行列式計算方法+-+多項式+行列式+與計算方法

1、行列式的計算方法小結(jié)14、其他方法：1、定義法：適用于0比較多的行列式2、利用性質(zhì)化三角形行列式3、按行（列）展開析因子法箭形行列式行（列）和相等的行列式遞推公式法加邊法（升級法）拆項法數(shù)學(xué)歸納法2（一）析因子法例：計算 解：由行列式 定義知為 的4次多項式又，當(dāng) 時，1，2行相同，有 ，為D的根當(dāng) 時，3，4行相同，有為D的根故 有4個一次因式:3設(shè)令 則 即， 4（二）箭形行列式解：把所有的第 列 的 倍加到第1列，得： 5可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式：（把第 i 行分別減去第1行， 即可轉(zhuǎn)為箭形行列式）6（三）行（列）和相等的行列式 解：7解2)89（四）升級法（加邊法）解：1)1011（五

2、）遞推公式法展開解12 由以上兩式解得 而行列式的值求出 的值）（先將行列式表成兩個低階同型的行列式的線形關(guān)系式，再用遞推關(guān)系及某些低階（2階，1階）13例 計算2n階行列式解 按第一行展開,有再對兩個(2n-1)階行列式各按最后一行展開,得14例 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式15證: 將第n-1行乘以(-x1)加到第n行,將第n-2行乘以(-x1)加到第n-1行,這樣依次下去,最后將第1行乘以(-x1)加到第2行,得按第一列展開,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,n),得遞推公式:1617（六）拆項法（主對角線上、下元素相同）18繼續(xù)下去，可得 當(dāng) 時 19例

3、 計算n階行列式解: 將最后一列寫成兩數(shù)之和的形式,再由行列式的性質(zhì)5可得20由觀察可知,上式右端第一個行列式按最后一列展開得Dn-1,而第二個行列式從最后一行開始,每后一行乘以(-1)加到相鄰的前一行上,就變?yōu)橄氯切?其值為1,故得21（七） 數(shù)學(xué)歸納法例、證明：證：當(dāng) 時， ，結(jié)論成立假設(shè) 時結(jié)論成立，即，22對 ，將 按最后一列拆開，23所以 時結(jié)論成立，故原命題得證24（八） 范德蒙行列式解：考察 階范德蒙行列式例、計算行列式25顯然 就是行列式 中元素 的余子式 ，即,（ 為代數(shù)余子式）又由 的表達(dá)式及根與系數(shù)的關(guān)系知，中 的系數(shù)為： 即， 26開解：即有于是有 練習(xí)1、計算27同理有 即 28解練習(xí)2、計算29又30當(dāng) 時當(dāng) 時，得31證： 時， . 結(jié)論成立假設(shè) 時，結(jié)論成立當(dāng) 時， 按第 行展開得練習(xí)3、證明： 32于是 時結(jié)論亦成立