四邊形輔助線

1、添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.1利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例如圖1已知點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形分析因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅嗡杂钟墒堑闹悬c(diǎn)得出則四邊形是平行四邊形問題得證證明連結(jié)、，因?yàn)槭撬倪呅问瞧叫兴倪呅?，所?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以/,所以四邊形是平行四邊形，所以與互相平分說明：當(dāng)已知條件中涉及

2、到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例如圖，在中，、為上兩點(diǎn)，/交分別為，求證因?yàn)榭梢越?jīng)過點(diǎn)作交然后根據(jù)三角形全等證明分析:要證明證明過點(diǎn)作交于因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅嗡杂炙?后ZZ又所以所以所以說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題3利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例如圖3已知是的中線，交于，交于，且求證分析：要證明，一種方法是將和變換到同一個(gè)三角形中,利用等邊對(duì)等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和、相等的相段代換尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形

3、證明：延長(zhǎng)D到，使，連結(jié)，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以?所以Z，4因?yàn)?所以Z，2又Z=3所以ZZ4所以說明：本題通過利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法圖3圖二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例如圖，在中，Z=,Z的平分線交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，求證：四邊形分析：要證明四邊形是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形根據(jù)是Z的平分線，可通過連接，構(gòu)造等腰三角形，借

4、助三線合一證明垂直求平分證明：連結(jié)交于點(diǎn)，由，得是等腰三角形,因?yàn)槠椒諾，所以丄，且，因?yàn)?，所以Z=2又因?yàn)閆ZO所以可以看成由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成,所以，所以、互相垂直平分所以四邊形是菱形例如圖6四邊形是菱形，為邊上一個(gè)定點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證的最小值等于長(zhǎng)分析：要證明的最小值是的長(zhǎng)，可以通過連結(jié)菱形的對(duì)角線，借助菱形的對(duì)角線互相垂直平分得到，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題證明：連結(jié)、因?yàn)椤⑹橇庑蔚膶?duì)角線，所以垂直且平分，所以，所以2EF當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)處時(shí),上式等號(hào)成立，所以的最小值恰好等于的長(zhǎng)圖說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見的

5、幾種輔助線的方法有：(1)作菱形的高；()連結(jié)菱形的對(duì)角線三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：(1)計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；(2)證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例如圖7已知矩形內(nèi)一點(diǎn)，求的長(zhǎng)分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦?，可過分別作兩組對(duì)邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題解：過點(diǎn)分別作兩組對(duì)邊的平行線、交于，交于，交于點(diǎn)，交于因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，所?所以2圖7說明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角三角

6、形，利用勾股定理找到與、之間的關(guān)系，進(jìn)而求到的長(zhǎng)四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖8，過正方形、的頂點(diǎn)作，且，又1求證：Z2Z分析：由/、/，、，=，、可知四邊形、，、是，菱形，作丄于，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形是正方形，從12,可算出ZZ,0證明：連接交于，作丄交于在正方形中，丄，又/丄，所以丄，所以四邊形為正方形，所以1A,因?yàn)?所以Z，30因?yàn)椋?所以疋菱形，所以ZZO，因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以ZO，所以Z，所以Z12Z說

7、明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)通過連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形，進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例已知，如圖9在梯形中,=交于點(diǎn)求證：分析：要證明=可證明ZD,由于已知Z,所以可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題證明：過點(diǎn)、分別作丄，丄，垂足分別是、，則四邊形、丄，為，矩

8、形，因?yàn)椤?丄，Z11所以、丄,Z。，所以D，又，丄，,所以在中，Z=，180-,DBC又=所以ZC二752，所以ZZC說明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對(duì)等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識(shí)解決例如圖，在等腰梯形中，丄，丄于求的長(zhǎng)分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決解：過點(diǎn)，作，交,的延長(zhǎng)線于，則四邊形、,，為，平行四邊形，所以、,=，、，因?yàn)樗倪呅?為，等腰梯形，所以、,=因?yàn)閬A，所以11丄21因因?yàn)閬A所以丄因?yàn)榧吹拈L(zhǎng)為說明當(dāng)有對(duì)角線或垂直成梯形時(shí),常作梯形對(duì)角線的平行線,構(gòu)造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決六、和中位線有關(guān)輔助線的作法例如圖，在四邊形中，于交于點(diǎn)，、分別是、中點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、求證：分析：欲證，而、為同一