高中數(shù)學(xué)必修二 8.6 空間直線、平面的垂直（精煉）（含答案）

1、8.6 空間直線、平面的垂直（1）（精煉）【題組一 線面垂直】1（2021海原縣第一中學(xué)高一期末）如圖，已知O所在平面，AB為O的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)，過A作于E求證：平面PBC【答案】證明見解析.【解析】證明：由AB是O的直徑，得.又O所在平面O所在平面內(nèi)所以，又，所以面PAC，面PAC.所以，又，所以平面PBC2（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，.求證：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）在正方體中，平面，平面，平面；（2）連接，在正方體中，且，四邊形是平行四邊形，且，分別為中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面

2、.3（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析.【解析】證明：在正方形中，平面，平面，可得，而，可得平面，而平面，則，在直角三角形和直角三角形中，即，即，又，而，則平面4（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四面體中，棱，其余各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)求證：（1）平面；（2）平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）由已知可得，為的中點(diǎn)所以，又，所以平面（2）由，其余各棱長(zhǎng)都為1，可得，由為的中點(diǎn)可得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以平?（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體（1）直線與平面是否垂直？為什

3、么？（2）直線與平面是否垂直？為什么？（3）直線與平面是否垂直？為什么？（4）直線與平面是否垂直？為什么？【答案】（1）垂直，證明見解析；（2）垂直，證明見解析；（3）不垂直，證明見解析；（4）垂直，證明見解析【解析】（1）垂直，因?yàn)?，且，平面，平面所以平面；?）垂直，因?yàn)椋?，平面，平面；所以平面；?）不垂直，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直；（4）垂直，因?yàn)?，且，平面，平面所以平?（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)面是正三角形且垂直于面，是中點(diǎn).（1）求證：面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）取的中點(diǎn)，連接、，

4、是中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，面.（2）面面，面面，面，平面，等邊三角形，為的中點(diǎn)，又，、平面，平面，平面.【題組二 線線垂直】1（2020陜西西安市西安一中高一月考）如圖1，四棱錐的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，已知四棱錐的側(cè)視圖，如圖2所示.（1）證明：；（2）求棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】解：（1）由側(cè)視圖可知，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)锳BCD是正方形，所以.而，PD，平面PCD，所以平面PCD.因?yàn)槠矫鍼CD，所以.又是等腰三角形，M是PC的中點(diǎn)，所以，而，PC，平面PBC，所以平面PBC，而平面PBC，

5、所以.2（2020陜西西安市高一期末）如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)證明：（）；（）平面【答案】（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】（）因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，所以平面，又平面所以；（）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以,又因?yàn)?，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平?（2021陜西商洛市高一期末）如圖，在三棱柱中，平面，為棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槠矫妫匀庵鶠橹比庵?因?yàn)?，為棱的中點(diǎn)，所以.所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以平面.因?yàn)槠矫妫?/p>

6、.（2）解：在三棱錐中，.因?yàn)槠矫?，且，所以三棱錐的體積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.因?yàn)椋?所以，即點(diǎn)到平面的距離為.4（2020全國(guó)高一單元測(cè)試）已知直三棱柱中，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1），為等腰三角形為中點(diǎn)，為直棱柱，平面平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，分別為，的中點(diǎn)，平面平面，平面平面.【題組三 面面垂直】1（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是半圓弧CD上異于C，D的點(diǎn).（1）證明：平面平面BMC；（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使

7、得平面PBD？說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】證明：（1）由題意可知，平面平面CDM，又平面平面，平面ABCD，平面CDM，又平面CDM，又由圓的性質(zhì)知，平面AMD，平面AMD，平面AMD，平面BMC，平面平面；（2）存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，平面PBD.理由如下：連接DB與AC交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，連接PO，則PO是三角形AMC的中位線，平面PBD，平面PBD，平面PBD.2（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）設(shè)，四棱錐的體積為1，求證：平面平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明

8、見解析.【解析】（1）連接交于點(diǎn)O，連結(jié),因?yàn)闉榫匦危設(shè)為的中點(diǎn),又E為的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?所以，所以底面為正方形，所以，因?yàn)?，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平?3（2021陜西商洛市高一期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為直角梯形，.（1）證明：平面平面.（2）若，分別是，的中點(diǎn)，證明：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）在直角梯形中，則.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以,又平面，平面，平面，同理平面，因?yàn)?，所以平面平面，又平面OPQ，所以平面.

9、4（2020全國(guó)高一單元測(cè)試）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）因?yàn)榫匦嗡谄矫媾c半圓弦所在平面垂直，面面，面，所以半圓弦所在平面，且半圓弦所在平面，所以；又是上異于，的點(diǎn)，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（2）由是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示：由中位線定理得；又平面，平面，所以平面5（2020西安市華山中學(xué)高一月考）如圖，在三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】連接，交于點(diǎn)，三棱柱中，四邊形是矩形，是的中點(diǎn)，

10、取的中點(diǎn)，連接，則，四邊形是平行四邊形，又，底面，底面，又，平面，平面，平面，平面平面.6（2021全國(guó)高一）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是 上異于，的點(diǎn).證明：平面平面.【答案】證明見解析【解析】由題設(shè)知，平面平面，交線為.因?yàn)?，平面，所以平面，?因?yàn)闉樯袭愑?，的點(diǎn)，且為直徑，所以.又=，所以平面.而平面，故平面平面.7（2020新疆巴音郭楞蒙古自治州高一期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面ABC且，D、E分別為PC、AC的中點(diǎn).（1）求證：平面BDE；（2）求證：平面平面PAC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）D、E分別為PC、AC的

11、中點(diǎn)，平面BDE，平面BDE，平面BDE（2）在三棱錐P-ABC中，平面ABC，D、E分別為PC、AC的中點(diǎn)，平面PAC平面ABC，平面BDE平面PAC【題組四 空間距離】1（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是,如圖，易知,因?yàn)樗?，由，所以，解得：故選：D2（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，M，N分別為，AB的中點(diǎn)，則MN與平面的距離為（ ）A4BC2D【答案】C【解析】如圖，,又平面，平面.MN與平面的距離為N到面的距離.又N到平面的距離為.MN與平面的距離為2.故選：C3（2020天津師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中

12、學(xué)高二月考）長(zhǎng)方體中，那么直線和平面的距離是_【答案】【解析】直線平面，直線和平面的距離即為點(diǎn)和平面的距離.面面，在面內(nèi)過作的垂線，即為面的垂線，也就是直角三角形斜邊上的高d，由面積法得：.故答案為：.4（2020上海高三專題練習(xí)）平面，點(diǎn)，點(diǎn)，如果，且，在內(nèi)射影長(zhǎng)分別為5和9，則平面與間的距離為_【答案】12【解析】如圖，由題意可知， ，設(shè) ，則 ，解得：， 平面與平面間的距離 故答案為：125（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，的中點(diǎn)，則平面ABCD與平面EFGH的距離為_.【答案】2【解析】如圖平面A BCD平面EFGH又平面.平面ABCD與平面EFGH的距離為

13、.故答案為：26（2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，則點(diǎn)B到面的距離為_，直線AC與面的距離為_，面與面的距離為_.【答案】3 1 2 【解析】在長(zhǎng)方體中，面,所以點(diǎn)B到面的距離為 即點(diǎn)B到面的距離為3.面,則直線上任意一點(diǎn)到面的距離相等。由面, 所以點(diǎn)到面的距離為所以直線AC與面的距離為1.面與面平行，且與面、面都垂直所以線段為面與面的距離故面與面的距離2.7（2019上海大學(xué)附屬中學(xué)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則平面和平面的距離為_.【答案】1【解析】因?yàn)檎襟w的對(duì)面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB為平面和平面的距離，即為1故答案為：18（2020山東濟(jì)寧市高一期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，