高中數(shù)學(xué)必修二 8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-同步培優(yōu)專練

1、8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識儲備1.平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言aba相交關(guān)系圖形語言符號語言abAaAl獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

2、.4.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：.5.常用結(jié)論（1）空間中兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（2）異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.（3）兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.能力檢測注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置 一、

3、單選題1（2020合肥市第十一中學(xué)高二期中（文）若直線與平面平行，直線，則與位置關(guān)系：（ ）A平行B異面C相交D沒有公共點(diǎn)【答案】D【解析】若直線與平面平行，直線，則直線與可能平行或異面，不可能相交，即沒有公共點(diǎn).故選：D.2（2020重慶市萬州第三中學(xué)高二期中）下列說法正確的是（ ）A經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面B平面與平面相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)C經(jīng)過三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面D如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合【答案】D【解析】對于，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，說法不正確；對于，當(dāng)平面與平面相交，它們無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)在一條公共直線上，說法不正確；對于，經(jīng)過不在一條直

4、線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，說法不正確；對于，如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合，說法正確.故選：D3（2019浙江高二學(xué)業(yè)考試）若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）A內(nèi)的所有直線與異面B內(nèi)不存在與平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與平行D內(nèi)的直線與都相交【答案】B【解析】因?yàn)橹本€不平行于平面，且，所以直線與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為.A：直線可以和在平面內(nèi)過點(diǎn)的直線相交，故本選項(xiàng)結(jié)論不成立；B：假設(shè)內(nèi)存在與平行的直線，設(shè)為，根據(jù)線面平行的判定定理可知直線與平面平行，這與直線與平面相交相矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項(xiàng)結(jié)論成立；C：根據(jù)B的判斷，顯然本選項(xiàng)的結(jié)論不成立；D：由A判

5、斷，顯然本選項(xiàng)結(jié)論不成立.故選：B4（2020天津高二期中）在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分布是的中點(diǎn)，所以，即異面直線與所成角是或是其補(bǔ)角，設(shè)，則底面邊長，同理，中，所以，所以，即異面直線與所成角是.故選：A5（2020湖南高三月考）在正方體中，是正方形的中心，點(diǎn)在線段上，且，是的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的大小為（ ）A30B45C60D90【答案】D【解析】如圖所示，在正方體中，在底面上的射影為，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，可得，又由，且，所以平面，又由平面，那么，則異面直線所成角的大小為.故選：D.6（2020大

6、名縣第一中學(xué)高二月考）若l，m為兩條不同的直線，為平面，且，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且能推出，充分性成立；若且，則或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7（2020咸陽市高新一中高一月考）如果、是異面直線，且平面，那么與的位置關(guān)系是（ ）AB與相交CD不確定【答案】D【解析】、是異面直線，且平面，如圖所示：正方體中，是對應(yīng)棱上的中點(diǎn)，對角面是平面，直線是，滿足題意，則是時(shí)，是時(shí)與相交，是直線時(shí)，故與的位置關(guān)系不確定.故選：D.8（2020浙江高一期末）設(shè)是直線外一定點(diǎn)，過點(diǎn)且與成角的異面直線

7、（ ）A有無數(shù)條B有兩條C至多有兩條D僅一條【答案】A【解析】過點(diǎn)作直線，如圖，與直線成角的圓錐面上的母線均與成角，所以符合題意的直線有無數(shù)條.故選：A.二、多選題9（2020湖北武漢市高二期中）如圖，在正四棱柱中，分別是棱，的中點(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值為，則（ ）AB直線與直線共面CD直線與直線異面【答案】BCD【解析】如圖，連接，可知在正四棱柱中，四邊形是平行四邊形，是異面直線與所成角，設(shè)，則，則可得,，故A錯(cuò)誤，C正確；如圖，連接，是，的中點(diǎn)，又正四棱柱中，四邊形是平行四邊形，四點(diǎn)共面，即直線與直線共面，故B正確；平面，平面，且，直線與直線異面，故D正確.故選：BCD.10（2020

8、南通西藏民族中學(xué)高二期中）分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ）A平行B相交C異面D以上皆不可能【答案】ABC【解析】當(dāng)兩直線分別平行于交線時(shí)，這兩條直線平行，A正確；兩條直線可以交于交線上一點(diǎn)，故可以相交，B正確；一條直線和交線平行，另一條直線在另一個(gè)平面內(nèi)過交線上一點(diǎn)和交線外一點(diǎn)時(shí)，兩直線異面，C正確；故選：ABC.11（2020山東日照市日照一中高三月考）在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）A直線平面B三棱錐的體積為定值C異面直線與所成角的取值范圍是D直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】BD【解析】A錯(cuò)，如圖，連接，由正方體可得，且平面，則，所以平面，故；同理，連接，易

9、證得，則平面，若直線平面，則平面平面這與平面與平面相交矛盾，所以A錯(cuò)；B正確，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以，面積為定值，且到平面的距離即為到平面的距離，也為定值，故體積為定值；C錯(cuò)，由, 當(dāng)點(diǎn)與線段的端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角為60；設(shè)的中點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)由的端點(diǎn)向中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為異面直線與所成角在在中,，所以 在中，不變，逐漸變小.所以逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，異面直線與所成角為 所以異面直線與所成角的取值范圍是,所以C不正確.D正確，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為1， 則， 由前面可得，平面，所以 為平面的一個(gè)法向量直線C1M與平

10、面所成角的正弦值為 ： 當(dāng)時(shí)，有最大值 所以直線C1M與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為，故D正確故選：BD12（2020邵東市第一中學(xué)高三月考）點(diǎn)是正方體中側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（ ）A滿足的點(diǎn)的軌跡為直線B若正方體的棱長為1，三棱錐的體積的最大值為C點(diǎn)存在無數(shù)個(gè)位置滿足到直線和直線的距離相等D在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是【答案】BC【解析】如圖，在正方體中，側(cè)面，則，又，所以平面，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，有，所以點(diǎn)的軌跡為線段，故A不正確；由正方體的性質(zhì)得，平面，若正方體的棱長為1，則點(diǎn)M與重合時(shí)，三棱錐的體積取得最大，其值為，故B正確；平面上的點(diǎn)M到直線的距離等于

11、M到的距離，則滿足到直線AD和直線的距離相等，即滿足到直線AD和點(diǎn)的距離相等.可知M的軌跡為平面上拋物線的部分，故C正確.異面直線與所成的角是，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)取的中點(diǎn)時(shí)，最小，其正切值為，所以不存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是，故D不正確，故選BC.三、填空題13（2019西安交通大學(xué)附屬中學(xué)雁塔校區(qū)高一月考）若a ，b 是兩條不相交的直線，則過直線b 且平行于a 的平面有_個(gè)【答案】1或無數(shù)【解析】由a ，b 是兩條不相交的直線，1、若a ，b平行時(shí)，過直線b 且平行于a 的平面有無數(shù)個(gè)；2、若a ，b不平行時(shí)，即為異面直線，則過直線b 且平行于a 的平面有且僅有1個(gè)；故答案為：1或無數(shù)

12、.14（2020山西呂梁市高二期中）如圖，在正方體中，、分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則、四點(diǎn)共面的圖形有_（填上所有正確答案的序號）【答案】【解析】對于，連接、，取的中點(diǎn)，連接、，在正方體中，四邊形為正方形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，可得，同理可證四邊形為平行四邊形，所以，則，此時(shí)，、四點(diǎn)共面；對于，如下圖所示：平面，此時(shí)，、四點(diǎn)不共面；對于，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，可得，、分別為、的中點(diǎn)，則，此時(shí)，、四點(diǎn)共面；對于，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可證，此時(shí)，、四點(diǎn)共面；對于，由題圖可知，平面，此時(shí)，、四點(diǎn)不共面.故答案為：.15（2020昔陽縣中學(xué)校高二期中）如圖，已知一個(gè)八面體的各條棱長均為2，四邊形ABCD為正方形，給出下列說法：該八面體的體積為；該八面體的外接球的表面積為8；E到平面ADF的距離為；EC與BF所成角為60.其中正確的說法為_.（填序號）【答案】【解析】八面體的體積為；八面體的外接球球心為正方形ABCD對角線交點(diǎn)，易得外接球半徑為，表面積為；取AD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EF，易得，平面EGF，過E作，交FG的延長線于H，又，故平面ADF