數(shù)學(xué)物理方法-14.1 分離變量法-直角坐標(biāo)系課件

1、直角坐標(biāo)系的分離變量法引例：求解關(guān)于u(x, y)的偏微分方程X寫出上述問題的定解問題t=0時刻例：寫出兩端固定弦的定解問題，把弦拉到y(tǒng)=Asin(x/l)，自然釋放。l有界弦的自由橫振動 直角坐標(biāo)系下的分離變量法分離變量法的基本思想1、解分離成時間函數(shù)和空間函數(shù)的乘積，代入偏微分方程；2、推導(dǎo)時間函數(shù)和空間函數(shù)分別滿足的常微分方程，逐個求解；（待續(xù)）將解表示為時間函數(shù)空間函數(shù)以下述方程為例：由泛定方程和邊界條件，可得待定常數(shù)如何考慮初始條件？第一步：時空變量分離、推導(dǎo)時空函數(shù)控制方程初始條件含空間函數(shù)，須先確定空間函數(shù)X(x)（1）當(dāng) 時，方程沒有非0解；（2）當(dāng) 時，方程也沒有非0解；（3

2、）當(dāng) 時，方程有如下形式的通解第二步：時空函數(shù)方程分別求解:固有值問題結(jié)論：只有當(dāng)為特定值時，才有非0解。求非0解若干概念：若對于的某些值，常微分方程定解問題的非0解存在，則稱這種的取值為該問題的固有值（或特征值）；同時稱相應(yīng)的非0解為該問題的固有函數(shù)（或特征函數(shù)）。這樣的問題通常叫做Sturm-Liouville問題（或固有值問題）。第二步：時空函數(shù)方程分別求解固有值問題,也稱為邊值問題,或特征值問題。 稱為固有值問題的一系列固有值，相應(yīng)的非零解為對應(yīng)的固有函數(shù)。第二步：時空函數(shù)方程分別求解:固有值問題這樣，就得到泛定方程的滿足齊次邊界條件的下列變量分離的一個特解式中， 是任意常數(shù)，當(dāng)如何確

3、定？注意：定解問題的初始條件沒有采用！第三步：解迭加、確定參數(shù)特解迭加為了確定 ，使得上式也滿足初始條件，在上式及其關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)式中，令由初始條件得根據(jù)上面兩式如何確定 ? 第三步：解迭加、確定參數(shù)參數(shù)確定上述定解問題的解是系數(shù)為最終結(jié)果上述解，作為一個無窮級數(shù)解，要具有實際應(yīng)用價值的條件是什么？級數(shù)要收斂，收斂越快越好！如何判斷它的收斂性？傅立葉級數(shù)展開定理取級數(shù)的一般項，并作如下變形：式中， 最大振幅相位 圓頻率記參數(shù) 為弦的固有頻率，其中 是基頻。結(jié)果分析兩端固定弦的振動：舉例t=0t=T/2兩端固定弦的振動：舉例節(jié)點，駐波t=0t=T/2分離變量法的基本步驟基本步驟：變量分離，分別導(dǎo)出初始值問題，固有值問題；求解固有值問題，確定邊值問題的固有值和固有函數(shù)；根據(jù)固有值，求解初始值問題，得到對應(yīng)于一個固有值的一個特解；所有特解疊加，需要根據(jù)偏微分方程的初始條件。將解表示為 時間