東南傳熱學(xué)課件第四章-第三節(jié)

1、第三節(jié) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別在于控制方程中多了一個非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，而擴(kuò)散項(xiàng)的離散方法與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是一樣的。因此，本節(jié)將重點(diǎn)討論非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散方法以及擴(kuò)散項(xiàng)離散時所取時間層的不同對計(jì)算帶來的影響。一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的離散x為空間坐標(biāo)，將計(jì)算區(qū)域劃分為（N-1）等份，得到N個空間節(jié)點(diǎn)；兩節(jié)點(diǎn)之間的距離為 稱為空間步長；為時間坐標(biāo)，將時間坐標(biāo)上的計(jì)算區(qū)域劃分為（i-1）等份，得到 i 個時間節(jié)點(diǎn)。從一個時間層到下一個時間層的間隔為，稱為時間步長。空間網(wǎng)格與時間網(wǎng)格的交點(diǎn)，如（n,i），代表了時間空間區(qū)域中一個節(jié)點(diǎn)的位置，相應(yīng)的溫度記為 。xn,in+1,in-1,in,i-

2、1n,i+1非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散如果將函數(shù)t 在節(jié)點(diǎn)（n,i+1）對點(diǎn)（n,i）作泰勒展開，可有于是有當(dāng) 足夠小時， 可略而不計(jì)，此時非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的差分格式可表示為非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的三種差分格式向前差分向后差分向中心差分一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程的建立控制方程差分方程化簡結(jié)果一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程的建立控制方程差分方程兩種差分格式的比較顯式差分格式隱式差分格式兩種差分格式的區(qū)別格式的形式不同計(jì)算工作量不同 顯式格式計(jì)算工作量小，隱式格式計(jì)算工作量大限制條件不同 顯式格式對時間步長和空間步長有相互制約的要求，但隱式格式對時間步長及空間步長之間的關(guān)系沒有任何要求。建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題節(jié)點(diǎn)方程的熱平衡法將研究區(qū)域離散化

3、對各節(jié)點(diǎn)所代表的元體建立能量平衡關(guān)系式對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題該能量平衡關(guān)系式為 從各個方向進(jìn)入元體的熱量之和等于該元體熱力學(xué)能的變化量整理化簡，得到各節(jié)點(diǎn)的差分方程無限大平板換熱邊界上節(jié)點(diǎn)方程的建立左圖示出了一無限大平板的右側(cè)面的一部分，其右側(cè)面受到周圍流體的冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，流體溫度為邊界節(jié)點(diǎn)為N節(jié)點(diǎn)N 代表寬度為 的元體NN-1N-2x無限大平板換熱邊界上節(jié)點(diǎn)方程的推導(dǎo)從左側(cè)面進(jìn)入元體的熱量從右側(cè)面進(jìn)入元體的熱量元體自身熱力學(xué)能的改變量根據(jù)能量守恒定律整理后得到差分方程的進(jìn)一步演化考察方程中的定義 稱為網(wǎng)格傅立葉數(shù)定義 稱為網(wǎng)格畢渥數(shù)差分方程可演化為一維非問題導(dǎo)熱問題的差分方程內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方

4、程換熱邊界上的差分方程上述方程都是用顯式差分格式表示的數(shù)值解求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的實(shí)例 物理模型：設(shè)有一塊厚度為2 的無限大平壁，初始溫度為 。在初始瞬間將它放置于溫度為 的流體中，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。試用數(shù)值解法確定在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中板內(nèi)的溫度分布。 x控制方程 解：由于問題的對稱性，只要研究一半即可，此時，該問題的控制方程為區(qū)域離散化將所研究平板的一半N等分，共有N+1個節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1在平板中心截面上，節(jié)點(diǎn)N在平板右側(cè)面上，如圖所示兩個節(jié)點(diǎn)之間的距離為節(jié)點(diǎn)-1與節(jié)點(diǎn)2換熱情況對稱，固有相同的溫度時間步長取xn=1 2 3 N-1 N-1差分方程 上述問題的差分方程為方程組的

5、求解利用上述方程組，從初始溫度 出發(fā)，即可依次求得第二時間層、第三時間層直到 I 時間層上的溫度分布。至于空間步長 及時間步長 的選取，原則上步長越小，計(jì)算結(jié)果越接近于精確解，但是需要的計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時間則大大增加。此外， 與 的關(guān)系還受到顯式差分格式穩(wěn)定性的影響。下面，我們從離散方程的結(jié)構(gòu)來分析，說明穩(wěn)定性限制的物理意義，再通過數(shù)值計(jì)算實(shí)例予以說明。顯式差分格式穩(wěn)定性分析 由內(nèi)部節(jié)點(diǎn)差分方程可見，在節(jié)點(diǎn)n上，i+1時刻的溫度是在該點(diǎn)i 時刻溫度的基礎(chǔ)上考慮了左右相鄰兩點(diǎn)溫度的影響后得出的?，F(xiàn)在，假設(shè)相鄰兩點(diǎn)的溫度不變，那么合理的情況是:i時刻節(jié)點(diǎn)n的溫度越高，則其相繼時刻（i+1時刻）的溫

6、度也越高；反之，i時刻節(jié)點(diǎn)n的溫度越低，則其相繼時刻的溫度也越低。所以，在差分方程中要滿足這種合理性的條件，則差分方程中 與 前面的系數(shù)必須保持同方向變化。由于 的系數(shù)大于零，因此 前面的系數(shù)也必須大于零 。顯式差分格式穩(wěn)定性條件內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程穩(wěn)定性條件一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，換熱邊界上節(jié)點(diǎn)差分方程穩(wěn)定性條件具體計(jì)算實(shí)例題目：厚 的無限大平板受對稱的冷卻，初始溫度 。在初始瞬間，平板突然被置于溫度 的流體中。已知平板的導(dǎo)熱系數(shù) , 。試用數(shù)值法求解其溫度分布。取 。解：區(qū)域離散化，取則 采用如圖所示的離散方法，計(jì)算結(jié)果列于下表計(jì)算區(qū)域離散圖x n=1 2 3 40.01 0.01 0.01 差分方程

7、上述問題的差分方程為計(jì)算結(jié)果1760.7273.150.667.2648010032200.991.463.284801001002-328.9220.219.2104801001001001550-109.614860100100100100076543210itn對計(jì)算結(jié)果的說明 從上表可以看出，從 這一時刻起出現(xiàn)了這樣的情況：各點(diǎn)溫度隨時間作忽高忽低的波動，并且波動幅度越來越大；某點(diǎn)溫度越高反而使相繼時刻的溫度越低。這種現(xiàn)象是違背熱力學(xué)第二定律的。因?yàn)檫@意味著，在該時間間隔中，從某一時刻起熱量將自動地由低溫向高溫傳遞。數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的這種計(jì)算結(jié)果忽高忽低的波動現(xiàn)象，數(shù)學(xué)上稱為不穩(wěn)定性。這

8、個例題表明，在數(shù)值計(jì)算中避免出現(xiàn)不穩(wěn)定性是十分重要的。 出現(xiàn)解的不穩(wěn)定性的原因不滿足解的收斂條件根據(jù)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的收斂條件根據(jù)換熱邊界節(jié)點(diǎn)的收斂條件所以此時最達(dá)的時間間隔應(yīng)為二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程的建立控制方程差分方程二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+1二維非穩(wěn)態(tài)平直邊界上節(jié)點(diǎn)方程式m,n-1m,nm-1,nm,n+1本章小結(jié)數(shù)值計(jì)算法包括有限差分法、有限元法和邊界元法。本章只討論有限差分法，用差商代替微商，用內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分線性方程組求解節(jié)點(diǎn)的溫度值，以此代替求解導(dǎo)熱微分方程和相應(yīng)定解條件得到的與時間和空間坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式。本章以二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例詳細(xì)介紹了節(jié)點(diǎn)方程式的兩種建立方法泰勒級數(shù)展開法和熱平衡法，并且對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的兩種差分格式顯式差分格式和隱式差分格式進(jìn)行了討論，且指出了顯式差分格式的穩(wěn)定性條件。要建立節(jié)點(diǎn)方程，首先必須確定節(jié)點(diǎn)。因此對研究區(qū)域的離散化是必須應(yīng)該掌握的。 基本要求1.掌握區(qū)域離散化方法，了解向前差分、向后差分和向中心差分。2. 會運(yùn)用熱平衡法建立