函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處連續(xù)的定義

1、函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處連續(xù)的定義1第1頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 若 f(x), g(x)都在點(diǎn)x0處連續(xù)，則根據(jù)極限的四則運(yùn)算法則有 即連續(xù)函數(shù)的和差仍然是連續(xù)函數(shù) 即連續(xù)函數(shù)的乘積仍然是連續(xù)函數(shù)若 g(x0)0 則 即在分母不為零的情況下，連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù) 由前面我們知道 y=c y=x都是連續(xù)函數(shù)，所以它們的乘積，和差都連續(xù)函數(shù)，所以反復(fù)的和差乘積得到 在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)2第2頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 函數(shù) （P,Q是多項(xiàng)式）在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)Sinx cosx 也是R上的連續(xù)函數(shù)所以得到 tanx cotx

2、在其定義域內(nèi)連續(xù)定理 4.5 對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=g(f(x)，若函數(shù)f在點(diǎn)x0連續(xù)，g在點(diǎn)u0=f(x0) 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g.f在點(diǎn)x0連續(xù)。證明 要證明復(fù)合函數(shù) gf在點(diǎn)x0連續(xù)，按定義，只要證明 要證明這個(gè)極限等于它，按定義任給 找 當(dāng) 時(shí) 因?yàn)?g在 u0處連續(xù) 所以存在 ，當(dāng) 時(shí)，有 3第3頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 又因?yàn)?f在x0處連續(xù)， 所以對(duì)上面的 存在 當(dāng) 時(shí) 有 即 從而有：當(dāng) 時(shí) 有 從而 由這個(gè)定理得到 即 4第4頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 例如 求 解：這個(gè)函數(shù)可以看做是由函數(shù) sinu u=1-x2復(fù)合而得

3、到的。由于函數(shù) sinu 1-x2等都是連續(xù)函數(shù)所以 其實(shí)對(duì)于公式 并非一定要求里面的函數(shù)一定要是連續(xù)函數(shù)，其實(shí)只要里面的函數(shù)在x0處有極限a，至于函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值是否等于這個(gè)a，以及在該點(diǎn)處是否有定義我們都不用管，而外面的函數(shù)在a處又連續(xù) 5第5頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 即 若 則 和剛才證明定理的一樣：任給 找 當(dāng) 時(shí) 因?yàn)?g在 a處連續(xù) 所以存在 ，當(dāng) 時(shí)，有又因?yàn)?所以對(duì)上述的 存在 當(dāng) 時(shí) 有 從而6第6頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 即當(dāng) 時(shí)，有 所以 例 求極限 （1） （2）解：這個(gè)函數(shù)是由這兩個(gè)函數(shù) 復(fù)合得到 7

4、第7頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)的一些性質(zhì) :局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合的連續(xù)性 函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的連續(xù)的性質(zhì)： 定義1 設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在x0D，使得對(duì)一切xD,都有 則稱f在D上有最大（最小）值，并稱f(x0)為f在D上的最大（最?。┲?。例如 函數(shù) y=sinx 在閉區(qū)間 上 最大值是1， 最小值是0是不是任何一個(gè)函數(shù)在其定義域上都有最大值、最小值呢 ？8第8頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 例如 函數(shù) y=x (0,1) 則它既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值函數(shù) 閉區(qū)間0,1上也既沒(méi)最大值也沒(méi)有最小值 定

5、理4.6 （最大、最小值定理） 若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f在a,b上有最大最小值推論 （有界性定理） 若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f在a,b上有界9第9頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 定理4.7 （介值定理） 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且, 若u為介于f(a)與f(b)之間的任何實(shí)數(shù)（f(a)uuf(b)）, 則至少存在一點(diǎn),使得 從而 同時(shí)當(dāng) 異號(hào)，則必有一個(gè)正、一個(gè)負(fù)，因此 0必在這個(gè)值域區(qū)間中，從而必至少有一個(gè)自變量 ，使得 推論（根的存在定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)x0a,b,使得f(x0)=0

6、,即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根。10第10頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 f(a) 與 f(b) 異號(hào)至少一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為0 一般地， ，I是一個(gè)區(qū)間，但未必是一個(gè)閉區(qū)間，函數(shù)y=f(x)在I上連續(xù)，任意取 ，因?yàn)楹瘮?shù)在I上連續(xù)，從而在閉區(qū)域c,d上連續(xù)，因此 ，由閉區(qū)間上的介值定理有 ，這說(shuō)明任意的兩個(gè)不同的函數(shù)值所組成這個(gè)區(qū)間都包含在這個(gè)函數(shù)的值域中，所以值域是一個(gè)區(qū)間，即I是區(qū)間，且f在I上連續(xù)，則函數(shù)的值域也是一個(gè)區(qū)間。11第11頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有最大值M, 最小值m, 從而區(qū)間為m

7、,M必包含在f(I)中，又函數(shù)值最大就是M，最小是m，所以值域最大也就能為m,M,因此f(I)=m,M 若函數(shù)在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)，則最大值為f(b),最小值為f(a),因此值域?yàn)閒(a),f(b)，若是減函數(shù)，則值域?yàn)?f(b),f(a) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)，最大最小值定理， 有界性定理，根的存在定理12第12頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一例 3 證明 ：若 r0, n 為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)x0， 使得 （稱為r的n次正根(即算術(shù)根)，記作 ）證明： 存在性: 要證明存在一個(gè)數(shù)x0， 使得 ，利用介值定理來(lái)證明，首先就必須構(gòu)造一個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，根據(jù)所

8、要證明的式子，我們構(gòu)造函數(shù) 由于 0n=0, 所以存在正數(shù)a， 使得 考慮函數(shù) 則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上連續(xù) 且 f(0)rf(a)由介值定理，存在 ，使得 再證唯一性 設(shè)還有另一個(gè)整數(shù)x1，使得xn1=r ，則有 從而 x0=x113第13頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 例 4 設(shè)f在a,b上連續(xù)，滿足 證明：存在 ，使得 分析，要找一個(gè) 使得 ， 即考慮用根的存在定理， 作函數(shù) F (x)=f (x) -x，則F(x)在a,b上連續(xù)，并且由所以 F (a)=f(a)-a0 F (b)=f(b)-b0上面的兩個(gè)不等式，若其中至少有一個(gè)成立，則命題成立。若兩個(gè)不等式的

9、等號(hào)都不成立，則這時(shí)兩端的函數(shù)值異號(hào)，由根的存在定理得到，存在 ，使得 14第14頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)若存在反函數(shù)時(shí)，反函數(shù)是否連續(xù)？定理4.8 若函數(shù)f在a,b上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)f-1在其定義域f(a), f(b)或f(b), f(a) 上連續(xù) 證明： 不妨設(shè)f在a,b上嚴(yán)格增，由于f是單調(diào)函數(shù)，所以f有反函數(shù)f-1，并且由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)得到，f的值域?yàn)閒 (a), f (b)， 從而 f-1的定義域?yàn)閒 (a), f (b) 任取 對(duì)端點(diǎn)一樣證明 往下證明在該點(diǎn)處連續(xù)，即： 即任給的 找 當(dāng) 時(shí)有15第1

10、5頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 設(shè) 即 在x0的左右兩側(cè)分別取 x1 , x2 ,且使得設(shè) 根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞增，所以 取 則當(dāng) 時(shí) ，有 所以 所以反函數(shù)f-1 連續(xù)16第16頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 例5 由于y=sinx在區(qū)間 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，故其反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間-1,1上連續(xù) 同樣 y=arccosx在-1,1上連續(xù) y=arctanx 在上連續(xù)例6 y=xn (n為整數(shù))在0,+)上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，故其反函數(shù) 在0,+ )連續(xù)， 而 可以看做 的復(fù)合，而這兩個(gè)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以這個(gè)函數(shù)也連續(xù) 所以得到 （q

11、為非零整數(shù)）是其定義域區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)17第17頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 例 證明： 有理冪函數(shù) 在其定義區(qū)間上連續(xù)證明： 是有理數(shù)，所以 可以表示為 ，這里 p,q都是整數(shù)， 所以 可以看做由 與 ，而這兩個(gè)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以這個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。18第18頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) 6 -10 作業(yè) 9 19第19頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 720第20頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 721第21頁(yè)，共

12、40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 722第22頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 723第23頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 724第24頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 725第25頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 726第26頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 727

13、第27頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 728第28頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 729第29頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 730第30頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 731第31頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 732第32頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 733第33頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 734第34頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 735第35頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期一 練習(xí) P9 1-8 作業(yè) P9 736第36頁(yè)，共40頁(yè)，2022年，5月2