時間序列分析簡介與模型

1、第二篇 預(yù)測方法與模型預(yù)測是研究客觀事物未來發(fā)展方向與趨勢的一門科學(xué)。統(tǒng)計預(yù)測是以統(tǒng)計調(diào)查資料為依據(jù)，以經(jīng)濟、社會、科學(xué)技術(shù)理論為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)模型為主要手段，對客觀事物未來發(fā)展所作的定量推斷和估計。根據(jù)社會、經(jīng)濟、科技的預(yù)測結(jié)論，人們可以調(diào)整發(fā)展戰(zhàn)略，制定管理措施，平衡市場供求，進行各種各樣的決策。預(yù)測也是制定政策，編制規(guī)劃、計劃，具體組織生產(chǎn)經(jīng)營活動的科學(xué)基礎(chǔ)。20世紀三四十年代以來，隨著人類社會生產(chǎn)力水平的不斷提高和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，特別是近年來以計算機為主的信息技術(shù)的飛速發(fā)展，更進一步推動了預(yù)測技術(shù)在國民經(jīng)濟、社會發(fā)展和科學(xué)技術(shù)各個領(lǐng)域的應(yīng)用。預(yù)測包含定性預(yù)測法、因果關(guān)系預(yù)測法和時間序

2、列預(yù)測法三類。本篇對定性預(yù)測法不加以介紹，對后兩類方法選擇以下幾種介紹方法的原理、模型的建立和實際應(yīng)用，分別為：時間序列分析、微分方程模型、灰色預(yù)測模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。第五章 時間序列分析 在預(yù)測實踐中，預(yù)測者們發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了許多行之有效的預(yù)測理論和方法，但以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的預(yù)測方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介紹其中的時間序列分析預(yù)測法。此方法是根據(jù)預(yù)測對象過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)找到其隨時間變化的規(guī)律，建立時間序列模型，以推斷未來數(shù)值的預(yù)測方法。時間序列分析在微觀經(jīng)濟計量模型、宏觀經(jīng)濟計量模型以及經(jīng)濟控制論中有廣泛的應(yīng)用。第一節(jié) 時間序列簡介所謂時間序列是指將同一現(xiàn)象在不同時間的觀測值，按

3、時間先后順序排列所形成的數(shù)列。時間序列一般用來表示，可以簡記為。它的時間單位可以是分鐘、時、日、周、旬、月、季、年等。一、時間序列預(yù)測法時間序列預(yù)測法就是通過編制和分析時間序列，根據(jù)時間序列所反應(yīng)出來的發(fā)展過程、方向和趨勢，進行類推或延伸，借以預(yù)測下一段時間或以后若干年內(nèi)可能達到的水平。其內(nèi)容包括:收集與整理某種社會現(xiàn)象的歷史資料；將這些資料進行檢查鑒別，排成數(shù)列；分析時間序列，從中尋找該社會現(xiàn)象隨時間變化而變化的規(guī)律，得出一定的模型，以此模型去預(yù)測該社會現(xiàn)象將來的情況。二、時間序列數(shù)據(jù)的特點通常，時間序列經(jīng)過合理的函數(shù)變換后都可以看作是由三個部分疊加而成，這三個部分是趨勢項部分、周期項部分和

4、隨機項部分。1. 趨勢性許多序列的一個最主要的特征就是存在趨勢。這種趨勢可能是向下的也可能是向上的，也許比較陡，也許比較平緩，或者是指數(shù)增長，或者近似線性。總之，時間序列的趨勢性是依據(jù)時間序列進行預(yù)測的本質(zhì)所在。2. 季節(jié)性/周期性當數(shù)據(jù)按照月或季觀測時，通常的情況是這樣的:時間序列會呈現(xiàn)出明顯的季節(jié)性。對季節(jié)性也不存在一個非常精確的定義。通常，當某個季節(jié)的觀測值具有與其它季節(jié)的觀測值明顯不同的特征時，就稱之為季節(jié)性。3. 異常觀測值異常觀測值指那些嚴重偏離趨勢范圍的特殊點。異常觀測值的出現(xiàn)往往是由于某些不可抗拒的外部條件的影響。如年自然災(zāi)害和年左右“文化大革命”對我國經(jīng)濟的影響，造成經(jīng)濟指標

5、陡然下降現(xiàn)象；年，我國銀行緊縮政策造成的房地產(chǎn)業(yè)泡沫破滅，而使得房地產(chǎn)業(yè)的經(jīng)濟數(shù)據(jù)發(fā)生突然變化的例子等等。4. 條件異方差性所謂條件異方差性，表現(xiàn)出來就是異常數(shù)據(jù)觀測值成群地出現(xiàn)，故也稱為“波動積聚性”。由于方差是風(fēng)險的測度，因此波動存在的積聚性的預(yù)測對于評估投資決策是很有用的，對于期權(quán)和其它金融衍生產(chǎn)品的買賣決策也是有益的。5. 非線性對非線性的最好定義就是“線性以外的一切”。非線性常常表現(xiàn)為 “機制轉(zhuǎn)換”(regime witches)或者“狀態(tài)依賴”(State pendence)。其中狀態(tài)依賴意味著時間序列的特征依賴于其現(xiàn)時的狀態(tài);不同的時刻，其特征不一樣。當時間序列的特征在所有的離散

6、狀態(tài)都不一樣時，就成為機制轉(zhuǎn)換特性。三、時間序列的分類1. 按研究的對象的多少可分為單變量時間序列和多變量時間序列。如果所研究的對象是一個變量，如某個國家的國內(nèi)生產(chǎn)總值，即為單變量時間序列。果所研究的對象是多個變量，如按年、月順序排列的氣溫、氣壓、雨量數(shù)據(jù)，為多變量時間序列。多變量時間序列不僅描述了各個變量的變化規(guī)律，而且還表示了各變量間相互依存關(guān)系的動態(tài)規(guī)律性。2. 按時間的連續(xù)性可將時間序列分為離散時間序列和連續(xù)時間序列。如果某一序列中的每一個序列值所對應(yīng)的時間參數(shù)為間斷點，則該序列就是一個離散時間序列。如果某一序列中的每個序列值所對應(yīng)的時間參數(shù)為連續(xù)函數(shù)，則該序列就是一個連續(xù)時間序列。3

7、. 按序列的統(tǒng)計特性可分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列兩類。如果某個時間序列的概率分布與時間無關(guān)，則稱該序列為嚴格的（狹義的）平穩(wěn)時間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對任意時刻滿足:（1）均值為常數(shù)（2）協(xié)方差為時間間隔的函數(shù)則稱該序列為寬平穩(wěn)時間序列，也叫廣義平穩(wěn)時間序列。反之，不具有平穩(wěn)性，即序列均值不為常數(shù)或協(xié)方差與時間有關(guān)的序列稱為非平穩(wěn)序列。4. 按序列的分布規(guī)律可分為高斯型時間序列和非高斯時間序列。服從高斯分布(正態(tài)分布)的時間序列叫做高斯時間序列，否則叫做非高斯型時間序列。對于一些非高斯序列，往往可以通過適當?shù)淖儞Q，可近似地看成是高斯型時間序列。四、常用的時間序列分析法時間序

8、列分析預(yù)測分為確定性時序分析預(yù)測方法和隨機性時序分析預(yù)測方法兩大類。確定性時序分析若一個時間序列的未來值被某一個數(shù)學(xué)函數(shù)嚴格確定，例如：這種形式，則稱該時間序列為確定性的。確定性時間序列分析模型主要包括：移動平均模型、二次滑動平均模型、指數(shù)平滑模型、二次指數(shù)平滑模型和三次指數(shù)平滑模型。2. 隨機時間序列分析若一個時間序列的未來值只能用概率分布加以描述，則稱之為非確定性的時間序列或稱隨機時間序列。隨機時間序列分析模型分為三種類型：自回歸模型（Auto-regressive Model）、滑動平均模型（Moving Average Model）和自回歸滑動平均模型（Auto-regressive

9、Moving Average Model）。隨機時序分析以隨機過程理論作為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，通過對時序數(shù)據(jù)進行分析，完成對時序系統(tǒng)的預(yù)測、建模和控制。五、針對時間序列數(shù)據(jù)的建模步驟時間序列模型最主要的特征就是承認觀測值之間的依賴關(guān)系和相關(guān)性，它是一種動態(tài)模型，能夠應(yīng)用于動態(tài)預(yù)測。時間序列預(yù)測方法的一般步驟為：1. 確定預(yù)測目標明確預(yù)測的目標是進行有效預(yù)測的前提。預(yù)測的目標不同，所需的資料和采用的預(yù)測方法也有所不同。有了明確具體的預(yù)測目標，才能有的放矢地收集資料。預(yù)測目標的確定應(yīng)盡量明細化、數(shù)量化，以利于預(yù)測工作的順利開展。2. 收集資料并進行數(shù)據(jù)的預(yù)處理準確調(diào)查的統(tǒng)計資料是統(tǒng)計預(yù)測的基礎(chǔ)。預(yù)測之前，

10、必須掌握大量的、全面的、準確有用的數(shù)據(jù)和情況。為保證統(tǒng)計資料的準確性，必須對資料進行審核、調(diào)整和推算。比如缺損值問題，它破壞了系統(tǒng)運行的連續(xù)性，特別是對于時間序列來說，缺損值違背了時間序列“順序的重要性”原則。嚴格來說，不能依據(jù)一個“殘缺”的序列進行分析，即使強制進行了分析，其結(jié)果也是無意義的。因此必須對缺損值進行預(yù)處理：如缺失較少，且缺失數(shù)據(jù)前后無大的波動，則可用平滑法、發(fā)展速度推算法、比例推算法、插值估算法等方式填充數(shù)據(jù)。這些方式既完善了數(shù)據(jù)，也不會使數(shù)據(jù)信息喪失太多。對于數(shù)據(jù)缺失較多的情況，如時間序列中連續(xù)一段時間缺失數(shù)據(jù)，就不能簡單地用平滑的方式填充，因為這樣可能喪失很重要的信息，這種

11、情況下建模毫無意義，只能通過其他途徑重新收集資料。此外，還要對序列中每一個數(shù)據(jù)的指標口徑、計算范圍、計算方法、計量單位等進行認真檢查，若存在不一致，則要運用科學(xué)的方法進行調(diào)整，使整個序列中的每一個數(shù)據(jù)除時間屬性不同之外，其所代表的實際意義完全一致。3. 對資料進行初步分析對經(jīng)審核的數(shù)據(jù)應(yīng)進行初步分析，畫出統(tǒng)計圖形，以觀察統(tǒng)計數(shù)據(jù)的性質(zhì)和分布，以此作為選擇適當預(yù)測模型的依據(jù)。（1）觀察統(tǒng)計圖形是否具有大的波動，如果存在，可能是數(shù)據(jù)采樣時的誤差，也可能是某些經(jīng)濟、政治等偶然性因素的沖擊。特別是在國際期貨、現(xiàn)貨市場上，這種偶然性更是經(jīng)常發(fā)生，使得期貨市場呈現(xiàn)較大波動，現(xiàn)貨市場也隨之波動。這種沖擊或誤

12、差造成的結(jié)果可能是結(jié)構(gòu)性突變，在統(tǒng)計圖形上就表現(xiàn)為突然的持續(xù)上漲或下降。不論是什么原因引起的，如果建模時忽略結(jié)構(gòu)性突變，可能會得到虛假的結(jié)論，即偽結(jié)論。（2）觀察其統(tǒng)計圖形的大致走勢，是否具有趨勢性、季節(jié)性、周期性或隨機性的特征，以初步判斷這個序列適用哪種時序預(yù)測模型。4. 選擇預(yù)測方法一方面，通過對資料數(shù)據(jù)的整理、分析，清楚地了解到預(yù)測對象的變化情況；另一方面通過對各種時序預(yù)測方法在合適性、費用和精確度方面的綜合衡量，我們就可以選擇出適當?shù)念A(yù)測方法。5. 預(yù)測和結(jié)果評價進行預(yù)測時，不能簡單地依靠某一理論或套用某一模型加以預(yù)測，要綜合考慮各方面的情況，因為實際情況錯綜復(fù)雜，影響因素眾多。借助于

13、經(jīng)驗判斷、邏輯推理、統(tǒng)計分析等方面的預(yù)測判斷，能夠使預(yù)測的結(jié)果更為合理，從而得出最后的預(yù)測結(jié)果。對預(yù)測結(jié)果的評價主要是通過對預(yù)測誤差的分析進行的。分析預(yù)測的誤差時要考慮以下兩種情況：一是理論預(yù)測誤差，即在選用預(yù)測方案之前，利用數(shù)學(xué)統(tǒng)計模型所估計的理論預(yù)測值，與同期的實際觀察值相比而產(chǎn)生的誤差，然后分析、改進，選擇較為合適的數(shù)學(xué)統(tǒng)計模型。二是實際預(yù)測誤差，即在選用預(yù)測方案之后，追蹤、檢查預(yù)測方案的結(jié)果是否合乎實際的情況，分析預(yù)測誤差的大小以及所造成的原因，總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，進一步改進今后的預(yù)測工作。對預(yù)測結(jié)果的評價，主要從統(tǒng)計檢驗和直觀判斷兩個方面著手來判斷預(yù)測結(jié)果的可信度、是否跟實際情況相吻合等，

14、然后根據(jù)對預(yù)測結(jié)果的分析與評價，確定最終的預(yù)測值。六、時間序列的優(yōu)、缺點1. 優(yōu)點（1）時間序列預(yù)測法只需要一個變量在不同時刻的觀測值即可建模，因而得到廣泛應(yīng)用。（2）時間序列預(yù)測法沒有過于嚴格的假定條件。（3）應(yīng)用隨機時間序列分析時，無需一開始就假設(shè)一個固定的模式，而是先假設(shè)一個試用模式，然后根據(jù)誤差等各種信息來判斷初步假設(shè)的模式是否恰當。如果恰當，則進行預(yù)測；如不恰當，則修正模型。反復(fù)這個過程，可在基本模式方面獲得一個最優(yōu)預(yù)測模型，使誤差為最小。所以隨機時間序列預(yù)測方法特別適合于處理復(fù)雜的時間序列，以及存在多種模式的預(yù)測情況，它能利用一套明確規(guī)定的準則來處理這些復(fù)雜的模式。（4）時間序列是

15、一種精確度很高的短期預(yù)測方法，而且既可以做點預(yù)測，也可以做區(qū)間預(yù)測。2. 缺點事實上，大多經(jīng)濟現(xiàn)象的變化發(fā)展是千變?nèi)f化的，在一個較長時間內(nèi)外界影響因素變化的可能性較大，而時間序列分析預(yù)測法是根據(jù)預(yù)測對象過去和現(xiàn)在的發(fā)展變化規(guī)律和趨勢來預(yù)測未來的，所以它只能在較短時間內(nèi)做出有效預(yù)測。預(yù)測的超前時間一般不應(yīng)超過時間序列歷史區(qū)間的十五分之一。也就是說，假如時間序列采集的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)的時間區(qū)間是五年，那么最多只能在此后三到四個月內(nèi)做出較為有效的預(yù)測，并且預(yù)測時間越長，預(yù)測誤差越大。第二節(jié) 移動平均模型移動平均法就是根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，使用最近時期數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用上一個或幾個時期的數(shù)據(jù)產(chǎn)生下一

16、期的預(yù)測值。移動平均法是一種常用的確定性時間序列預(yù)測法，本節(jié)主要介紹一次移動平均預(yù)測法和加權(quán)一次移動平均預(yù)測法。一、簡單一次移動平均預(yù)測法已知序列是預(yù)測前的實際數(shù)據(jù)組成的時間序列。如果過早的數(shù)據(jù)已失去意義，不能反映當前數(shù)據(jù)的規(guī)律，那么可以用一次移動平均法來作預(yù)測。即保留最近一個時間區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)，用其算術(shù)平均數(shù)作為預(yù)測值。設(shè)時間序列為，取移動平均的項數(shù)為，則第期預(yù)測值的計算公式為： 其中：表示第期實際值； 表示第期預(yù)測值（）。預(yù)測標準誤差為： 上式中，為時間序列所含原始數(shù)據(jù)的個數(shù)。當預(yù)測目標的基本趨勢是在某一水平上上下波動時，可用一次移動平均法建立預(yù)測模型，即用最近期序列值的平均值作為未來各期的

17、預(yù)測結(jié)果。項數(shù)的數(shù)值，要根據(jù)時間序列的特點而定，不宜過大或過小。過大會降低移動平均數(shù)的敏感性，影響預(yù)測的準確性；過小，移動平均數(shù)易受隨機變動的影響，難以反映實際趨勢。一般取的大小能包含季節(jié)變動和周期變動的時期為好，這樣可消除它們的影響。對于沒有季節(jié)變動和周期變動的時間序列，項數(shù)的取值要視歷史數(shù)據(jù)的趨勢類型而定。一般來說，如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈水平型的發(fā)展趨勢，則項數(shù)的數(shù)值可取較大的數(shù)；如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈上升（或下降）的發(fā)展趨勢，則項數(shù)的數(shù)值應(yīng)取較小的數(shù)，這樣能夠取得較好的預(yù)測結(jié)果。例 表第二行為某種商品一月到十二月的實際銷售量。假定未來的銷售情況與近期銷售情況有關(guān)，而與較遠時間的銷售情況聯(lián)系不

18、大，試用一次移動平均法預(yù)測下一年一月份的銷售量。 表 某種商品的實際銷售量 單位：件月 份123456789101112實 際銷 售150017251510172013301535174018101760193020001858三個月平滑值157816521520152815351695177018331897五個月平滑值1557156415671627163517551848解 用三個月移動平均預(yù)測下一年一月份的銷售量為用五個月移動平均值預(yù)測下一年一月份的銷售量為由于五個月移動平均值對十二月份的銷售量擬合較好（參照表最后一列），可以認為預(yù)測值比準確。二、加權(quán)一次移動平均預(yù)測法簡單一次移動平均

19、預(yù)測法，是把參與平均的數(shù)據(jù)在預(yù)測中所起的作用同等看待，但實際中參與平均的各期數(shù)據(jù)所起的作用往往是不同的。為此，需要采用加權(quán)移動平均法進行預(yù)測，加權(quán)一次移動平均預(yù)測法是其中比較簡單的一種。計算公式如下： 其中：表示第期的實際值； 表示第期預(yù)測值； 表示權(quán)數(shù)； 表示移動平均的項數(shù)。預(yù)測標準誤差的計算公式與簡單一次移動平均預(yù)測法的相同。例2 某企業(yè)月份的銷售收入時間序列如表中的第2列所示。取，并取權(quán)數(shù)，試用加權(quán)一次移動平均預(yù)測法預(yù)測12月份的銷售收入。解其余依次類推，則 其預(yù)測標準誤差為故第12月份銷售收入的預(yù)測值為元。其它月份的預(yù)測值見表。 表 單位：萬元月份銷售收入三個月加權(quán)移動平均預(yù)測值153

20、3.82574.63606.94649.8584.065.84 329.65705.1623.082.16 740.46772.0670.3101.710 342.97816.4729.387.17 586.48892.7783.1109.612 012.29963.9847.2116.713 618.9101 015.1915.699.59 900.3111 102.7977.6125.115 650.0121 050.480 180.7移動平均法適合于短期預(yù)測。這種方法的優(yōu)點就在于簡單方便，但是對于波動較大的時序數(shù)據(jù)，預(yù)測的精度不高，誤差很大。一般來說歷史數(shù)據(jù)對未來值的影響是隨著時間間隔的

21、增長而遞減的，或者數(shù)據(jù)的變化呈現(xiàn)某種周期性或季節(jié)性等特性，所以移動平均法權(quán)重的賦予方式就會使計算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。第三節(jié) 指數(shù)平滑模型與移動平均預(yù)測法不同，指數(shù)平滑法采用了更切合實際的方法，即對各期觀測值依時間順序進行加權(quán)平均作為預(yù)測值。本節(jié)主要介紹一次指數(shù)平滑法和二次指數(shù)平滑法。一、一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法是利用前一時刻的數(shù)據(jù)進行預(yù)測的方法。它適用于變化比較平穩(wěn)，增長或下降趨勢不明顯的時間序列數(shù)據(jù)的下一期的預(yù)測。其模型是 其中：表示第期實際值； 表示第期預(yù)測值； 稱為平滑系數(shù)，。 式說明只需前一時期的觀測值及預(yù)測值即可預(yù)測本期值。每期預(yù)測值雖然只用了上期的觀測值和預(yù)測值，但實際上包含了

22、以前各個時刻數(shù)據(jù)的影響。從而，指數(shù)平均法可看成是移動平均法的推廣。平滑系數(shù)的取值對預(yù)測值的影響是很大的，但目前還沒有一個很好的統(tǒng)一選值方法，一般是根據(jù)經(jīng)驗來確定的。當時間序列數(shù)據(jù)是水平型的發(fā)展趨勢類型，可取較小的值，一般在之間；當時間序列數(shù)據(jù)是上升（或下降）的發(fā)展趨勢類型，應(yīng)取較大的值，一般在之間。在進行實際預(yù)測時，可選不同的值進行比較，從中選擇一個比較合適的。在實際預(yù)測時，還要確定初始值。一般來說，如果只有一期數(shù)據(jù)或少量數(shù)據(jù)，沒有其它任何信息，可以取序列的第一個數(shù)據(jù)為初值；如果數(shù)據(jù)較多，可以取前幾期的數(shù)據(jù)或前一半的數(shù)據(jù)的平均值作為初值；也可以用專家估計方法或其它預(yù)測方法預(yù)測出的第一期數(shù)據(jù)作為

23、初值；如對初值的選取把握不大，開始時可選取較大的，以減輕預(yù)測值對初值的依賴，過一段時間后再把值降下來。例1 某倉庫年月至月鉆頭的實際使用量如表所示，要求對年月鉆頭需求量進行預(yù)測。 表 鉆頭實際用量表 單位：個月份123456789101112使用量273533373538484143493740解 假設(shè)取上年度（年）鉆頭使用的實際平均值作為年月份的初始預(yù)測值，即 ；取不同平滑系數(shù)，每個月的預(yù)測數(shù)據(jù)如表所示。表 鉆頭實際用量預(yù)測用量對照日 期實 際 用 量預(yù) 測 值2002年1月2002年2月2002年3月2002年4月2002年5月2002年6月2002年7月2002年8月2002年9月200

24、2年10月 273533373538484143493533.433.7233.5834.2634.4135.1337.7038.3639.2935313333353536.542.2541.6342.323528.633.7233.1436.2335.2537.4545.8941.9842.802002年11月2002年12月374041.2340.3845.6641.3347.7639.152003年1月40.3040.6739.83二、二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑預(yù)測法是對一次指數(shù)平滑值再作一次指數(shù)平滑來進行預(yù)測的一種方法，但第期預(yù)測值并非第期的二次指數(shù)平滑值，而是采用下列計算公式進行預(yù)測

25、： 其中：表示第期的一次指數(shù)平滑值； 表示第期的二次指數(shù)平滑值； 表示第期實際值； 表示第期預(yù)測值； 表示平滑系數(shù)； ； 。初值、的取值方法與的取法相同。例2 表中第列數(shù)據(jù)是某股票在個連續(xù)交易日的收盤價，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測第個交易日的收盤價。（，） 表 某股票價格 單位：元116.4116.4116.4116.4100217.6216.8916.6016.411.211.46316.1516.5916.6017.37-1.221.49415.5416.1716.4316.57-1.031.06517.2416.5916.4915.731.512.28616.8316.6816.5716.8

26、5-0.020.00718.1417.2616.8516.861.281.64817.0517.1816.9817.94-0.890.79917.518.72解 利用公式計算得到的一、二次平滑值如表第3、4列所示。因此 于是，有取，得到（元）故而得到第9個交易日收盤價的預(yù)測值為17.51元。第四節(jié) 隨機時間序列模型隨機時間序列模型是一種精確度較高的短期預(yù)測方法。其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間的一組隨機變量，構(gòu)成該序列的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述。通過對該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達到最小方差

27、意義下的最優(yōu)預(yù)測。本節(jié)將對隨機時間序列分析的三種模型的模型識別及參數(shù)估計作簡要的介紹。一、自回歸模型若時間序列為它的前期值和隨機項的線性函數(shù)，表示為 則稱該時間序列為自回歸序列，該模型為階自回歸模型（Auto-regressive Model），記為AR。其中：參數(shù)為自回歸參數(shù)，是模型的待估參數(shù)；隨機項是白噪聲序列（是互相獨立的并且服從均值為、方差為的正態(tài)分布）；并且隨機項與不相關(guān)。為了表述上式方便引入滯后算子，其意義為，則模型可以表示為 其中，進一步有令 則模型可寫為 對自回歸序列考慮其平穩(wěn)性條件，可以從最簡單的一階自回歸序列進行分析。假設(shè)一階自回歸序列的模型為，同樣，迭代下去有對于一階自回

28、歸序列來講，若系數(shù)的絕對值，則稱這個序列是漸進平穩(wěn)的。對于階自回歸序列來講，如果是平穩(wěn)時間序列，它要求滯后算子多項式的特征方程的所有根的絕對值皆大于1。即階自回歸序列的漸平穩(wěn)條件為。二、滑動（移動）平均模型若時間序列中的為它前期的誤差和隨機項的線性函數(shù)，可以表示為 則稱該時間序列為滑動平均序列，該模型為階滑動（移動）平均模型（Moving Average Model），記為MA。參數(shù) 為滑動平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。引入滯后算子，同樣可以寫為 令 則模型可寫為 為使得MA過程可以轉(zhuǎn)換成一個自回歸過程，需要收斂。而收斂的充分必要條件是的特征方程的所有根的絕對值皆大于1,即。這個條件是MA序列的

29、必須滿足的可逆性條件，而且當這個可逆性條件滿足時，有限階自回歸序列等價于某個無限階移動平均序列。三、自回歸滑動平均模型若時間序列中為它的當前值與前期的誤差和隨機項的線性函數(shù)，則可以表示為 則稱該時間序列為自回歸滑動平均序列。又由于模型包含項自回歸模型和項滑動平均模型，因此該模型稱為自回歸滑動平均模型（Auto-regressive Moving Average Model），記為ARMA。參數(shù)為自回歸參數(shù)，為滑動平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。引入滯后算子，式可以表示為 對于ARMA模型，其平穩(wěn)性條件同 AR和MA。四、隨機時間序列分析模型（AR，MA，ARMA）的識別自回歸滑動平均模型（ARMA

30、）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和滑動平均模型（MA）是它的特殊情況。關(guān)于這幾類模型的研究，是時間序列的重點內(nèi)容，本節(jié)主要介紹模型的識別的方法和進行模型參數(shù)估計時常用的一些方法。1. 自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)對于ARMA模型，在進行參數(shù)估計之前，需要進行模型的識別。識別的基本的任務(wù)是找出ARMA、AR、MA模型的具體特征，最主要的是確定模型的階，即ARMA中的和，AR中的以及MA中的。識別的方法是利用時間序列樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。（1）AR的自相關(guān)函數(shù)模型的自協(xié)方差函數(shù)為從而有自相關(guān)函數(shù) AR序列的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，或稱為拖尾序列，所謂的拖尾型是指當趨于無窮大

31、時呈負指數(shù)衰減趨于零。換句話說AR序列的自相關(guān)函數(shù)不能在某一步之后為零，而是按負指數(shù)率衰減。自相關(guān)函數(shù)的拖尾現(xiàn)象是AR序列的一個特征。由，利用，得到如下方程組： 此方程組被稱為YuleWalker方程組。若已知模型參數(shù)，可求，然后遞推下去，可求得；反過來，若已知，模型參數(shù)通過求解方程組得到。（2）MA的自相關(guān)函數(shù)模型 自相關(guān)函數(shù)為 由此可見，當時，與不相關(guān)，并且，這種現(xiàn)象稱為截尾。換句話說，可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點開始一直為零來判斷MA模型的階。（3）ARMA的自相關(guān)函數(shù)ARMA的自相關(guān)函數(shù)可以看作MA的自相關(guān)函數(shù)和AR的自相關(guān)函數(shù)的混合。當時，它具有截尾性質(zhì)；當時，它具有拖尾性質(zhì)，當都

32、不為零時，它具有拖尾性質(zhì)。經(jīng)過推導(dǎo)得到ARMA的自協(xié)方差函數(shù)為 其中 所以，當時，ARMA的自相關(guān)函數(shù)為 可見，ARMA的自相關(guān)函數(shù)，當時，僅依賴于模型參數(shù)，以及。（4）偏相關(guān)函數(shù)所謂偏相關(guān)函數(shù)，是隨機序列模型的另一個統(tǒng)計特征，它是在已知序列值的條件下，關(guān)于之間關(guān)系的度量。下面以AR為例認識偏相關(guān)函數(shù)的定義。假定先以AR去擬合一個序列，然后又用AR去擬合，后者比前者增加了一個滯后變量。如果表示后者的自回歸系數(shù)，那么相應(yīng)于滯后變量的系數(shù)就是，稱為偏自相關(guān)系數(shù)。根據(jù)AR的拖尾性質(zhì)以及偏自相關(guān)系數(shù)的含義，可以采用方差最小原則來求得偏自相關(guān)系數(shù) 由此得到AR的主要特征是時，既是在以后截尾。對于ARMA

33、與MA模型，可以證明它們的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的。2. 模型的識別（1）AR模型的識別。若的偏自相關(guān)函數(shù)在以后截尾，即時，而且它的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是適合自回歸模型的序列。（2）MA模型的識別。若隨機序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自以后，而它的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是適合滑動平均模型的序列。（3）ARMA模型的識別。若隨機序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則此序列是適合自回歸滑動平均模型的序列。至于模型中和的識別，則要從低階開始逐步試探，直到定出合適的模型為止。五、隨機時間序列分析模型（AR，MA，ARMA）的參數(shù)估計經(jīng)過模型識別，確定了時間序列分析模型的模型結(jié)構(gòu)，接著就可以對模型

34、進行參數(shù)估計。AR、MA、ARMA模型參數(shù)的估計方法較多，大體上分為三類：最小二乘估計、矩估計和利用自相關(guān)函數(shù)直接估計。下面有選擇地加以介紹。1. AR的最小二乘估計假設(shè)模型的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，有 殘差的平方和為 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值應(yīng)該使得達到極小。所以它們應(yīng)該是下列方程組的解： 即 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計值。2. MA模型的矩估計將MA模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計值代替，得到 利用實際時間序列提供的信息，首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，于是是一個包含個待估參數(shù)估計值的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代法有線性迭代法和Newton-Raphs

35、an迭代法。具體的求解過程不再贅述，讀者可參考其它時間序列分析的教科書。3. ARMA模型的矩估計在ARMA中共有個待估參數(shù)與以及，其估計量計算步驟及公式如下：（1）估計 其中是樣本的自相關(guān)函數(shù)的估計值，由觀測數(shù)據(jù)計算得到。（2）改寫模型，求及的估計值將模型改寫為令 于是上式可以寫成構(gòu)成一個MA模型。按照估計MA模型參數(shù)的估計方法，可以得到及的估計值。第五節(jié) 隨機時間序列模型應(yīng)用時間序列模型的應(yīng)用是廣泛的，下面通過一個例子探討如何利用樣本建立時間序列模型，并通過時間序列模型對某種經(jīng)濟現(xiàn)象進行分析和預(yù)測。一、時間序列模型的計算公式設(shè)有模型，如果表示在已知的條件下，對作出的預(yù)測值，稱它為步預(yù)測，其

36、步預(yù)測誤差為：并且最優(yōu)的預(yù)測值就是其條件期望值：假設(shè)有一平穩(wěn)可逆的ARMA模型，它可以表示為三種等價形式： 其中：； 。如果考慮向前步預(yù)測，也就是說用第期及前期的序列觀測值，即對未來時刻的序列的值進行估計。假設(shè)以時刻為起點，步的預(yù)測值為，并假設(shè) 顯然這種預(yù)測是線性的，選擇系數(shù)，使得預(yù)測誤差的方差達到最小，即使達到最小。于是就稱為線性最小方差預(yù)測。由式和有這樣 由上式知當時，預(yù)測誤差的方差最小，且有由此可以看出預(yù)測誤差同預(yù)測的起點無關(guān)，而是隨增大而增大。這樣預(yù)測值可表示為：利用條件期望的基本性質(zhì)，不難推導(dǎo)出ARMA模型的預(yù)測的更簡明的公式。譬如：一步預(yù)測公式： = =其中是可計算的觀測殘差。二步

37、預(yù)測公式：=類似的可以求出3步直至步預(yù)測公式。步預(yù)測公式為：= 特別是當時，則式就為=二、時間序列模型的應(yīng)用例1 ARMA（1，1）模型預(yù)測值的計算。假設(shè)模型為 已知的現(xiàn)在值和時刻以前的值，求一步預(yù)測值和二步預(yù)測值。解 根據(jù)上面的公式，我們有 利用在時刻的值以及時刻以前的值通過所給定的模型來計算。由于所給的模型滿足平穩(wěn)可逆條件，所以分別在平穩(wěn)與可逆域內(nèi)。為了求出的表達式，將所給的模型改寫成為 從而有 =由于，所以當時，上式右邊第一項趨于零，這樣得到 將式代入式得到 公式可以修改為逆推方程的形式 這里是在時刻時一步預(yù)測。同理可求二步預(yù)測值。例 2我們考察某種商品的銷售情況，假設(shè)某種商品銷售量已進

38、入穩(wěn)定狀態(tài)期，銷量的數(shù)據(jù)記錄可以認為是一個平穩(wěn)隨機序列?，F(xiàn)利用50個月的銷售記錄，通過整理得到月平均銷售量為30萬件，月銷售量與平均值的差（簡稱“月銷售量距平”）的數(shù)據(jù)如表所示。 表 月銷售量與平均銷售量的差 單位：萬件序號月銷量距平序號月銷量距平序號月銷量距平序號月銷量距平1-3.7914-0.3727+1.4040+1.942-4.4715-0.7128+1.0141+2.303-4.9416-0.1129+1.6242+3.514-4.5617+1.0530+1.4143-1.495-2.1618+2.5231+1.0544+2.226-3.4919+2.4032+1.1545+2.43

39、7-3.2720+0.3933-0.6546+2.238-2.6321+0.5834+1.3447+0.829-1.4722+0.9235-0.8648-0.2410-1.5623+0.4936-0.5049-0.6311-0.5524+1.3237-1.1050-0.6912-1.8225+0.8938-1.0513-0.3726+1.9039+1.28 解 利用表中的數(shù)據(jù)建立時間序列模型，并且利用它來作預(yù)測分析。首先根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的計算公式估算由表中數(shù)據(jù)作為樣本序列的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值。計算結(jié)果如表所示。表 自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)10.90.97-0.020.5720.

40、190.8480.010.533-0.010.789-0.000.494-0.030.7110-0.040.455-0.020.66110.030.4260.060.61120.090.37由表可看出，的值隨著的增大而變小，呈衰減的趨勢，也就是逐漸收斂于零，所以，可以認為它是拖尾的。而在大于2以后，在零的附近波動，而且的點一個也沒有，因而可以認為以后是截尾的。根據(jù)AR模型的識別準則，由上述樣本數(shù)據(jù)我們可以判斷該序列是AR(2)序列。其模型的形式為現(xiàn)在對參數(shù)作出估計，由式有解此方程組得 ，這樣由一步預(yù)測公式得到一步預(yù)測方程為 二步預(yù)測方程為 三步預(yù)測方程為 應(yīng)用上述的預(yù)測方程，固定，進行一步、二

41、步、三步預(yù)測，并與實際觀測值相比較，得到的結(jié)果如表所示。表 預(yù)測值與實測值比較實測值一步預(yù)測值二步預(yù)測值三步預(yù)測值46-2.2347 -0.8248-0.24-0.9749-0.08-0.3150-0.68-0.02習(xí)題五1. 我國年的蜂蜜產(chǎn)量如表所示（單位：噸），試用移動平均預(yù)測（）對蜂蜜產(chǎn)量進行預(yù)測，比較預(yù)測值和實際值，并用此時的預(yù)測出我國1998年蜂蜜的產(chǎn)量。表年份1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997實際產(chǎn)量4529 4012 3052 2640 2600 2899 2801 3038 2964 29342我國年的人均糧食產(chǎn)量

42、如表所示（單位：公斤），假定我國在1997年的人均糧食產(chǎn)量只與此前兩年的人均糧食產(chǎn)量有關(guān)，且1995年人均糧食產(chǎn)量所占的權(quán)重是0.4，試利用加權(quán)一次移動平均預(yù)測法來預(yù)測我國在1997年的人均糧食產(chǎn)量。表年份198519861987198819891990人均糧食產(chǎn)量360.70367.00371.74357.72364.32393.10年份199119921993199419951996人均糧食產(chǎn)量378.26379.97387.37373.46387.28414.393我國年的人均糖料產(chǎn)量如表所示（單位：公斤），試令和，利用指數(shù)平滑法預(yù)測2001年我國人均糖料產(chǎn)量。表年份899091929394959697989900人均產(chǎn)量5264737665626569767966604我國年的水田種植面積如表所示（單位：萬公頃），試用下列方法對我國2000年水田種植面積進行預(yù)測，并比較預(yù)測值與實際值，說明哪種方法更優(yōu)。（1）移動平均預(yù)測法（） （2）指數(shù)平滑法（）表年 份90919293949596979899實際種植面積68.175.679.178.177.086.9114.1139.9156.3161.55我國年人均茶葉產(chǎn)量如表所