)與建立 以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有25%的裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì). 均流池的深度為3m，施工成本：底部面積 340元/m2，兩條長(zhǎng)邊及一條短邊250元/m，另一條短邊450元/m. 模型1 均流

32、池的恒定流出量和最大容量模型流量單位換算成m3/h,記為f(t)平均流入量=恒定流出量=203.67(m3/h )設(shè)計(jì)流量255 m3/h (25%的裕量)f(t)模型1均流池中污水的容量為c(t) (m3)時(shí)間01234567容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69時(shí)間89101112131415容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51637.74567.45時(shí)間1617181920212223容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83時(shí)間0123456

33、7容量876.15822.60734.49615.78478.71343.08211.0589.46時(shí)間89101112131415容量18.63023.1366.06113.31170.64238.41308.70時(shí)間1617181920212223容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98設(shè)c(0)=0 c(9)最小設(shè)c(9)=0 c(23)最大模型1f(t)c(t)f(t)gc(t) 最小 f(t)g f(t)gc(t) 最大 最大容量為892.98m 設(shè)計(jì)容量1116 m3 (25%的裕量)模型2 均流池的具體尺寸模型設(shè)計(jì)容量1

34、116 m3, 深度3m施工成本：底部面積 340元/m2, 兩長(zhǎng)邊及一短邊250元/m,另一短邊450元/m. l長(zhǎng)邊長(zhǎng)度， w短邊長(zhǎng)度底部面積 l w=372, w =372/ l 建造一個(gè)23 m16.5m的均流池，成本約15萬(wàn)元. S(l)=149301元, w =16.30m2.6 交通流與道路通行能力現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長(zhǎng)長(zhǎng)的汽車隊(duì)伍等待放行. 背景和問(wèn)題通過(guò)信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一. 介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系; 討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力. 交

35、通流的基本參數(shù)及其特性流量q某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的車輛數(shù)(輛/h ) 密度k某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù)(輛/km ) 速度v 某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面的車輛速度(km/h) 交通流 標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒(méi)有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響. 借用物理學(xué)概念, 將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體, 用流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性. 3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系 交通流的基本參數(shù)及其特性速度v 與密度k 的關(guān)系 線性模型 vf 暢行車速(k=0時(shí))kj阻塞密度(v=0時(shí))適合車流密度適中的情況 對(duì)數(shù)模型 車流密度較大時(shí)適用 指數(shù)模型 車流密度較小時(shí)

36、適用 v1 k=kj/e時(shí)的車速(理論上), 由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定. 車流密度加大 司機(jī)被迫減速 交通流的基本參數(shù)及其特性速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k 流量qkm=kj/2 最大流量時(shí)的密度vm=vf/2 最大流量時(shí)的速度 城市干道的通行能力道路通行能力單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某斷面的最大車輛數(shù). 交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài) 交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵.飽和度流量與通行能力的比值, 表示道路的負(fù)荷程度.城市干道的通行能力在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通

37、過(guò)道路某斷面的最大車輛數(shù)N (輛/h). 城市干道的通行能力v車速 (km/h)， d最小車頭間隔(m) d 主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān). d1剎車時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0 內(nèi)汽車行駛的距離. d2剎車時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車停止行駛的距離.c與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù). d3兩車之間的安全距離，d4車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度. 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的最大車輛數(shù)N城市干道的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的專業(yè)教材: 司機(jī)剎車的反應(yīng)時(shí)間t0 =1s，系數(shù)c=0.01,安全距離 d3=2m，

38、小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度d4=5m. 當(dāng)t0，c，d3，d4變大時(shí)最大通行能力Nm減小. 最大通行能力最大制動(dòng)力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng).常數(shù)制動(dòng)距離與車速的模型制動(dòng)距離：制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合理原則：剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作的功等于汽車動(dòng)能的改變，且F與車的質(zhì)量m成正比. F d2= m v2/2F m模型假設(shè)信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力西東南北相位A相位B相位C相位D信號(hào)燈控制采用4相位方案 典型的十字路口 東西方向有3條車道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行 南北方向有2條車道：左轉(zhuǎn)、直右混行 某一相位下每小時(shí)通過(guò)停止線的最大車輛數(shù)(單行道) S (輛/h)

39、信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力 假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第1輛車立即啟動(dòng)通過(guò)停止線，其余車輛按照固定時(shí)間間隔通過(guò)停止線. T(s)信號(hào)燈周期， tg(s)某相位的綠燈時(shí)間.t0(s)綠燈后第1輛車通過(guò)停止線的時(shí)間.ts(s)直行或右轉(zhuǎn)車輛通過(guò)停止線的時(shí)間. 反映車輛通過(guò)路口不均勻性的折減系數(shù).信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力G=tg/T綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比(綠信比) Q= 3600/ts小時(shí)流量(按每ts(s) 通過(guò)一輛車計(jì)算)每小時(shí)通過(guò)停止線的最大車輛數(shù)實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段 4個(gè)相位通行的實(shí)際流量qA, qB, qC, qD 調(diào)整4個(gè)相位的綠信比, 使GA:GB:GC:GD

40、 qA:qB:qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型車輛)3.5s(大型車輛)，對(duì)直行或右轉(zhuǎn) =0.9(左轉(zhuǎn)更小) 2.7 核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí). 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過(guò)了一系列核裁軍協(xié)議. 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張, 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài). 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí), 平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化. 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.背景與問(wèn)題以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)

41、為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.模型假設(shè)圖的模型y=f(x)甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線)x=g(y)乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線)當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0乙方的威懾值xyy0Oy0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy

42、0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線分析模型乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率.sx個(gè)基地未被摧毀，yx個(gè)基地未被攻擊.xy甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個(gè)基地中的 x個(gè),y0=sx+yxx=yy0=sy乙的xy個(gè)基地被攻擊2次, s2(xy)個(gè)未被摧毀;y (xy)=2y x個(gè)被攻擊1次, s(2y x )個(gè)未被摧毀.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2x=a y,分析模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值s殘存

43、率y=f(x)利用微積分知識(shí)可知y是一條上凸的曲線，且 y0變大，曲線上移、變陡. s變大，y減小，曲線變平.xyOy0 xy, y= y0+(1s)xx=yx=2yyx2y, 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值 y0變大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).（其他因素不變）乙安全線 y=f(x)上移模型解釋 平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x 0不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋 甲

44、方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值x 0, y0和殘存率s均減小.y0減小 y下移且變平xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s變小 y增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.模型解釋 乙安全線 y=f(x)核 軍 備 競(jìng) 賽 對(duì)“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程. 提出安全曲線概念，給出它的一般形式. 通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式. 利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的

45、一些現(xiàn)象作出合理解釋.帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡(jiǎn)化問(wèn)題AB 風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向，帆以及帆的朝向 .2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航模型分析 風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w的分解 wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2 .f1航行方向的推力p1 航行方向的阻力w1=wsin()f1=w1sin=wsin sin()p1=pcos模型假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1

46、 w2與帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度v與力f=f1p1成正比.v=k1(f1p1)v1v2) 令 = /2, v1=k1 w(1cos)/2pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)固定時(shí)求使f1最大f1=wcos(2)cos/2 = /2 時(shí) f1=w(1cos)/2最大= k1(f1p1)cosf1=w1sin=wsin sin()p1=pcos求, ,使 v1最大模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解60 75 1 t 2v1最大備注

47、只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型. 航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整和 . 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1(1+2p/w)coscos w=ks1, p=ks21/4cos s22.8 天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià) 明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以有雨概率形式給出. 問(wèn)題已得到某地一個(gè)月4種預(yù)報(bào)方法的有雨概率預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無(wú)雨的觀測(cè)結(jié)果. 日期預(yù)報(bào)A(%)預(yù)報(bào)B (%)預(yù)報(bào)C (%) 預(yù)報(bào)D (%)實(shí)測(cè)(有雨=1,無(wú)雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)4種預(yù)報(bào)方法給以評(píng)價(jià) 9天有雨22天無(wú)

48、雨全相同計(jì)數(shù)模型根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測(cè)，統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的正確率 有雨概率=50% 毫無(wú)意義, 不予統(tǒng)計(jì) 預(yù)報(bào)C2175預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨3預(yù)報(bào)D26預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨 0216預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨10311預(yù)報(bào)A預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨09022預(yù)報(bào)B明天有雨概率50% 預(yù)報(bào)有雨明天有雨概率50% 預(yù)報(bào)無(wú)雨 正確率0.57正確率0.71正確率0.81正確率0.93計(jì)數(shù)模型從實(shí)用角度看，更重要的是誤報(bào)率. 預(yù)報(bào)無(wú)雨而實(shí)測(cè)有雨的概率P2 預(yù)報(bào)有雨而實(shí)測(cè)無(wú)雨的概率P1 預(yù)報(bào)C2175預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨3預(yù)報(bào)D26預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨 0216預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)有雨有雨無(wú)雨無(wú)雨10311預(yù)報(bào)

49、A設(shè)兩種后果的損失之比為1 : 2P1=10/16P2=3/14誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3=0.35 誤報(bào)率P=0.20 誤報(bào)率P=0.06 造成預(yù)防費(fèi)用浪費(fèi) 預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失 誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3 缺點(diǎn): 未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值 記分模型將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測(cè)結(jié)果比較并記分 模型1 pk第k天預(yù)報(bào)有雨概率vk=1第k天有雨， vk=0無(wú)雨第k天的預(yù)報(bào)得分 對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 預(yù)報(bào)有雨概率0.5 得到相應(yīng)的正分 S1越大越好 記分模型模型2pk第k天預(yù)報(bào)有雨概率vk

50、=1第k天有雨， vk=0無(wú)雨第k天的預(yù)報(bào)得分 對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S2 S2越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型3第k天的預(yù)報(bào)得分 對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S3 S3越小越好 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 記分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3

51、.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 模型1, 2對(duì)4種預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相對(duì)分差都相同f理論上的有雨概率 模型3的期望分?jǐn)?shù) p預(yù)報(bào)有雨概率v=1有雨， v=0無(wú)雨P(guān)(v=1)= f, P(v=0)= 1 f 比較模型3與模型2的優(yōu)劣 p=f 時(shí)E(S)最小等價(jià)! 考察一般模型 求E(S)的極值 此意義下模型3最佳！ 僅當(dāng)n=2時(shí)p=f才能E(S)最小 圖形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * *

52、* * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0預(yù)報(bào)A(1)(1) (2) (1) (1)(3) * * * * * * (5)(6)(4)(1)(1)(2)(3) * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0預(yù)報(bào)C(2)(4)(4)(6)(5)(1) * * * * * * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0 (2)(1)(1)(2)(3) * * * * *預(yù)報(bào)D (22) * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0預(yù)報(bào)B(9) *號(hào)幾乎隨機(jī)分布, 預(yù)報(bào)效果很差 模型1 *號(hào)的p沒(méi)有變化, 毫無(wú)用途 v=0*號(hào)

53、在p=0.6左邊,無(wú)雨預(yù)報(bào)較好; v=1 *號(hào)分散 ,有雨預(yù)報(bào)較差 v=0 *號(hào)在p=0.5左邊,v=1 *號(hào)在p=0.4右邊,無(wú)雨、有雨預(yù)報(bào)都好 *上( )中數(shù)字是坐標(biāo)在*的天數(shù) 圖形模型模型2 0.5* * * * * * * * * *0.5p0q預(yù)報(bào)A*0.50.5p0q預(yù)報(bào)B * * * * * * * *0.50.5p0q預(yù)報(bào)C * * * * * * * * 0.50.5p0q預(yù)報(bào)Dp 預(yù)報(bào)有雨概率, q實(shí)測(cè)有雨天數(shù)比例p和q越接近越好 *離對(duì)角線越近越好 *幾乎均勻分布,明顯不好 只有一個(gè)*, 幾乎在q=p上 比A好一些 未顯示出優(yōu)勢(shì) 模型缺陷 不能用于預(yù)報(bào)B的情況 數(shù)據(jù)量小可

54、能是預(yù)報(bào)D未得到正確評(píng)價(jià)的原因 用*與q=p的豎直距離度量模型的優(yōu)劣, 并考慮各個(gè)*的權(quán)重，模型2可量化為分?jǐn)?shù)模型 .深入討論 評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的優(yōu)劣，需制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)統(tǒng)一看法, 提出三類層次、內(nèi)涵不同但相互關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn) 第一類標(biāo)準(zhǔn)：預(yù)報(bào)者本身的一致性 指預(yù)報(bào)者根據(jù)知識(shí)、信息和經(jīng)驗(yàn)對(duì)預(yù)報(bào)的事件做出的判斷，與他對(duì)外發(fā)布的預(yù)報(bào)之間的關(guān)系. 不完全一致 預(yù)報(bào)者沒(méi)有利用全部判斷，只從使用者的需要出發(fā). 出于預(yù)報(bào)效益等考慮，對(duì)判斷作了適當(dāng)改變.一致性受預(yù)報(bào)者控制，外界通常難以掌握 在預(yù)報(bào)以概率形式給出的情況下，當(dāng)預(yù)報(bào)與預(yù)報(bào)者的判斷一致時(shí)，才會(huì)得到與實(shí)際觀測(cè)最相符的結(jié)果. 深入討論 第二類標(biāo)準(zhǔn): 根據(jù)預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)間

55、的關(guān)系,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的品質(zhì) 利用預(yù)報(bào)(隨機(jī)變量x)與觀測(cè)(隨機(jī)變量y)的聯(lián)合分布F(x, y) 可靠性 決定性 將特定預(yù)報(bào)x下觀測(cè)y的條件均值與x之差對(duì)所有x平均,作為可靠性的數(shù)量指標(biāo). 由條件分布F(yx) 和邊際分布F(x) 計(jì)算得到 將特定預(yù)報(bào)x下觀測(cè)y的條件均值與y的無(wú)條件均值之差對(duì)所有x平均, 作為決定性的數(shù)量指標(biāo). 越小越好 越大越好 深入討論 第二類標(biāo)準(zhǔn): 根據(jù)預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)間的關(guān)系,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的品質(zhì) 分辨度 敏銳性 將特定觀測(cè)y下預(yù)報(bào)x的條件均值與y之差對(duì)所有y平均,作為分辨度的數(shù)量指標(biāo). 越小越好 將這個(gè)條件均值與y的無(wú)條件均值之差對(duì)所有y平均, 作為分辨度的又一數(shù)量指標(biāo). 越大越好

56、預(yù)報(bào)本身的敏銳, 與事件無(wú)關(guān). 由邊際分布F(x)決定. 如預(yù)報(bào)有雨概率多數(shù)接近1或0. 由條件分布F(xy) 和邊際分布F(y) 計(jì)算得到 不確定性 實(shí)際事件發(fā)生的不確定，與預(yù)報(bào)無(wú)關(guān).會(huì)給預(yù)報(bào)帶來(lái)困難 深入討論 第二類標(biāo)準(zhǔn): 根據(jù)預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)間的關(guān)系,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的品質(zhì) 由邊際分布F(y)決定 計(jì)數(shù)、記分、圖形模型都從某一側(cè)面反映第二類標(biāo)準(zhǔn). 第三類標(biāo)準(zhǔn)：利用預(yù)報(bào)所實(shí)現(xiàn)的效益或帶來(lái)的費(fèi)用 用決策分析法估計(jì)預(yù)報(bào)的效益或費(fèi)用的期望值，與不用預(yù)報(bào)(做先驗(yàn)估計(jì))相比. 與預(yù)報(bào)的品質(zhì)，即第二類標(biāo)準(zhǔn)密切相關(guān). 在谷物種植、耕種計(jì)劃、水果保護(hù)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用. 第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型-靜態(tài)優(yōu)化模型3.1 存貯模

57、型3.2 生豬的出售時(shí)機(jī) 3.3 森林救火3.4 消費(fèi)者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支3.7 冰山運(yùn)輸 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題. 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)).簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)3.1 存貯模型問(wèn) 題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi). 該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每

58、次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要求不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.問(wèn)題分析與思考 每天生產(chǎn)一次, 每次100件,無(wú)貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)5000元.日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 10天生產(chǎn)一次, 每次1000件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元. 50天生產(chǎn)一次,每次5000件, 貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元.平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元 這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立

59、目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小.模 型 假 設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建 模 目 的設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小.4. 為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模 型 建 立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt

60、=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問(wèn)題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求 T 使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2, r的微小變化對(duì)T,Q的影響T對(duì)c1的(相對(duì))敏感度 c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或r增加1%, T減少0.5%經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式） 用于訂貨供應(yīng)情況:不允許缺貨的存貯模型模型應(yīng)用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原問(wèn)題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次訂貨費(fèi) c1, 每