立體幾何(幾何法)-線面角

1、 / 7立體幾何（幾何法）線面角CD例 1（本小題滿分 12 分）（注意：在試題卷上作答無效 ） 如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD 為菱形， PA 底面ABCD ， AC 2 2，PA 2，E是 PC上的一點(diǎn)， PE 2EC。（）證明： PC 平面 BED ；（）設(shè)二面角 A PB C 為 90o，求 PD 與平面 PBC 所成角的 大小?！敬鸢浮?解：方法一： （1）證明：因?yàn)榈酌?ABCD 為菱形，所 以 BD AC，又 PA底面 ABCD，所以 PCBD.設(shè) AC BD F，連結(jié) EF.因?yàn)?AC2 2，PA2，PE2EC，故PC2 3，EC233，F(xiàn)C 2，從而 FPCC

2、6，EACC 6.因?yàn)镻C ACFCEC，F(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90 ，由此知 PCEF.PC與平面 BED內(nèi)兩條相交直線 BD，EF都垂直，所以 PC平面 BED.(2)在平面 PAB內(nèi)過點(diǎn) A作 AGPB，G 為垂足因?yàn)槎娼?APBC為90 ，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB 平面 PBCPB，故 AG平面 PBC， AG BC.BC 與平面 PAB 內(nèi)兩條相交直線 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以底面 ABCD 為正方形， AD2，PD PA2AD22 2.設(shè) D 到平面 PBC 的距離為 d.因?yàn)?ADBC，且 AD?平

3、面 PBC， BC? 平面 PBC，故 AD平面 PBC，AD 兩點(diǎn)到平面 PBC 的距離相等，即 dAG 2.d1設(shè) PD 與平面 PBC 所成的角為 ，則 sin PD 2.所以 PD 與平面 PBC 所成的角為 30 .方法二： (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AC為 x軸的正半軸，建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系 A xyz.0，23 ，B（ 2，設(shè) C（2 2，0,0），D（ 2，b,0），其中 b0，則 P（0,0,2），E 432，b,0）于是PC（2 2，0，2），BE 32，b，32 ，DE 32，b，23 ，從而 PCBE 0，PCDE0，故 PCBE， PCDE.又 BEDE

4、E，所以 PC平面 BDE.（2）AP（0,0,2），AB（ 2， b,0）設(shè)（x，y，z）為平面 PAB 的法向量，則 AP0，AB0，即 2z0 且 2xby0，令 xb，則 （b， 2，0）設(shè)（p，q，r）為平面 PBC 的法向量，則PC0，BE0，即 2 2p2r0 且 32pbq 32r 0，令 p 1，則 r 2，q b2， 1， b2， 2 .2因?yàn)槊?PAB面 PBC，故0，即 bb0，故 b 2，于是 （1，1， 2）， DP（ 2， 2，2），n DP 1cos， DP 2，|n|DP| 2， DP 60 .因?yàn)?PD 與平面 PBC 所成的角和， DP互余，故 PD與平面

5、 PBC所成的角為 30.例 2（ 2012 高考天津文科 17）（本小題滿分 13 分）如圖 14，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC1，PC2 3， PDCD2.(1)求異面直線 PA與 BC所成角的正切值；(2)證明平面 PDC平面 ABCD；(3)求直線 PB與平面 ABCD 所成角的正弦值圖 1 4【答案】 解：(1)如圖所示，在四棱錐 PABCD中，因?yàn)榈酌?ABCD 是矩形， 所以ADBC且ADBC，又因?yàn)?ADPD，故PAD為異面直線 PA與BC所成 的角PD在 RtPDA 中， tanPAD AD2.所以，異面直線 PA與 BC所成角的正切值為

6、2.(2)證明：由于底面 ABCD 是矩形，故 ADCD，又由于 ADPD，CDPD D，因此 AD平面 PDC，而 AD? 平面 ABCD，所以平面 PDC平面 ABCD.(3)在平面 PDC內(nèi)，過點(diǎn) P作PECD交直線 CD于點(diǎn)E，連接EB.由于平面 PDC平面 ABCD，而直線 CD 是平面 PDC 與平面 ABCD 的交線， 故 PE平面 ABCD.由此得PBE 為直線 PB 與平面 ABCD 所成的角在PDC 中，由于 PDCD2，PC2 3，可得PCD30 .在 RtPEC中， PEPCsin30 3.由 ADBC，AD平面 PDC，得 BC平面 PDC，因此 BC PC.在 Rt

7、PCB中， PB PC2BC2 13.在 RtPEB 中，sinPBEPE 39.PB 13 .所以直線 PB 與平面 ABCD所成角的正弦值為39.13 .例3(2012高考浙江文 20)(本題滿分 15分)如圖 15，在側(cè)棱垂直底面的四棱 柱 ABCDA1B1C1D1 中，ADBC，ADAB，AB 2，AD2，BC4，AA1 2，E是DD1的中點(diǎn)， F是平面B1C1E與直線 AA1的交點(diǎn)(1)證明： (i)EFA1D1；(ii) BA1平面 B1C1EF；(2)求 BC1與平面 B1C1EF 所成的角的正弦值圖 1 5答案】 解：(1)證明：()因?yàn)?C1B1A1D1，C1B1?平面 A1D 1DA ，所以 C1B1平面 A1D1DA，又因?yàn)槠矫?B1C1EF平面 A1D1DAEF，所以 C1B1EF，所以 A1D1EF.( )因?yàn)?BB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1B1C1.又因?yàn)?B1C1B1A1，所以 B1C1平面 ABB1A1，所以 B1C1 BA1.在矩形 ABB1A1中， F是AA1的中點(diǎn)， tanA1B1FtanAA1B 22， 即A1B1FAA1B，故 BA1B1F ，所以 BA1平面 B1C1EF.(2)設(shè) BA1與 B1F 交點(diǎn)為 H，連結(jié) C1H.由(1)知 BA1平面 B1C1EF，所以BC1H 是 BC1