圖像去噪理論

1、圖像去噪理論二，圖像去噪理論基礎(chǔ)2.1圖像噪聲概念噪聲可以理解為“妨礙人們感覺(jué)器官對(duì)所接收的信源信息理解的因素”。例如，一幅黑白圖片，其平面亮度分布假定為f（x,y）,那么對(duì)其接收起干擾作用的亮度分布R（x,y）,即可稱為圖像噪聲。但是，噪聲在理論上可以定義為“不可預(yù)測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)認(rèn)識(shí)的隨機(jī)誤差”。因此將圖像噪聲看成是多維隨機(jī)過(guò)程是合適的,因而描述噪聲的方法完全可以借用隨機(jī)過(guò)程的描述,即用其概率分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)。但在很多情況下,這樣的描述方法是很復(fù)雜的,甚至是不可能的。而實(shí)際應(yīng)用往往也不必要。通常是用其數(shù)字特征,即均值方差,相關(guān)函數(shù)等。因?yàn)檫@些數(shù)字特征都可以從某些方面反映出

2、噪聲的特征。常見(jiàn)的圖像噪聲在我們的圖像中常見(jiàn)的噪聲主要有以下幾種：（1）,加性噪聲加性嗓聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的,如圖像在傳輸過(guò)程中引進(jìn)的“信道噪聲”電視攝像機(jī)掃描圖像的噪聲的。這類帶有噪聲的圖像g可看成為理想無(wú)噪聲圖像f與噪聲n之和，即：（2）,乘性噪聲乘性嗓聲和圖像信號(hào)是相關(guān)的,往往隨圖像信號(hào)的變化而變化,如飛點(diǎn)掃描圖像中的嗓聲、電視掃描光柵、膠片顆粒造成等,這類噪聲和圖像的關(guān)系是：（3）,量化噪聲量化嗓聲是數(shù)字圖像的主要噪聲源,其大小顯示出數(shù)字圖像和原始圖像的差異,減少這種嗓聲的最好辦法就是采用按灰度級(jí)概率密度函數(shù)選擇化級(jí)的最優(yōu)化措施。（4）,“椒鹽”噪聲此類嗓聲如圖像切割引起的即黑圖

3、像上的白點(diǎn),白圖像上的黑點(diǎn)噪聲,在變換域引入的誤差,使圖像反變換后造成的變換噪聲等。圖像噪聲模型實(shí)際獲得的圖像含有的噪聲,根據(jù)不同分類可將噪聲進(jìn)行不同的分類。從噪聲的概率分情況來(lái)看,可分為高斯噪聲、瑞利噪聲、伽馬噪聲、指數(shù)噪聲和均勻噪聲。它們對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)（PDF）如下：（1）,高斯噪聲在空間域和頻域中,由于高斯噪聲在數(shù)學(xué)上的易處理性,這種噪聲（也稱為正態(tài)噪聲）模型經(jīng)常被用在實(shí)踐中。高斯隨機(jī)變量Z的PDF由下式給出：其中，z表示灰度值，卩表示z的平均值或期望值，a表示z的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)z服從上述分布時(shí)，其值有95%落在（片2g）,+2g）范圍內(nèi)。（2）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）（雙極）脈沖噪聲的PD

4、F可由下式給出：如果ba,則灰度值b在圖像中將顯示為一個(gè)亮點(diǎn)，反之則a的值將顯示為一個(gè)暗點(diǎn)。若Pa或Pb為零，則脈沖稱為單極脈沖。如果Pa和Pb均不可能為零，尤其是它們近似相等時(shí)，則脈沖噪聲值將類似于隨機(jī)分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒。由于這個(gè)原因，雙極脈沖噪聲也稱為椒鹽噪聲。（3）瑞利噪聲其均值和方差分別為：（4）伽馬噪聲其密度的均值和方差為：（5）指數(shù)分布噪聲其中a0,概率密度函數(shù)的期望值和方差是：（6）均勻噪聲其均值和方差分別為：2.4圖像去噪算法分類（1），空間域?yàn)V波空域?yàn)V波是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。常見(jiàn)的空間域圖像去噪算法有鄰域平均法、中值濾波、低通濾波等。

5、（2），變換域?yàn)V波圖像變換域去噪方法是對(duì)圖像進(jìn)行某種變換，將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域，再對(duì)變換域中的變換系數(shù)進(jìn)行處理，再進(jìn)行反變換將圖像從變換域轉(zhuǎn)換到空間域來(lái)達(dá)到去除圖像嗓聲的目的。將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多，如傅立葉變換、沃爾什-哈達(dá)瑪變換、余弦變換、K-L變換以及小波變換等。而傅立葉變換和小波變換則是常見(jiàn)的用于圖像去噪的變換方法。（3），偏微分方程偏微分方程是近年來(lái)興起的一種圖像處理方法，主要針對(duì)低層圖像處理并取得了很好的效果。偏微分方程具有各向異性的特點(diǎn)，應(yīng)用在圖像去噪中，可以在去除噪聲的同時(shí)，很好的保持邊緣。偏微分方程的應(yīng)用主要可以分為兩類:一種是基本的迭代格式，通過(guò)隨時(shí)

6、間變化的更新，使得圖像向所要得到的效果逐漸逼近，這種算法的代表為Perona和Malik的方程27，以及對(duì)其改進(jìn)后的后續(xù)工作。該方法在確定擴(kuò)散系數(shù)時(shí)有很大的選擇空間，在前向擴(kuò)散的同時(shí)具有后向擴(kuò)散的功能，所以，具有平滑圖像和將邊緣尖銳化的能力。偏微分方程在低噪聲密度的圖像處理中取得了較好的效果，但是在處理高噪聲密度圖像時(shí)去噪效果不好，而且處理時(shí)間明顯高出許多。（4），變分法另一種利用數(shù)學(xué)進(jìn)行圖像去噪方法是基于變分法的思想，確定圖像的能量函數(shù)，通過(guò)對(duì)能量函數(shù)的最小化工作，使得圖像達(dá)到平滑狀態(tài)，現(xiàn)在得到廣泛應(yīng)用的全變分TV模型就是這一類。這類方法的關(guān)鍵是找到合適的能量方程，保證演化的穩(wěn)定性，獲得理想

7、的結(jié)果。（5），形態(tài)學(xué)噪聲濾除器將開與閉結(jié)合可用來(lái)濾除噪聲，首先對(duì)有噪聲圖像進(jìn)行開運(yùn)算，可選擇結(jié)構(gòu)要素矩陣比噪聲尺寸大，因而開運(yùn)算的結(jié)果是將背景噪聲去除；再對(duì)前一步得到的圖像進(jìn)行閉運(yùn)算，將圖像上的噪聲去掉。據(jù)此可知，此方法適用的圖像類型是圖像中的對(duì)象尺寸都比較大，且沒(méi)有微小細(xì)節(jié)，對(duì)這類圖像除噪效果會(huì)較好。三，幾種圖像去噪算法介紹3.1基于空間域的中值濾波中值濾波器是一種常用的非線性平滑濾波器，基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字序列中一點(diǎn)的值用該點(diǎn)鄰域內(nèi)各點(diǎn)的中值代換。設(shè)f（x,y）表示數(shù)字圖像像素點(diǎn)（x,y）的灰度值，濾波窗口為A的中值濾波器可以定義為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)xl,x2,.xn的中值就是

8、按數(shù)值大小順序處于中間的數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),我們定義兩個(gè)中間數(shù)平均值為中值。3.2基于小波域的小波閾值去噪小波萎縮法是目前研究最為廣泛的方法，小波萎縮法又分成如下兩類：第1類是閾值萎縮,由于閾值萎縮主要基于如下事實(shí),即比較大的小波系數(shù)一般都是以實(shí)際信號(hào)為主,而比較小的系數(shù)則很大程度是噪聲。因此可通過(guò)設(shè)定合適的閾值,首先將小于閩值的系數(shù)置零,而保留大于閉值的小波系數(shù)；然后經(jīng)過(guò)閾值函數(shù)映射得到估計(jì)系數(shù)；最后對(duì)估計(jì)系數(shù)進(jìn)行逆變換,就可以實(shí)現(xiàn)去噪和重建；而另外一種萎縮方法則不同,它是通過(guò)判斷系數(shù)被噪聲污染的程度,并為這種程度引入各種度量方法（例如概率和隸屬度等）,進(jìn)而確定萎縮的比例,所以這種萎縮方法又被

9、稱為比例萎縮。閾值萎縮方法中的兩個(gè)基本要素是閾值和閾值函數(shù)。閾值的選擇：閾值的確定在閾值萎縮中是最關(guān)鍵的。目前使用的閾值可以分成全局閾值和局部適應(yīng)閾值兩類。其中,全局閾值對(duì)各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一的；而局部適應(yīng)閾值是根據(jù)當(dāng)前系數(shù)周圍的局部情況來(lái)確定閾值。目前提出的全局閾值主要有以下幾種：（1）,Donoho和Johastone統(tǒng)一閾值（簡(jiǎn)稱DJ閾值）：其中o為噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差，N為信號(hào)的尺寸或長(zhǎng)度。（2）,基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值：（3）,BayesShrink閾值和MapShrink閾值。在小波系數(shù)服從廣義高斯分布的假設(shè)下,Chang等人得出了閾值：其中，（R為噪聲

10、標(biāo)準(zhǔn)方差，RB為廣義高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)方差值）。（4）,最小最大化閾值：這是Donoho和JohnStone在最小最大化意義下得出的閾值與上邊的閾值不同，它是依賴于信號(hào)的，而且沒(méi)有顯式表達(dá)式，在求取時(shí)需要預(yù)先知道原信號(hào)。（5），理想閾值：理想閾值是在均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)閾值，同最大最小化閾值一樣，也沒(méi)有顯式的表達(dá)式，并且這個(gè)閾值的計(jì)算通常也需先知道信號(hào)本身。閾值函數(shù)：Bruce和Gao。提出了一種半軟閾值函數(shù)：該方法通過(guò)選擇合適的閾值T1和12,可以在軟閾值方法和硬閾值方法之間達(dá)到很好的折中。另外，zhang等人為了對(duì)SIJRE誤差準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行基于梯度的優(yōu)化搜索，提出了另外一種閾值函數(shù)，這種閾值函數(shù)

11、同上邊閉值函數(shù)所不同的是它擁有更高的導(dǎo)數(shù)階，故其重建圖像更為平滑，但該文作者將去噪效果的提高歸功于搜索方法，其實(shí)，Donoh。和Johnstone提出的在當(dāng)前小波系數(shù)集合中，搜索最優(yōu)閾值的方法，對(duì)于當(dāng)前已經(jīng)是優(yōu)的了，由此可見(jiàn)，該去噪效果的提高則應(yīng)歸功于閾值函數(shù)的選取。3.3基于PDE的圖像去噪目前，基于PDE的圖像處理方法的研究，也是圖像去噪的研究熱點(diǎn)方向，并且己經(jīng)取得了一定的理論和實(shí)際應(yīng)用方面的成它的去噪過(guò)程為通過(guò)建立噪聲圖像為某非線性PDE的初始條件，然后求解這個(gè)PDE，得到在不同時(shí)刻的解，即為濾波結(jié)果。Perona和Malik提出了基于PDE的非線性擴(kuò)散濾波方法（以下簡(jiǎn)稱P-M）,各向異

12、性的去噪模型根據(jù)圖像的梯度值決定擴(kuò)散的速度，使之能兼顧噪聲消除和邊緣保持兩方面的要求。以P-M模型為代表的這類方法己經(jīng)在圖像增強(qiáng)、圖像分割和邊緣檢測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，取得了很好的效果。P-M是一種非線性的各向異性方法，目的是為了克服線性濾波方法存在的模糊邊緣和邊緣位置移動(dòng)的缺點(diǎn)。基本思想是:圖像特征強(qiáng)的地方減少擴(kuò)散系數(shù)，圖像特征弱的地方增強(qiáng)擴(kuò)散系數(shù)。方程如下：其中u（x,y，t）是隨時(shí)間變化的圖像，是梯度的模，擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)用于控制擴(kuò)散速度。理想的擴(kuò)散系數(shù)應(yīng)當(dāng)使各向異性擴(kuò)散在灰度變化平緩的區(qū)域快速進(jìn)行，而在灰度變化急劇的位置（即圖像特征處）低速擴(kuò)散乃至不擴(kuò)散函數(shù)，所以，應(yīng)具有如下性質(zhì)：基于

13、以上的兩個(gè)性質(zhì)，P-M提出了如下擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)：其中k為邊緣閾值，用來(lái)判斷邊緣區(qū)域和平坦區(qū)域。引入通量函數(shù)，主要是為了闡明閾值k在擴(kuò)散操作中的作用，其函數(shù)定義如下：盡管P-M方程在抑制噪聲與保留圖像重要特征方面取得了一定的效果，但卻表現(xiàn)出病態(tài)且不穩(wěn)定。Catt等人對(duì)該方程進(jìn)行了改進(jìn)，他們先用高斯核同圖像作卷積，然后取其梯度模作圖像邊緣信息的估計(jì)。文獻(xiàn)提出用優(yōu)化的對(duì)稱指數(shù)濾波器對(duì)圖像作光滑，然后取其梯度模作圖像邊緣信息的估計(jì)。這兩種估計(jì)方法的基本思想是降低噪聲的干擾，更加真實(shí)地提取圖像的邊緣特征信息，以便利用邊緣信息更好地控制P-M方程的擴(kuò)散行為。3.4全變分（TV）圖像去噪TV方法是由Rudin

14、OsherandFatemi提出，它基于變分法的思想，確定圖像的能量函數(shù)，通過(guò)對(duì)圖像能量函數(shù)最小化達(dá)到平滑去噪的目的。是現(xiàn)在比較流行的圖像復(fù)原方法。圖像的能量函數(shù)方程為：在文獻(xiàn)2中給出的全變分去噪能量泛函為：為了使得能量函數(shù)最小，其歐拉-拉格朗日方程為：其中，梯度算子：正則項(xiàng)：用來(lái)減少平坦區(qū)域的退化。將整體左邊轉(zhuǎn)換成圖像中任意像素點(diǎn)中的局部坐標(biāo)系后，方程可以分解成邊緣方向和邊緣正交的兩個(gè)方向，分解后個(gè)方向的系數(shù)控制著該方向的擴(kuò)散強(qiáng)度。擴(kuò)散方向?qū)嶋H上是一個(gè)分線性的各向異性的擴(kuò)散方程，其擴(kuò)散算子僅沿圖像梯度的正交方向擴(kuò)散，擴(kuò)散系數(shù)為1/1卩|,而朝著梯度方向無(wú)擴(kuò)散。這樣可以通過(guò)圖像的梯度來(lái)判斷邊緣位置，使得邊緣擴(kuò)散系數(shù)最小，從而降低對(duì)邊緣的模糊程