分段線性插值

1、頁眉內容數值分析課程設計題目 分段線性插值學生牛彥坡陳彬馮夢雨指導教師 郭閣陽天津工程師范學院課 程設計 任務書理學 院 數學0702 班 學生 牛彥坡陳彬 馮夢雨課程設計課題：考察分段線性插值一、課程設計工作日自2009 年6 月 22 日至2009 年6 月 28 日二、同組學生：牛彥坡 陳彬 馮夢雨三、課程設計任務要求（包括課題來源、類型、目的和意義、基本要求、參考資料等）:來源與意義：本課題來源于教材第二章插值法，目的是從幾何意義掌握分段線性插值的思 想，加深對其的理解以及掌握用計算機與 Matlab解決相關問題的能力?；疽螅阂笞跃幊绦?；掌握編程思想，學會一門編程語言；報告要有較

2、強的理論分 析；有較強說服力的數據表或圖像；對結果進行分析；給出相應結論；鼓勵創(chuàng)新；參考資料：.數值分析，李慶揚，王能超，易大義，2001,清華大學出版社（第四版）。.數值方法，關治，陸金甫，2006,清華大學出版社。.數值分析與實驗學習指導，蔡大用，2001,清華大學出版社。頁眉內容.數值分析與實驗，薛毅，2005,北京工業(yè)大學出版社。指導教師簽字：教研室主任簽字：天津工程師范學院課 程設計 評審表理學 院 數學0702 班 學生牛彥坡陳彬馮夢雨 設計任務完成情況及指導教師評語答辯情況評定成績成績： 指導教師簽字： 日期：教研室主任： 主任簽字： 日期：日期：頁眉內容一、問題提出：考察分段線

3、性插值：對f(x) 在(-5, 5)上進行分段線性插值，取不同節(jié)點個數 n,得到不同 1 x分段線性插值函數。(要求：自編程序，報告有數據表、圖像、分析、結論。)雖然matlab里有直接分段線形插值的函數，但為了對分段插值算法有更明確的理解，編寫該程序是有必要的需要解決的問題：1、由已知數據節(jié)點編寫分段線形插值函數，從而能由所編函數得到非節(jié)點的函 數值。2、比較用不同節(jié)點數所得插值函數與真實函數的誤差，從而得出節(jié)點數與插值效果的關系二、理論基礎所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近f (x)0設已知節(jié)點a=X0X1-Xn=b上的函數值f0, fl ,，fn ,求一折線函數滿足：1o

4、 Ih(x) Ca,b,2o Ih(x) fk (k 0,1,n)，3o Ih(x)在每個小區(qū)間xk，xk+1上是線性函數。則稱Ih(x)為分段線性插值函數。模型一：由定義可知Ih(x)在每個小區(qū)間xk，xk+1上可表示為x xk 1 x xkIh(x) = fk fk 1(xk x xk 1)xk xk 1 xk 1 xk模型二：首先確定間隔序列k,使得：第二個量是局部變量s,其定義為：最后一個量是一階均差頁眉內容則插值基函數可表示為yk i yk_L(x) yk (x Xk) yk S k-Xk 1 Xk三、實驗內容1、模型一：用MATLAB分別建立m文件：(1)原函數fdl.m(2)分段

5、線性插值函數fd2.m(3)比較不同節(jié)點數所得分段線性插值函數的插值效果fd3.m2、選取插值節(jié)點數為偶數在MATLAB窗口中執(zhí)行：fd3 n=2的數據見附錄，圖像如下：1y 0.5-5-4-3-2-1012345原函數(實線)-插值函數(虛線)005-1-5-4-3-2-1012345xX誤差分析n=8的圖如下：n=20的圖3、模型二：用MATLAB分別建立m文件：(1)分段插值函數fd22頁眉內容（2）插值效果比較函數fd32 （選取插值節(jié)點數為奇數）程序代碼（參見附錄）在MATLAB窗口中執(zhí)行：fd32得下圖：上圖為不同節(jié)點數插值函數圖像與原函數圖像，下圖為誤差圖像3、由上所有的圖可看出

6、，由于原函數是偶函數，等距節(jié)點所得插值函數有很強對稱性，下任取節(jié)點，編寫程序fd33.m,得圖上圖為不同節(jié)點數插值函數圖像與原函數圖像，下圖為誤差圖像4、比較不同節(jié)點所得插信函數與被插函數誤差的平方和，程序模板為dl.m得下圖：紅星由fd32得奇數節(jié)點誤差平方和，綠星加圈由 fd3得偶數節(jié)點誤差平方 和，圈由f33得隨機節(jié)點誤差平方和，數據見附錄四、結果分析1、不同插值節(jié)點數所得的分段線形插值函數， 在節(jié)點處與原函數的函數值 一定相同2、所得的分段線形插值函數在原函數斜率絕對值變化大的地方，與原函數的誤差比較大3、由誤差平方和e,插值節(jié)點個數越多，e有減小的趨勢，最后趨于 00 單考慮奇數或偶

7、數個節(jié)點，則隨節(jié)點數增加 e嚴格減小。4、隨機生成的節(jié)點不如等距節(jié)點使插值效果好。五、結論插值節(jié)點個數越多，分段線形插值函數與原函數誤差平方和有減小趨勢 插值效果越好。頁眉內容六、參考文獻數值分析與實驗薛毅編著北京工業(yè)大學出版社附錄代碼如下：% fdl.m線性插值原函數function y=fd1(x) y=1./(1+xA2);% fd2.m分段線性插值函數 function yi=fd2(x,y,xi) n=length(x);m=length(y); if n-=m error( X和Y向量的長度必須相同)； return ;end for k=1:n-1 if abs(x(k)-x(k

8、+1)eps % x(k)-x(k+1) 的絕對值 必須大于 e error(數據%誤);return ; endif x(k)=xi&xi=x(k+1)% 保證 x(k) xi x(k+1)temp=x(k)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1) return ;end end % fd3.m比較插值效果a=-5;b=5;n=input(請輸入分端節(jié)點數：)； if n=0error(你輸入的數據有誤！ ！ ！)； break ;endh=(b-a)/(n-1);% 求節(jié)點x=a:h:b;y=fd1(x);xx=a:0.

9、1:b;%用分段線性插值函數求非節(jié)點函數值yyi=fd1(xx);m1=length(xx);z=zeros(1,m1);頁眉內容for k1=1:m1 z(k1)=fd2(x,y,xx(k1); end w=z-yyi; % 計算誤差 subplot(2,1,1);plot(x,y, o ,xx,yyi, - ,x,y, k: ); %雨值圖像 xlabel( x); ylabel( y );title(原函數(實線)-插值函數(虛線)； hold onsubplot(2,1,2);plot(xx,w, k: ); % 誤差的圖像 xlabel( x ); ylabel( R (x); ti

10、tle(誤差分析); hold on xx=xx; yyi=yyi; z=z; w=w;% fd22.m分段線性插值函數function v=fd22(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u);for j=2:n-1 k(x(j)=u)=j;end s=u-x(k); v=y(k)+s.*delta(k);% fd32.m同時畫不同節(jié)點的插值函數圖像和誤差圖像 clear close t=-5:0.01:5; a=k g rc m;for i=1:5 n=2*i+1;x=linspace(-5,5,n);聽巴區(qū)間-5

11、5分為(n1)份，算插值節(jié)點y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p;%計算以(x, y)為插值點的插值函數在t處的各個值y1=fd1(t);y1=y1;e=p-y1;啾算誤差subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);holdon; %畫出插值函數圖像及誤差圖像subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);holdon;end subplot(2,1,1);頁眉內容legend(n=3 ,n=5 ,n=7 ,n=9 ,n=11) subplot(2,1,2);legend(n=3 ,n=5 ,n=7 ,n=9 ,n=11)subplot(2,1,1);f

12、plot(fd1,-5 5,k ); %i出原函數圖像hold off%fd33.m插值節(jié)點非等分區(qū)間獲得closet=-5:0.01:5;a=k g rc m;for i=1:5n=2*i+1;x=-5 rand(1,n-2)*10-5 5;%1 (-5, 5)上的 n維隨機向量x=sort(x);y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p;y1=fd1(t);y1=y1;e=p-y1;subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);holdon;subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);holdon;end subplot(2,1,1); legend(

13、n=3 ,n=5 ,n=7 ,n=9 ,n=11) subplot(2,1,2);legend(n=3 ,n=5 ,n=7 ,n=9 ,n=11)subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,k);hold off%fd1.m比較不同節(jié)點數誤差平方和cleart=-5:0.01:5;a=;b=;for i=1:10n=2*i;%n=2*i+1則是奇數節(jié)點x=linspace(-5,5,n)y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);y1=fd1(t);e=p-y1;e=e*e;a=a e;b=b n; end plot(b,a, go ) xlabel( n 節(jié)點數)頁眉內容y

14、label（ e誤差平方和） hold onn=2的數據：XYYI （原函數）W-5.00000.03850.03850-4.90000.04000.0577-0.0177-4.80000.04160.0769-0.0353-4.70000.04330.0962-0.0528-4.60000.04510.1154-0.0703-4.50000.04710.1346-0.0876-4.40000.04910.1538-0.1047-4.30000.05130.1731-0.1218-4.20000.05360.1923-0.1387-4.10000.05610.2115-0.1554-4.000

15、00.05880.2308-0.1719-3.90000.06170.2500-0.1883-3.80000.06480.2692-0.2045-3.70000.06810.2885-0.2204-3.60000.07160.3077-0.2361-3.50000.07550.3269-0.2515-3.40000.07960.3462-0.2665-3.30000.08410.3654-0.2813-3.20000.08900.3846-0.2956-3.10000.09430.4038-0.3096-3.00000.10000.4231-0.3231-2.90000.10630.4423-

16、0.336-2.80000.11310.4615-0.3484-2.70000.12060.4808-0.3601-2.60000.12890.5000-0.3711-2.50000.13790.5192-0.3813-2.40000.14790.5385-0.3905-2.30000.15900.5577-0.3987-2.20000.17120.5769-0.4057-2.10000.18480.5962-0.4113-2.00000.20000.6154-0.4154-1.90000.21690.6346-0.4177-1.80000.23580.6538-0.418-1.70000.2

17、5710.6731-0.416-1.60000.28090.6923-0.4114-1.50000.30770.7115-0.4038-1.40000.33780.7308-0.3929-1.30000.37170.7500-0.3783-1.20000.40980.7692-0.3594-1.10000.45250.7885-0.336-1.00000.50000.8077-0.3077-0.90000.55250.8269-0.2744-0.80000.60980.8462-0.2364-0.70000.67110.8654-0.1942-0.60000.73530.8846-0.1493

18、-0.50000.80000.9038-0.1038-0.40000.86210.9231-0.061-0.30000.91740.9423-0.0249-0 20000 96150 96150-0 10000 99010 98080 0093頁眉內容01.00001.000000.10000.99010.98080.00930.20000.96150.961500.30000.91740.9423-0.02490.40000.86210.9231-0.0610.50000.80000.9038-0.10380.60000.73530.8846-0.14930.70000.67110.8654

19、-0.19420.80000.60980.8462-0.23640.90000.55250.8269-0.27441.00000.50000.8077-0.30771.10000.45250.7885-0.3361.20000.40980.7692-0.35941.30000.37170.7500-0.37831.40000.33780.7308-0.39291.50000.30770.7115-0.40381.60000.28090.6923-0.41141.70000.25710.6731-0.4161.80000.23580.6538-0.4181.90000.21690.6346-0.41772.00000.20000.6154-0.41542.10000.18480.5962-0.41132.20000.17120.5769-0.40572.30000.15900.5577-0.39872.40000.14790.5385-0.39052.50000.13790.5192-0.38132.60000.12890.5000-0.37112.70000.12060.4808-0.36012.80000.11310.4615-0.34842.90000.10630.4423-0.3363.00000.10000.4231-0.32313.10000