高中必修4第一章三角函數(shù)【課后測模擬試題】2同角三角函數(shù)的基本關系

1、1同角三角函數(shù)的基本關系學習目標1.能通過三角函數(shù)的定義推導出同角三角函數(shù)的基本關系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關系式.3.能運用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明知識點同角三角函數(shù)的基本關系式1同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2cos21.(2)商數(shù)關系：tan eq f(sin ,cos ) eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kZ).2同角三角函數(shù)基本關系式的變形(1)sin2cos21的變形公式sin21cos2；cos21sin2.(2)tan eq f(sin ,cos )eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2

2、)，kZ)的變形公式sin cos tan ；cos eq f(sin ,tan ).1sin2cos21.()提示在同角三角函數(shù)的基本關系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2eq f(,2)cos2eq f(,2)1.()提示在sin2cos21中，令eq f(,2)可得sin2eq f(,2)cos2eq f(,2)1.3對任意的角，都有tan eq f(sin ,cos )成立()提示當eq f(,2)k，kZ時就不成立4若cos 0，則sin 1.()題型一利用同角三角函數(shù)的關系式求值命題角度1已知角的某一三角函數(shù)值及所在象限，求角的其余三角函數(shù)值例1(1)若s

3、in eq f(5,13)，且為第四象限角，則tan 的值為() f(12,5) Beq f(12,5) f(5,12) Deq f(5,12)考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值答案D解析sin eq f(5,13)，且為第四象限角，cos eq f(12,13)，tan eq f(sin ,cos )eq f(5,12)，故選D.(2)已知sin cos eq f(7,13)，(0，)，則tan .考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值答案eq f(12,5)解析sin cos eq f(7,13)，(sin cos )2eq f(49,169

4、)，即2sin cos eq f(120,169)0，cos 0，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，故sin cos eq r(sin cos 24sin cos )eq f(17,13)，可得sin eq f(12,13)，cos eq f(5,13)，tan eq f(12,5).反思感悟(1)同角三角函數(shù)的關系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個解題時要注意角的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(2)已知三角函數(shù)值之間的關系式求其它三角函數(shù)值的問題，我們可利用平方關系或商數(shù)

5、關系求解，其關鍵在于運用方程的思想及(sin cos )212sin cos 的等價轉化，找到解決問題的突破口跟蹤訓練1已知tan eq f(4,3)，且是第三象限角，求sin ，cos 的值考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值解由tan eq f(sin ,cos )eq f(4,3)，得sin eq f(4,3)cos .又sin2cos21，由得eq f(16,9)cos2cos21，即cos2eq f(9,25).又是第三象限角，cos eq f(3,5)，sin eq f(4,3)cos eq f(4,5).命題角度2已知角的某一三角函數(shù)值，未給出所在象限，求

6、角的其余三角函數(shù)值例2已知cos eq f(8,17)，求sin ，tan 的值考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值解cos eq f(8,17)0，且cos 1，是第二或第三象限角(1)當是第二象限角時，則sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(8,17)2)eq f(15,17)，tan eq f(sin ,cos )eq f(f(15,17),f(8,17)eq f(15,8).(2)當是第三象限角時，則sin eq r(1cos2)eq f(15,17)，tan eq f(15,8).反思感悟利用同角三角函數(shù)關系式求值時

7、，若沒有給出角是第幾象限角，則應分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出的終邊可能在的象限，再分類求解跟蹤訓練2已知cos eq f(4,5)，求sin 和tan .考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值解sin21cos21eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2eq f(9,25)，因為cos eq f(4,5)0，所以是第二或第三象限角，當是第二象限角時，sin eq f(3,5)，tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4)；當是第三象限角時，sin eq f(3,5)，tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4).題型二齊次式求

8、值問題例3已知tan 2，求下列代數(shù)式的值(1)eq f(4sin 2cos ,5cos 3sin )；(2)eq f(1,4)sin2eq f(1,3)sin cos eq f(1,2)cos2.考點運用基本關系式化簡和證明題點運用基本關系式化簡、求值解(1)原式eq f(4tan 2,53tan )eq f(6,11).(2)原式eq f(f(1,4)sin2f(1,3)sin cos f(1,2)cos2,sin2cos2)eq f(f(1,4)tan2f(1,3)tan f(1,2),tan21)eq f(f(1,4)4f(1,3)2f(1,2),5)eq f(13,30).反思感悟(

9、1)關于sin ，cos 的齊次式，可以通過分子、分母同除以cos 或cos2轉化為關于tan 的式子后再求值(2)假如代數(shù)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1sin2cos2代換后，再同除以cos2，構造出關于tan 的代數(shù)式跟蹤訓練3已知eq f(sin cos ,sin cos )2，計算下列各式的值(1)eq f(3sin cos ,2sin 3cos )；(2)sin22sin cos 1.考點運用基本關系式化簡和證明題點運用基本關系式化簡、求三角函數(shù)值解由eq f(sin cos ,sin cos )2，化簡，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式e

10、q f(33cos cos ,23cos 3cos )eq f(8cos ,9cos )eq f(8,9).(2)原式eq f(sin22sin cos ,sin2cos2)1eq f(tan22tan ,tan21)1eq f(3223,321)1eq f(13,10).三角函數(shù)式的化簡與證明典例(1)化簡：sin2tan eq f(cos2,tan )2sin cos .考點運用基本關系式化簡和證明題點運用基本關系式化簡解原式sin2eq f(sin ,cos )cos2eq f(cos ,sin )2sin cos eq f(sin4cos42sin2cos2,sin cos )eq f

11、(sin2cos22,sin cos )eq f(1,sin cos ).(2)求證：eq f(tan sin ,tan sin )eq f(tan sin ,tan sin ).考點運用基本關系式化簡和證明題點運用基本關系式證明證明右邊eq f(tan2sin2,tan sin tan sin )eq f(tan2tan2cos2,tan sin tan sin )eq f(tan21cos2,tan sin tan sin )eq f(tan2sin2,tan sin tan sin )eq f(tan sin ,tan sin )左邊，原等式成立素養(yǎng)評析(1)三角函數(shù)式的化簡技巧化切為弦

12、，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構造sin2cos21，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的(2)證明三角恒等式的過程，實質上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)比較法：即證左邊右邊0或eq f(左邊,右邊)1(右邊0)證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立(3)掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品

13、質，提升邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).1若sin eq f(4,5)，且是第二象限角，則tan 的值為()Aeq f(4,3) f(3,4) Ceq f(3,4) Deq f(4,3)考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值答案A解析為第二象限角，sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，tan eq f(4,3).2已知sin eq f(r(5),5)，則sin4cos4的值為()Aeq f(3,5) Beq f(1,5) f(1,5) f(3,5)考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式化簡、求三角函數(shù)值答案A解析sin4cos4(sin2cos2)(s

14、in2cos2)sin2(1sin2)2sin212eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)21eq f(3,5).3(2023江西上高第二中學高二期末)若為第三象限角，則eq f(cos ,r(1sin2)eq f(2sin ,r(1cos2)的值為()A3 B3 C1 D1考點運用基本關系式化簡和證明題點運用基本關系式化簡答案B解析為第三象限角，cos 0，sin 0，原式eq f(cos ,cos )eq f(2sin ,sin )3.4已知tan xeq f(1,2)，則sin2x3sin xcos x1的值為() f(1,3) B2C2或2 D2考點運用基本關系式

15、求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值答案D5已知：eq f(tan ,tan 1)1，則eq f(sin 3cos ,sin cos ) .答案eq f(5,3)解析由已知得：tan eq f(1,2)，eq f(sin 3cos ,sin cos )eq f(tan 3,tan 1)eq f(5,3).1利用同角三角函數(shù)的基本關系式，可以由一個角的一個三角函數(shù)值，求出這個角的其他三角函數(shù)值2利用同角三角函數(shù)的關系式可以進行三角函數(shù)式的化簡，結果要求：(1)項數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值3在三角函數(shù)的變換求值中，已知sin co

16、s ，sin cos ，sin cos 中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值4在進行三角函數(shù)式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關系式變形的出發(fā)點利用同角三角函數(shù)的基本關系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數(shù)名的個數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；(4)對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數(shù)關系來求解一、選擇題1已知是第二象限角，tan eq f(1,2)，則c

17、os 等于()Aeq f(r(5),5) Beq f(1,5)Ceq f(2r(5),5) Deq f(4,5)考點運用基本關系式求三角函數(shù)值題點運用基本關系式求三角函數(shù)值答案C解析是第二象限角，cos 0.又sin2cos21，tan eq f(sin ,cos )eq f(1,2)，cos eq f(2r(5),5).2下列四個結論中可能成立的是()Asin eq f(1,2)且cos eq f(1,2)Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角時，tan eq f(sin ,cos )考點同角三角函數(shù)基本關系題點運用基本關系式求值答案B3已知coseq blc(rc)

18、(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，0eq f(,2)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)等于()Aeq f(2r(2),3) Beq f(r(2),3) f(r(2),3) f(2r(2),3)考點運用基本關系式求值題點運用基本關系式求值答案D解析0eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,4)0，sin 0，tan eq f(3,4).又tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4)，且sin2cos21，sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)sin )21，解得sin eq f(3,5).5已知是第三象限角，

19、且sin4cos4eq f(5,9)，則sin cos 的值為() f(r(2),3) Beq f(r(2),3) f(1,3) Deq f(1,3)考點運用基本關系式化簡、求值題點運用基本關系式化簡、求值答案A解析由sin4cos4eq f(5,9)，得(sin2cos2)22sin2cos2eq f(5,9)，sin2cos2eq f(2,9)，是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos eq f(r(2),3).6已知eq f(sin cos ,sin cos )2，則sin cos 的值是() f(3,4) Beq f(3,10) f(3,10) Deq f(3,10)考點運

20、用基本關系式化簡、求值題點運用基本關系式化簡、求值答案C解析由條件得sin cos 2sin 2cos ，即3cos sin ，tan 3，sin cos eq f(sin cos ,sin2cos2)eq f(tan ,1tan2)eq f(3,132)eq f(3,10).7若為第二象限角，化簡tan eq r(f(1,sin2)1)等于()A1 B2 C1 f(1,2)考點運用基本關系式化簡題點運用基本關系式化簡答案C解析tan eq r(f(1,sin2)1)tan eq r(f(1sin2,sin2)eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |).因為為第二象限

21、的角，所以cos 0，原式eq f(sin ,cos )eq f(cos ,sin )1.二、填空題8已知tan eq f(1,2)，則eq f(12sin cos ,sin2cos2) .考點運用基本關系式化簡、求值題點運用基本關系式化簡、求值答案eq f(1,3)解析eq f(12sin cos ,sin2cos2)eq f(sin cos 2,sin2cos2)eq f(sin cos ,sin cos )eq f(tan 1,tan 1)eq f(f(1,2)1,f(1,2)1)eq f(f(1,2),f(3,2)eq f(1,3).9已知為第二象限角，則cos eq r(1tan2)

22、sin eq r(1f(1,tan2) .考點運用基本關系式化簡題點運用基本關系式化簡答案0解析原式cos eq r(f(sin2cos2,cos2)sin eq r(f(sin2cos2,sin2)cos eq f(1,|cos |)sin eq f(1,|sin |).因為是第二象限角，所以sin 0，cos 0，即A為銳角將eq r(2)sin Aeq r(3cos A)兩邊平方得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos Aeq f(1,2)或cos A2(舍去)，Aeq f(,3).三、解答題12化簡：eq r(12sin f(,2)cos f(,2)eq r(12sin f(,2)cos f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(00，cos eq f(,2)sin eq f(,2)0，原式cos eq f(,2)sin eq f(,2)cos eq f(,2)sin eq f(,2)2cos eq f(,2).13已知tan22tan21，求證：sin22sin21.考點運用基本關系式化簡和證明