吉林省吉林一中2013-2014學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題（含解析）

1、PAGE PAGE - 14 -吉林一中20132014學(xué)年度下學(xué)期高二數(shù)學(xué)三月考高二數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一二三四五總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上【試卷綜析】本試卷是高二月考試卷，重點(diǎn)考察了解三角形、數(shù)列這部分內(nèi)容。本套試卷從整體上看，試卷難度適當(dāng)，具有較好的區(qū)分度、效度和信度。試題注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合考察，很適合對(duì)高二學(xué)生的教學(xué)實(shí)際，對(duì)本部分內(nèi)容做了一個(gè)全面的考查，知識(shí)點(diǎn)無(wú)遺漏，是一份非常不錯(cuò)的試卷。對(duì)于對(duì)數(shù)列的考查，加強(qiáng)了基本量的運(yùn)算，證明數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)遞推關(guān)系求（或猜想出）數(shù)列的通項(xiàng)公式（

2、如12,13,17題），根據(jù)前幾項(xiàng)和求通項(xiàng)，還有第18題加強(qiáng)了對(duì)新定義問(wèn)題的考查，考查了學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及思維能力。對(duì)解三角形部分，更注重了基礎(chǔ)知識(shí)的考查，正余弦定理、三角形面積公式、兩角和與差的公式的正用和逆用（輔助角公式）、解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用等都考查的非常具體。這樣的考試試題，有助于教師下一步的教學(xué)，也有助于學(xué)生的下一步學(xué)習(xí)，為教師的今后教學(xué)指明了方向。第I卷（選擇題）請(qǐng)修改第I卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分一、單項(xiàng)選擇1. 在中，若,，則的面積為（ ）A B C1 D【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了三角形的面積公式?！敬鸢附馕觥緼 【思路點(diǎn)撥】熟練掌握三角形的面積公式是

3、解決此題的基礎(chǔ)。2. 已知等差數(shù)列an的公差d0,若a5、a9、a15成等比數(shù)列,那么公比為 ( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量計(jì)算?！敬鸢附馕觥緾 成等比數(shù)列，則，可得，?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用基本量表示各項(xiàng)，應(yīng)用等比中項(xiàng)即可。3. 在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足,則的最大值是( ) A B. C. D.2【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了正弦定理、兩角和與差的正余弦公式的正用及逆用?！敬鸢附馕觥緼 ，最大值為1.【思路點(diǎn)撥】給出三角形內(nèi)的邊與角的關(guān)系，通常會(huì)想到邊角互換，然后再利用兩角和與差的正余弦公式化簡(jiǎn)。4. 已知ABC中，a4，b4，A30，則B等于( )A30B30或

4、150 C60D60或120【知識(shí)點(diǎn)】考查了正弦定理?！敬鸢附馕觥緿 因?yàn)?，所以，得，則60或120。【思路點(diǎn)撥】正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。【典型總結(jié)】在解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意的應(yīng)用，以防出現(xiàn)增解。5. 數(shù)列的前n項(xiàng)和為,，則數(shù)列的前50項(xiàng)的和為 （ ）A49 B50C99 D100【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列通項(xiàng)公式的求法【答案解析】A 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。記數(shù)列的前50項(xiàng)的和為【思路點(diǎn)撥】已知數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)用求解?！镜湫涂偨Y(jié)】在已知數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)，和知道前項(xiàng)和與的關(guān)系時(shí)求通項(xiàng)都得應(yīng)用求解，但要注意的是，一定討論當(dāng)時(shí)是否適用于當(dāng)時(shí)的式子，若適用則統(tǒng)一，若不適用則寫(xiě)成分段形式。切記！6. 知an為公比q

5、1的等比數(shù)列，若a2005和a2006是方程4x28x+3=0的兩根，則a2007+a2008的值是( )A18B19C20D21【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系?！敬鸢附馕觥緼 ，公比，?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出數(shù)列的兩項(xiàng)，再求公比。7. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,設(shè)其前n項(xiàng)和為，則使成立的自然數(shù)有 A最大值15 B最小值15 C最大值16 D最小值16【知識(shí)點(diǎn)】本題借助于數(shù)列考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)不等式的解法?！敬鸢附馕觥緿 ，所以。【思路點(diǎn)撥】正確應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵。8. 如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔的高度，在塔的同一側(cè)選擇、兩觀測(cè)點(diǎn)，且在、

6、兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為、，在水平面上測(cè)得，、兩地相距，則電視塔的高度是（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】正余弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。【答案解析】D 設(shè)電視塔的高度為，則，在中，應(yīng)用余弦定理得到，解得?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)所給數(shù)據(jù)可以用表示,進(jìn)一步應(yīng)用余弦定理即可。9. 在ABC中，若AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】考查解三角形?！敬鸢附馕觥緼 利用數(shù)形結(jié)合解決本題，如圖：【思路點(diǎn)撥】以點(diǎn)為圓心，以1為半徑做圓，顯然當(dāng)點(diǎn)接近于圓時(shí)，角最小，當(dāng)與圓相切時(shí)，角最大。【典型總結(jié)】數(shù)形結(jié)合思想在解三角形問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)用到。10. 設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為,的面積為,若,則( )A.S

7、n為遞減數(shù)列 B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了三角形面積公式和歸納推理等?！敬鸢附馕觥緽 因?yàn)閍n1an，所以ana1.又因?yàn)閎n1cn1eq f(1,2)(bncn)aneq f(1,2)(bncn)a1，所以bn1cn12a1eq f(1,2)(bncn2a1)因?yàn)閎1c12a10，所以bncn2a1，故AnBnCn中邊BnCn的長(zhǎng)度不變，另外兩邊AnBn，AnCn的和不變因?yàn)閎n1cn1eq f(1,2)(bncn)，且b1c10，所以bncneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)e

8、q sup12(n1)(b1c1)，當(dāng)n時(shí)，bncn，也就是AnCnAnBn，所以三角形AnBnCn中BnCn邊上的高隨著n的增大而增大設(shè)三角形AnBnCn中BnCn邊上的高為hn，則hn單調(diào)遞增，所以Sneq f(1,2)a1hn是增函數(shù)【思路點(diǎn)撥】本題是2013年新課標(biāo)全國(guó)卷1選擇題中的壓軸題。利用已知的條件尋找bn和cn的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。第II卷（非選擇題）請(qǐng)修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分二、填空題11. 已知中，角，,所對(duì)的邊分別為，外接圓半徑是,且滿足條件,則的面積的最大值為 .【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用、基本不等式、三角形的面積公式。【答案解析】 由正弦定理，則，

9、帶入題中條件得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用正弦定理把角化為邊，再利用余弦定理求出角C，然后應(yīng)用三角形面積公式。12. 數(shù)列滿足,則=_.【知識(shí)點(diǎn)】利用遞推公式求某項(xiàng)?！敬鸢附馕觥?根據(jù)，依次求出?！舅悸伏c(diǎn)撥】遞推數(shù)列求某項(xiàng)，依次帶入即可。【典型總結(jié)】本題還可以利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。由等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得，即知為等差數(shù)列。，。也可以把整理成，展開(kāi)，兩邊同時(shí)除以亦可。13. 已知數(shù)列)滿足,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式=_【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，再利用前幾項(xiàng)猜出通項(xiàng)公式?！敬鸢附馕觥?根據(jù)已知的遞推關(guān)系可以得到，可依次求出分別為，可猜想通項(xiàng)為?！舅?/p>

10、路點(diǎn)撥】利用遞推關(guān)系依次求出前幾項(xiàng)猜出通項(xiàng)公式?！镜湫涂偨Y(jié)】本題也可以這樣求解：由，利用累加求出。14. 在等差數(shù)列an中,若a1+a2=3,a3+a4=5,則a7+a8等于. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量計(jì)算，基本性質(zhì)的應(yīng)用。【答案解析】9 法一：（a3+a4）-（a1+a2）=2 所以公差d=，,. 法二：數(shù)列也成等差數(shù)列，公差為2，所以?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用基本量解決數(shù)列問(wèn)題是高考考試的重點(diǎn)，也是學(xué)生必須掌握的知識(shí)。法一是利用了等差數(shù)列的基本量計(jì)算，法二利用了等差數(shù)列的基本性質(zhì)?！镜湫涂偨Y(jié)】此題的結(jié)論可以進(jìn)一步加以推廣：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列也成等差數(shù)列。三、解答題評(píng)卷人得分15. 如圖，

11、港口A在港口O的正東120海里處，小島B在港口O的北偏東的方向，且在港口A北偏西的方向上一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東的OD方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O一艘給養(yǎng)快艇從港口A以60海里/小時(shí)的速度駛向小島B，在B島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí)（1）求給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間；（2）給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間能和科考船相遇？【知識(shí)點(diǎn)】正余弦定理解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用?！敬鸢附馕觥俊舅悸伏c(diǎn)撥】應(yīng)用余弦定理。16. 在中，的對(duì)邊分別為且成等差數(shù)列.（1）求B的值；（2）求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】本題借助于三角形的知識(shí)，

12、考查了等差數(shù)列、正余弦定理、輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)值域的求法?！敬鸢附馕觥浚?）成等差數(shù)列，.由正弦定理得，代入得，即，.又在中，或.，.（2），. ，.的取值范圍是【思路點(diǎn)撥】利用正弦定理先邊角互化，求出角B。（2）中，把角C換成角A是解題的關(guān)鍵。17. 已知數(shù)列，首項(xiàng)a 1 =3且2 n ？S n1 (n2).（1）求證：是等差數(shù)列,并求公差；（2）求a n 的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列an 中是否存在自然數(shù)k0,使得當(dāng)自然數(shù)kk 0時(shí)使不等式a ka k+1對(duì)任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小的k值,否則請(qǐng)說(shuō)明理由. 【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了已知S n 與a n+1的關(guān)系求通項(xiàng)，怎

13、樣證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列以及恒成立的問(wèn)題?！敬鸢附馕觥坑梢阎?dāng)（2） 【思路點(diǎn)撥】利用求通項(xiàng)公式是解決此題的關(guān)鍵。18. 如果項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列，滿足且集合，則稱數(shù)列是一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”.（1）設(shè)是一對(duì)“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，求和的值，并寫(xiě)出一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ；（2）是否存在 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ？若存在，試寫(xiě)出一對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）對(duì)于確定的，若存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，試證明符合條件的“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)【知識(shí)點(diǎn)】新定義問(wèn)題，考查學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力運(yùn)算求解能力，本題對(duì)學(xué)生的思維能力的考查較高?！敬鸢附馕觥浚?）依題意，相加得，又，則，.“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”：8，4，6，5；：7

14、，2，3，1（不唯一）參考：（“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”共6對(duì)：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3或：8，4，6，5；：7，2，3，1（2）不存在理由如下：假設(shè)存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，則，相加，得又由已知，由此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立。從而不存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” （3）對(duì)于確定的，任取一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，令，先證也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” 因?yàn)橛忠驗(yàn)?，很顯然有，所以也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”再證數(shù)列與是不同的數(shù)列假設(shè)與相同，則的第二項(xiàng)，又，則，即，顯然矛盾從而

15、，符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)【思路點(diǎn)撥】正確理解新定義。參考答案一、單項(xiàng)選擇1.【答案】A【解析】2.【答案】C【解析】3.【答案】A【解析】，最大值為1.4.【答案】D【解析】5.【答案】A【解析】6.【答案】A【解析】7.【答案】D【解析】8.【答案】D【解析】9.【答案】A【解析】10.【答案】B 【解析】二、填空題11.【答案】 【解析】由正弦定理，則，帶入題中條件得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.12.【答案】 【解析】13.【答案】 【解析】14.【答案】9【解析】三、解答題15.【答案】【解析】16.【答案】（1）成等差數(shù)列，.由正弦定理得，代入得，即，.又在中，或.，.（2），. ，.的取值范圍是【解析】17.【答案】由已知當(dāng) 【解析】18.【答案】解：（1）依題意，相加得，又，則，.“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）參考：（“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”共6對(duì)：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4