高中數(shù)學(xué)必修二 第六章 6.4 6.4.3 第2課時(shí)

1、第2課時(shí)正弦定理知識(shí)點(diǎn)正弦定理eq o(,sup4(01)在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).利用正弦定理可以解決的兩類解三角形問題：已知eq o(,sup4(02)任意兩角與一邊，求其他兩邊和一角已知eq o(,sup4(03)任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)一步求出其他的邊和角1深入理解正弦定理(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系若AB，則ab.反之，

2、若ab，則A1，無解；若sinB1，一解；若sinBBA，最小邊為a.c1，由正弦定理，得aeq f(csinA,sinC)eq f(1sin45,sin75)eq f(f(r(2),2),f(r(6)r(2),4)eq r(3)1，即最小邊的長為eq r(3)1.題型二 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形例2根據(jù)下列條件解三角形：(1)beq r(3)，B60，c1；(2)ceq r(6)，A45，a2.解(1)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，sinCeq f(csinB,b)eq f(1sin60,r(3)eq f(1,2).bc，B60，C1，故三角形無解已知三角形兩邊和其中

3、一邊的對(duì)角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角(唯一)(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論(1)在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()Ax|x2 Bx|x2Cx|2x2eq r(2) Dx|2xb且sinA2，,f(r(2),4)x1，)2x2eq r(2).解法二：要使三角形有兩解，則eq blcrc (avs4alco1(basinB，)即eq blcrc

4、(avs4alco1(2xsin45，)2x2eq r(2).(2)b4，c8，bc，B30bcsinB，所以本題有一解由正弦定理，得sinCeq f(csinB,b)eq f(8sin30,4)1.又cb，CB，所以30C180，所以C90.所以A180(BC)60.所以aeq r(c2b2)4eq r(3).a7，b8，因?yàn)閍90，所以本題無解題型三 判斷三角形的形狀例3在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，試判斷三角形的形狀解解法一：A，B，C為三角形的內(nèi)角，A(BC)sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinCsinA2sinBcosC，

5、sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0.BC，BC0.BCA2Bsin2Asin22Bsin2Asin2Bsin2C2sin2B，sin22B2sin2B2sinBcosBeq r(2)sinBsinB0，cosBeq f(r(2),2).Beq f(,4).Ceq f(,4)，Aeq f(,2).ABC為等腰直角三角形解法二：由正弦定理，得eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.Aeq f(,2)，BCeq f(,2).sinA2sinBcosC，即sinA2sinBcoseq blc(rc)(a

6、vs4alco1(f(,2)B)，12sin2B，B(0，)，sinBeq f(r(2),2)，Beq f(,4)，ABC為等腰直角三角形判斷三角形形狀的方法(1)判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解(3)判斷三角形的形狀，主要看是否是正三角形

7、、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別在ABC中，已知a2tanBb2tanA，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形或直角三角形答案D解析將a2RsinA，b2RsinB(R為ABC的外接圓的半徑)代入已知條件，得sin2AtanBsin2BtanA，則eq f(sin2AsinB,cosB)eq f(sinAsin2B,cosA).sinAsinB0，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或ABeq f(,2)，故ABC為等腰三角形或直角三角形.題型四 三角形解的個(gè)數(shù)的判斷例4已

8、知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2eq r(3)，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin6010eq r(3)，absinA，本題無解(2)a2eq r(3)，b6，ab，A30bsinA，bsinAa1，此三角形無解解法二：c2，bsinC2eq r(3)，cbsinC故此三角形無解解法三：在角C的一邊上確定頂點(diǎn)A，使ACb4eq r(3)，作ACD30，以頂點(diǎn)A為圓心，ABc2為半徑畫圓，如圖所示，該圓與CD沒有交點(diǎn)，說明該三角形解的個(gè)數(shù)為0.(2)因?yàn)锳453b，所以ABC的個(gè)數(shù)為1.題

9、型五 正弦定理與三角恒等變換的工具作用例5已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosCeq r(3)asinCbc0.求A解由正弦定理及acosCeq r(3)asinCbc0，得sinAcosCeq r(3)sinAsinCsinBsinC0.又sinBsin(AC)，于是sinAcosCeq r(3)sinAsinC(sinAcosCcosAsinC)sinC0，得sinC(eq r(3)sinAcosA1)0，因?yàn)镃(0，)，所以sinC0，即eq r(3)sinAcosA1即sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)eq f(1,2)，所以Aeq f

10、(,6)eq f(,6)，即Aeq f(,3).正弦定理在研究三角形邊角關(guān)系中，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)變，邊轉(zhuǎn)化成角或角轉(zhuǎn)化為邊，利用三角恒等變換或解方程求解在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinAacosC(1)求角C的大??；(2)求eq r(3)sinAcoseq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,4)的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大小解(1)由正弦定理及已知條件得sinCsinAsinAcosC因?yàn)?A0，從而sinCcosC，則Ceq f(,4).(2)由(1)知，Beq f(3,4)A，于是eq r(3)sinAcoseq blc(rc)(avs4

11、alco1(Bf(,4)eq r(3)sinAcos(A)eq r(3)sinAcosA2sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6).因?yàn)?Aeq f(3,4)，所以eq f(,6)Aeq f(,6)0，所以2cosC1，cosCeq f(1,2).因?yàn)镃(0，)，所以Ceq f(,3).(2)由余弦定理，得c2a2b22abcosC,7a2b22abeq f(1,2)，即(ab)23ab7，Seq f(1,2)absinCeq f(r(3),4)abeq f(3r(3),2)，所以ab6，所以(ab)2187，ab5，所以ABC的周長為abc5eq r(7).三角形面積計(jì)算

12、的解題思路對(duì)于此類問題，一般用公式Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)acsinB進(jìn)行求解，可分為以下兩種情況：(1)若所求面積為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積(2)若所給條件為邊角關(guān)系，則需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進(jìn)行求解如圖所示，在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，求AB的長解在ADC中，由余弦定理的推論，得cosADCeq f(AD2DC2AC2,2ADDC)eq f(10036196,2106)eq f(1,2)，因?yàn)锳DC(0，180)

13、，所以ADC120，所以ADB18012060.在ABD中，由正弦定理，得ABeq f(ADsinADB,sinB)eq f(10sin60,sin45)eq f(10f(r(3),2),f(r(2),2)5eq r(6).1在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2asinB，則角A等于()A30 B45 C60 D75答案A解析b2asinB，利用正弦定理的變式得sinB2sinAsinBsinB0，A為銳角，sinAeq f(1,2)，A30.2在ABC中，已知a8，B60，C75，則b等于()A4eq r(2) B4eq r(3) C4eq r(6) Deq f(32,3)答案C解析A180(BC)45，然后再利用正弦定理求出b4eq r(6).3在ABC中，若sinAsinB，則角A與角B的大小關(guān)系為()AABBAsinB2RsinA2RsinBabAB4在ABC中，已知a5eq r(2)，c10，A30，則B_.答案105或15解析根據(jù)正弦定理eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，得sinCeq f(csinA,a)eq f(10f