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1、8.6 空間直線、平面的垂直(1)(精煉)【題組一 線面垂直】1(2021海原縣第一中學(xué)高一期末)如圖,已知O所在平面,AB為O的直徑,C是圓周上的任意一點(diǎn),過A作于E求證:平面PBC【答案】證明見解析.【解析】證明:由AB是O的直徑,得.又O所在平面O所在平面內(nèi)所以,又,所以面PAC,面PAC.所以,又,所以平面PBC2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,在正方體中,E為的中點(diǎn),.求證:(1)平面;(2)平面.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析【解析】(1)在正方體中,平面,平面,平面;(2)連接,在正方體中,且,四邊形是平行四邊形,且,分別為中點(diǎn),四邊形是平行四邊形,平面,平面,平面
2、.3(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在正方體中,點(diǎn)為底面的中心,點(diǎn)為的中點(diǎn),求證:平面【答案】證明見解析.【解析】證明:在正方形中,平面,平面,可得,而,可得平面,而平面,則,在直角三角形和直角三角形中,即,即,又,而,則平面4(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在四面體中,棱,其余各棱長(zhǎng)都為1,為的中點(diǎn)求證:(1)平面;(2)平面【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】證明:(1)由已知可得,為的中點(diǎn)所以,又,所以平面(2)由,其余各棱長(zhǎng)都為1,可得,由為的中點(diǎn)可得,因?yàn)?,所以,所以,又,所以平?(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,已知正方體(1)直線與平面是否垂直?為什
3、么?(2)直線與平面是否垂直?為什么?(3)直線與平面是否垂直?為什么?(4)直線與平面是否垂直?為什么?【答案】(1)垂直,證明見解析;(2)垂直,證明見解析;(3)不垂直,證明見解析;(4)垂直,證明見解析【解析】(1)垂直,因?yàn)?,且,平面,平面所以平面;?)垂直,因?yàn)椋?,平面,平面;所以平面;?)不垂直,因?yàn)榕c不垂直,所以與平面不垂直;(4)垂直,因?yàn)?,且,平面,平面所以平?(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)面是正三角形且垂直于面,是中點(diǎn).(1)求證:面;(2)求證:平面.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】證明:(1)取的中點(diǎn),連接、,
4、是中點(diǎn),四邊形是平行四邊形,又平面,平面,面.(2)面面,面面,面,平面,等邊三角形,為的中點(diǎn),又,、平面,平面,平面.【題組二 線線垂直】1(2020陜西西安市西安一中高一月考)如圖1,四棱錐的底面是正方形,PD垂直于底面ABCD,M是PC的中點(diǎn),已知四棱錐的側(cè)視圖,如圖2所示.(1)證明:;(2)求棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】解:(1)由側(cè)視圖可知,因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,又因?yàn)锳BCD是正方形,所以.而,PD,平面PCD,所以平面PCD.因?yàn)槠矫鍼CD,所以.又是等腰三角形,M是PC的中點(diǎn),所以,而,PC,平面PBC,所以平面PBC,而平面PBC,
5、所以.2(2020陜西西安市高一期末)如圖,在四棱錐中,底面,是的中點(diǎn)證明:();()平面【答案】()詳見解析;()詳見解析.【解析】()因?yàn)榈酌?,底面,所以,又,所以平面,又平面所以;()因?yàn)?,是的中點(diǎn),所以,又,所以平面,又平面,所以,又因?yàn)?,且,所以平面,又平面,所以,又,所以平?(2021陜西商洛市高一期末)如圖,在三棱柱中,平面,為棱的中點(diǎn).(1)證明:.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,.因?yàn)槠矫妫匀庵鶠橹比庵?因?yàn)?,為棱的中點(diǎn),所以.所以.因?yàn)?,所以,所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.又,所以平面.因?yàn)槠矫妫?/p>
6、.(2)解:在三棱錐中,.因?yàn)槠矫?,且,所以三棱錐的體積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則.因?yàn)椋?所以,即點(diǎn)到平面的距離為.4(2020全國(guó)高一單元測(cè)試)已知直三棱柱中,是中點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求證:平面.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】證明:(1),為等腰三角形為中點(diǎn),為直棱柱,平面平面,平面平面,平面,平面,.(2)取中點(diǎn),連結(jié),分別為,的中點(diǎn),平面平面,平面平面.【題組三 面面垂直】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是半圓弧CD上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使
7、得平面PBD?說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2)存在,理由見解析.【解析】證明:(1)由題意可知,平面平面CDM,又平面平面,平面ABCD,平面CDM,又平面CDM,又由圓的性質(zhì)知,平面AMD,平面AMD,平面AMD,平面BMC,平面平面;(2)存在點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí),平面PBD.理由如下:連接DB與AC交于點(diǎn)O,則O為AC的中點(diǎn),連接PO,則PO是三角形AMC的中位線,平面PBD,平面PBD,平面PBD.2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,E為的中點(diǎn)(1)證明:平面;(2)設(shè),四棱錐的體積為1,求證:平面平面【答案】(1)證明見解析;(2)證明
8、見解析.【解析】(1)連接交于點(diǎn)O,連結(jié),因?yàn)闉榫匦危設(shè)為的中點(diǎn),又E為的中點(diǎn),所以,平面,平面,所以平面.(2)因?yàn)?所以,所以底面為正方形,所以,因?yàn)?,所以,且,所以平面,又平面,所以平面平?3(2021陜西商洛市高一期末)在如圖所示的幾何體中,四邊形為直角梯形,.(1)證明:平面平面.(2)若,分別是,的中點(diǎn),證明:平面.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)在直角梯形中,則.因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以平面,所以平?因?yàn)槠矫?,所以平面平?(2)取的中點(diǎn),連接,.因?yàn)椋謩e為,的中點(diǎn),所以,又平面,平面,平面,同理平面,因?yàn)?,所以平面平面,又平面OPQ,所以平面.
9、4(2020全國(guó)高一單元測(cè)試)如圖,矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直,是上異于,的點(diǎn)(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),求證:平面【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】證明:(1)因?yàn)榫匦嗡谄矫媾c半圓弦所在平面垂直,面面,面,所以半圓弦所在平面,且半圓弦所在平面,所以;又是上異于,的點(diǎn),所以;又,所以平面;又平面,所以平面平面;(2)由是的中點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接,如圖所示:由中位線定理得;又平面,平面,所以平面5(2020西安市華山中學(xué)高一月考)如圖,在三棱柱中,底面,是的中點(diǎn),求證:平面平面.【答案】證明見解析【解析】連接,交于點(diǎn),三棱柱中,四邊形是矩形,是的中點(diǎn),
10、取的中點(diǎn),連接,則,四邊形是平行四邊形,又,底面,底面,又,平面,平面,平面,平面平面.6(2021全國(guó)高一)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直,是 上異于,的點(diǎn).證明:平面平面.【答案】證明見解析【解析】由題設(shè)知,平面平面,交線為.因?yàn)?,平面,所以平面,?因?yàn)闉樯袭愑?,的點(diǎn),且為直徑,所以.又=,所以平面.而平面,故平面平面.7(2020新疆巴音郭楞蒙古自治州高一期末)如圖,在三棱錐P-ABC中,平面ABC且,D、E分別為PC、AC的中點(diǎn).(1)求證:平面BDE;(2)求證:平面平面PAC.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)D、E分別為PC、AC的
11、中點(diǎn),平面BDE,平面BDE,平面BDE(2)在三棱錐P-ABC中,平面ABC,D、E分別為PC、AC的中點(diǎn),平面PAC平面ABC,平面BDE平面PAC【題組四 空間距離】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)到平面的距離為( )ABCD【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是,如圖,易知,因?yàn)樗?,由,所以,解得:故選:D2(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在長(zhǎng)方體中,M,N分別為,AB的中點(diǎn),則MN與平面的距離為( )A4BC2D【答案】C【解析】如圖,,又平面,平面.MN與平面的距離為N到面的距離.又N到平面的距離為.MN與平面的距離為2.故選:C3(2020天津師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中
12、學(xué)高二月考)長(zhǎng)方體中,那么直線和平面的距離是_【答案】【解析】直線平面,直線和平面的距離即為點(diǎn)和平面的距離.面面,在面內(nèi)過作的垂線,即為面的垂線,也就是直角三角形斜邊上的高d,由面積法得:.故答案為:.4(2020上海高三專題練習(xí))平面,點(diǎn),點(diǎn),如果,且,在內(nèi)射影長(zhǎng)分別為5和9,則平面與間的距離為_【答案】12【解析】如圖,由題意可知, ,設(shè) ,則 ,解得:, 平面與平面間的距離 故答案為:125(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在長(zhǎng)方體中,E,F(xiàn),G,H分別為,的中點(diǎn),則平面ABCD與平面EFGH的距離為_.【答案】2【解析】如圖平面A BCD平面EFGH又平面.平面ABCD與平面EFGH的距離為
13、.故答案為:26(2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))如圖,在長(zhǎng)方體中,設(shè),則點(diǎn)B到面的距離為_,直線AC與面的距離為_,面與面的距離為_.【答案】3 1 2 【解析】在長(zhǎng)方體中,面,所以點(diǎn)B到面的距離為 即點(diǎn)B到面的距離為3.面,則直線上任意一點(diǎn)到面的距離相等。由面, 所以點(diǎn)到面的距離為所以直線AC與面的距離為1.面與面平行,且與面、面都垂直所以線段為面與面的距離故面與面的距離2.7(2019上海大學(xué)附屬中學(xué))已知正方體的棱長(zhǎng)為1,則平面和平面的距離為_.【答案】1【解析】因?yàn)檎襟w的對(duì)面互相平行,AB均于平面和平面垂直,故AB為平面和平面的距離,即為1故答案為:18(2020山東濟(jì)寧市高一期末)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,
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