光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)

1、光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)第1頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一一、信息 對信息有不同的定義：“消息就是信息”，或“有用消息就是信息”等。華東師大信息科技教材定義為“信息指數(shù)據(jù)、消息中包含的意義”。本書定義：沒有差異就沒有世界，差異就是信息。第2頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一二、信息是有密度的 電子數(shù)字計(jì)算機(jī)中的信息，都以離散脈沖表示。教育教學(xué)評價(jià)中，也碰到大量離散數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)表達(dá)了某種實(shí)際意義，例如身高、體重、成績、人數(shù)差異，因此是信息。第3頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一信息密度定義 定義：設(shè) 為信息密度尺度，簡稱為信息密度，記映

2、射測度則信息密度二、信息是有密度的第4頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一將黑點(diǎn)看成一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)信息密度低信息密度高二、信息是有密度的第5頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一有離散序列 若取其中：n個(gè)數(shù) 則信息密度故當(dāng)離散序列中的數(shù)據(jù)全部用上時(shí)，信息密度最大。5個(gè)數(shù) 2個(gè)數(shù)第6頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 連續(xù)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)、微分和微分方程。近20年來，離散函數(shù)在導(dǎo)數(shù)、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了實(shí)用數(shù)學(xué)模型的精度（有的高達(dá)99%以上）。 三、離散數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)第7頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一1

3、連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)y =x(t)的導(dǎo)數(shù)一般形式定義為 定義：當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的左極限等于右極限并等于該點(diǎn)的函數(shù)值時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。第8頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 這是函數(shù) 的圖像，該函數(shù)在點(diǎn)p處連續(xù)可導(dǎo)。 p第9頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一2光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 當(dāng)k足夠大時(shí)，k時(shí)刻的函數(shù)值x(k)小于k時(shí)刻以前所有（離散）函數(shù)值之和，即時(shí)，稱x(k)為光滑離散函數(shù)。定義：光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為第10頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一3比較光滑離散函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一元函數(shù)y =x(t)的導(dǎo)

4、數(shù)為離散函數(shù)信息密度足夠大時(shí)：t=1第11頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 由光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義知，導(dǎo)數(shù)是x(k)和x(k-1)的二元組合，并稱之為導(dǎo)數(shù)偶對，記為（x(k)，x(k-1)）。光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是偶對導(dǎo)數(shù)的映射4光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性第12頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 k不同，偶對就不同，導(dǎo)數(shù)dx/dt也不同。事實(shí)上，每一個(gè)dx/dt都是在一定的背景值(k)下得到的，故稱(k)為k時(shí)刻導(dǎo)數(shù)dx/dt的背景值。4光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性第13頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一4

5、光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性 連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)是在t 0條件下定義的。當(dāng)t足夠小時(shí)，導(dǎo)數(shù)偶對x(t)和x(t-t)幾乎重合。背景值(t)到偶對x(t)和x(t-1)具有平射性。t 0時(shí) (t)=x(t)=x(t-1)連續(xù)函數(shù)第14頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，盡管時(shí)間間隔t 足夠小，甚至也可以寫成t 0 ，但是時(shí)區(qū)測度mx(k)，x(k-1)=1的性質(zhì)卻始終沒變，對應(yīng)的背景值(k)，應(yīng)該取x(k)和x(k-1)中的哪一個(gè)，也始終存在，并成了問題的關(guān)鍵。4光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性 定理：當(dāng)以偶對（x(t)，x(t-1)）的均值生成z

6、1(k)為背景值(k)時(shí)，(k)到偶對（x(t)，x(t-1)）具有平射性。第15頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一三、過程評價(jià)中的應(yīng)用 過程評價(jià)：根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中記錄下的一系列數(shù)據(jù)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和成績給予評定。即，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，推測出整體發(fā)展情況和最終結(jié)果。 例如：下圖中，紅點(diǎn)表示某一學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一些已記錄數(shù)據(jù)。第16頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一 數(shù)據(jù)較少，信息密度較低，構(gòu)不成光滑離散函數(shù)，較難推測出學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。 數(shù)據(jù)多，信息密度高，構(gòu)成光滑離散函數(shù)，能比較準(zhǔn)確的掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。第17頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一三、過程評價(jià)中的應(yīng)用 我們知道，連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在函數(shù)圖像上某點(diǎn)的斜率(k)。 k0,是減函數(shù)，f(x+x)0,是增函數(shù)，f(x+x)f(x)，學(xué)生成績處于上升階段； k0時(shí)，若k值不斷增加，學(xué)生成績突飛猛進(jìn)。 k0時(shí)，若k值不斷減小，成績迅速下滑。第18頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)15分，星期一三、過程評價(jià)中的應(yīng)用 在光滑離散函數(shù)中，如何選取一點(diǎn)測斜率呢？ 根據(jù)前面介紹的平射行原理，選取偶對（x(t)，x(t