四邊形輔助線

1、添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形.1利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例如圖1已知點是平行四邊形的對角線的中點，四邊形是平行四邊形分析因為四邊形是平行四邊形所以又由是的中點得出則四邊形是平行四邊形問題得證證明連結、，因為是四邊形是平行四邊形，所以/，因為是的中點，所以/,所以四邊形是平行四邊形，所以與互相平分說明：當已知條件中涉及

2、到平行，且要求證的結論中和平行四邊形的性質有關，可試通過添加輔助線構造平行四邊形.2利用兩組對邊平行構造平行四邊形例如圖，在中，、為上兩點，/交分別為，求證因為可以經過點作交然后根據三角形全等證明分析:要證明證明過點作交于因為所以四邊形是平行四邊形所以又所以/后ZZ又所以所以所以說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題3利用對角線互相平分構造平行四邊形例如圖3已知是的中線，交于，交于，且求證分析：要證明，一種方法是將和變換到同一個三角形中,利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和、相等的相段代換尋找相等的線段的方法一般是構造平行四邊形

3、證明：延長D到，使，連結，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，,所以Z，4因為,所以Z，2又Z=3所以ZZ4所以說明：本題通過利用對角線互相平分構造平行四邊形，實際上是采用了平移法構造平行四邊形.當已知中點或中線應思考這種方法圖3圖二、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.例如圖，在中，Z=,Z的平分線交于點，是上一點，且，交于點，求證：四邊形分析：要證明四邊形是菱形，根據已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形根據是Z的平分線，可通過連接，構造等腰三角形，借

4、助三線合一證明垂直求平分證明：連結交于點，由，得是等腰三角形,因為平分Z，所以丄，且，因為，所以Z=2又因為ZZO所以可以看成由繞點旋轉而成,所以，所以、互相垂直平分所以四邊形是菱形例如圖6四邊形是菱形，為邊上一個定點，是上一個動點，求證的最小值等于長分析：要證明的最小值是的長，可以通過連結菱形的對角線，借助菱形的對角線互相垂直平分得到，然后結合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題證明：連結、因為、是菱形的對角線，所以垂直且平分，所以，所以2EF當且僅當運動到與的交點處時,上式等號成立，所以的最小值恰好等于的長圖說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的

5、幾種輔助線的方法有：(1)作菱形的高；()連結菱形的對角線三、與矩形有輔助線作法和矩形有關的題型一般有兩種：(1)計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題；(2)證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.例如圖7已知矩形內一點，求的長分析：要利用已知條件，因為矩形，可過分別作兩組對邊的平行線，構造直角三角形借助勾股定理解決問題解：過點分別作兩組對邊的平行線、交于，交于，交于點，交于因為四邊形是矩形，所以，所以1所以2圖7說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構造四個小矩形，然后根據對角線得到直角三角

6、形，利用勾股定理找到與、之間的關系，進而求到的長四、與正方形有關輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖8，過正方形、的頂點作，且，又1求證：Z2Z分析：由/、/，、，=，、可知四邊形、，、是，菱形，作丄于，根據正方形的性質可知四邊形是正方形，從12,可算出ZZ,0證明：連接交于，作丄交于在正方形中，丄，又/丄，所以丄，所以四邊形為正方形，所以1A,因為=所以Z，30因為，/所以疋菱形，所以ZZO，因為是正方形的對角線，所以ZO，所以Z，所以Z12Z說

7、明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質，又涉及到菱形的性質通過連接正方形的對角線構造正方形，進一步得到菱形，借助菱形的性質解決問題五、與梯形有關的輔助線的作法和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例已知，如圖9在梯形中,=交于點求證：分析：要證明=可證明ZD,由于已知Z,所以可通過作梯形高構造矩形，借助直角三角形的性質解決問題證明：過點、分別作丄，丄，垂足分別是、，則四邊形、丄，為，矩

8、形，因為、=丄，Z11所以、丄,Z。，所以D，又，丄，,所以在中，Z=，180-,DBC又=所以ZC二752，所以ZZC說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉化為矩形和直角三角形，進而根據直角三角形知識解決例如圖，在等腰梯形中，丄，丄于求的長分析：根據本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決解：過點，作，交,的延長線于，則四邊形、,，為，平行四邊形，所以、,=，、，因為四邊形,為，等腰梯形，所以、,=因為丄，所以11丄21因因為丄所以丄因為即的長為說明當有對角線或垂直成梯形時,常作梯形對角線的平行線,構造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決六、和中位線有關輔助線的作法例如圖，在四邊形中，于交于點，、分別是、中點，分別交、于點、求證：分析：欲證，而、為同一