小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專(zhuān)業(yè)知識(shí)

1、數(shù)學(xué)教師招聘考試專(zhuān)業(yè)知識(shí)復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)要求(由于招考題目?jī)H為高考知識(shí)，所以本內(nèi)容以均為高考知識(shí)點(diǎn))1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；5、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論及等價(jià)變換等思想方法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、集合的概念：集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；集合的分類(lèi)：按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集y|y=x2，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集(x,y)|y=x2表示開(kāi)

2、口向上，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線；集合的表示法：列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N=O,1,2,3,T；描述法。+2、兩類(lèi)關(guān)系：元素與集合的關(guān)系，用或纟表示；集合與集合的關(guān)系，用匸,二,二表示，當(dāng)A匸B時(shí)，稱(chēng)A是B的子集；當(dāng)A二B時(shí)，稱(chēng)A是B的真子集。3、集合運(yùn)算交，并，補(bǔ)，定義：AHB=x|xGA且xWB,AUB=x|xGA，或xWB,A二x|xWU,且x電A,集合U表示全集；運(yùn)算律，如An(BUC)=(AHB)U(AnC),C(AHB)=(CA)U(CB),UUUC(AUB)=(CA)n(CB)等。UUU4、命題：命題分類(lèi)：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；復(fù)合命題的形式：

3、p且q,p或q,非p；復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。四種命題：記“若q則p”為原命題，貝9否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。5、充分條件與必要條件定義：對(duì)命題“若p則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱(chēng)p是q

4、的充要條件；在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿(mǎn)足條件p的所有對(duì)象組成集合A,滿(mǎn)足條件q的所有對(duì)象組成集合q,則當(dāng)A匸B時(shí)，p是q的充分條件。B匸A時(shí)，p是q的充分條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。三、典型例題例1、已知集合M=y|y=x2+1,xWR,N=y

5、|y=x+1,xWR，求MQN。解題思路分析：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合，或者說(shuō)使集合的特征明朗化oM=y|y=x2+1,xGR=y|y三1,N=y|y=x+1,xGR=y|yRMQN=M=y|y三1說(shuō)明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M,N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合y|y=f(x),xGA應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過(guò)求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合(x,y)|y=x2+1,xGR是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素

6、的字母無(wú)關(guān)，例y|y1=x|x1。例2、已知集合A=x|x2-3x+2=0,B+x|x2-mx+2=0,且AQB=B，求實(shí)數(shù)m范圍。解題思路分析：化簡(jiǎn)條件得A=1,2,AQB=BoB匸A根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類(lèi)討論，B,B=1或2,B=1,2當(dāng)B=時(shí)，=m2-80-2込m2叮2當(dāng)B=1或2時(shí)，F(xiàn)卡，m無(wú)解1-m+2=0或4-2m+2=01+2=m當(dāng)B=1,2時(shí)，1x2=2m=3綜上所述，m=3或-22m22說(shuō)明：分類(lèi)討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個(gè)重要方面，如本題當(dāng)B=1或2時(shí)，不能遺漏=0。例3、用反證法證明：已知x、yWR,x+y三2，求證x、y中至少有

7、一個(gè)大于1。解題思路分析：假設(shè)x1且y1,由不等式同向相加的性質(zhì)x+y2與已知x+y三2矛盾假設(shè)不成立x、y中至少有一個(gè)大于1說(shuō)明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證“若p則非q”為假，因在條件p下，q與非q是對(duì)立事件(不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立)，所以當(dāng)“若p則非q”為假時(shí)，“若p則q”一定為真。例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。解題思路分析：利用“n”、“o”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系DnCoBnADnA,D是A的充分不必要條件說(shuō)明：符號(hào)“n”、“o”具有傳遞性，不過(guò)前者是單方向的，后者是雙方向的。例5、求直線入

8、：ax-y+b=0經(jīng)過(guò)兩直線入:2x-2y-3=0和入2：3x-5y+l=0交點(diǎn)的充要條件。解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性?xún)煞矫孀C明。(2x2y3=01711、由得入，X父點(diǎn)P(,)TOC o 1-5 h z3x5y+1=01244TX過(guò)點(diǎn)P1711ax+b=4417a+4b=11充分性：設(shè)a,b滿(mǎn)足17a+4b=111117ab=4代入X方程：ax-y+丁=0TOC o 1-5 h z1117整理得：(y)a(x)=044此方程表明，直線X恒過(guò)兩直線y-衛(wèi)=0,x口=0的交點(diǎn)(乂)444而此點(diǎn)為*與的交點(diǎn)充分性得證綜上所述，命題為真說(shuō)明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種

9、是利用“o”，雙向傳輸，同時(shí)證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充分性。四、同步練習(xí)選擇題1、設(shè)M=x|x2+x+2=0,a=lg(lg10)，貝9a與M的關(guān)系是A、a=MB、M莓a(chǎn)C、a呈MD、Mna2、已知全集U=R,A=x|x-a|2,B=x|xT|23，且AQB=，則a的取值范圍是A、0，2B、（-2，2）C、（0，2D、（0，2）3、已知集合M=x|x=a23a+2,aWR,N、x|x=b2-b，bR，則M,N的關(guān)系是A、M瑩NB、M呈NC、M=ND、不確定4、設(shè)集合A=x|xWZ且TOWxWT,B=x|xWZ,且|x|W5，貝VAUB中的元素個(gè)數(shù)

10、是A、11B、10C、16D、155、集合M=1,2,3,4,5的子集是A、15B、16C、31D、326、對(duì)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等”,下面判斷正確的是A、所給命題為假B、它的逆否命題為真C、它的逆命題為真D、它的否命題為真7、“aMB”是cosaMcosB”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件8、集合A=x|x=3k2,kWZ,B=y|y=3入+1,XWZ,S=y|y=6m+1,mWZ之間的關(guān)系是A、S呂B莓AB、S=B呂AC、S莓B=AD、S呈B=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是A、0mW1或m0B、0mW1C、m1D、m

11、W110、已知p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a,b是整數(shù)，則p是q的A、充分不必要條件B、必要不充分條件充要條件D、既不充分又不必要條件二）填空題TOC o 1-5 h z11、已知M=mimgZ,N=x|gN，則MHN=。2212、在100個(gè)學(xué)生中,有乒乓球愛(ài)好者60人,排球愛(ài)好者65人,則兩者都愛(ài)好的人數(shù)最少是人。13、關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是。14、命題“若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為。15、非空集合p滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）p寫(xiě)1,2,3,4,5,（2）若元素aWp，則6-aWp，貝集合p個(gè)數(shù)是三）解答題16、設(shè)集合A=（x

12、,y）|y=ax+1,B=（x,y）|y=|x|,若AHB是單元素集合，求a取值范圍。17、已知拋物線C：y=-x2+mx-l，點(diǎn)M(0,3),N(3,0),求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。18、設(shè)A二x|x2+px+q=0工,M=1,3,5,7,9,N=1,4,7,10，若APlM=,AAN=A,求p、q的值。19、已知a=x2+2,b=2-x,c=x2-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個(gè)不小于x函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求7、函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、函數(shù)的概念：映射：設(shè)非空數(shù)集A,B,若對(duì)集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b與之對(duì)應(yīng)，貝9稱(chēng)從

13、A到B的對(duì)應(yīng)為映射，記為f：A-B,f表示對(duì)應(yīng)法則，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，則稱(chēng)映射為單射，若B中每一個(gè)元素都有原象與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)映射為滿(mǎn)射。既是單射又是滿(mǎn)射的映射稱(chēng)為一一映射。函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射，此時(shí)稱(chēng)數(shù)集A為定義域，象集C=f(x)|xGA為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對(duì)應(yīng)法則決定了值域,是兩個(gè)最基本的因素。逆過(guò)來(lái),值域也會(huì)限制定義域。求函數(shù)定義域,通過(guò)解關(guān)于自變量的不等式(組)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的定義域,通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù),其定義域是每個(gè)初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域,不僅要考慮內(nèi)

14、函數(shù)的定義域,還要考慮到外函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定義域,應(yīng)緊密聯(lián)系對(duì)應(yīng)法則。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。函數(shù)對(duì)應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格,解析式和圖象。其中解析式是最常見(jiàn)的表現(xiàn)形式。求已知類(lèi)型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法,抽象函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值(極值)更加方便。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都存在著求取值范圍這一典型問(wèn)題，它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。2、函數(shù)的通性

15、奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)解析式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，如-x)土f(x)=0,上耳=1(f(x)工0)。f(x)奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對(duì)稱(chēng)。函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化判斷奇偶性的步驟。單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法，即比差法；圖象法；單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì))復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍

16、的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等。周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。求周期的重要方法：定義法；公式法；圖象法；利用重要結(jié)論：若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)二f(b+x),aMb,則T=2|a-b|。反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-i(x)的性質(zhì)與f(x)性質(zhì)緊密相連，如定義域、值域互換，具有相同的單調(diào)性等，把反函數(shù)J(x)的問(wèn)題化歸為函數(shù)f(x)的問(wèn)題是處理反函數(shù)問(wèn)題的重要思想。設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)锳，值域?yàn)?/p>

17、C,則f-if(x)=x，xWAff-i(x)=x，xWC8、函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過(guò)程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：描點(diǎn)法；圖象變換。應(yīng)掌握常見(jiàn)的圖象變換。4、本單常見(jiàn)的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。在具體的對(duì)應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這些具體對(duì)應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。對(duì)于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法(變量代換法)解題。聯(lián)系到具體的函數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解題思路，及解題突破口。應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用

18、題的關(guān)鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題2x+3例1、已知f(x)=一-，函數(shù)y=g(x)圖象與y=f-i(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，求g(11)的值。x-1分析：利用數(shù)形對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是丫=匚心+1)的反函數(shù)，從而化g(x)問(wèn)題為已知f(x)。.y=f-1(x+1)x+1=f(y)x=f(y)-1y=f-1(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1即g(x)=f(x)-13g(11)=f(11)-1=-2評(píng)注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，若b=f(a)，則a=f-1(b)。例2、設(shè)f(x)是定義在(-8,

19、+8)上的函數(shù)，對(duì)一切xWR均有f(x)+f(x+2)=0,當(dāng)TxW1時(shí)，f(x)=2x-l,求當(dāng)1xW3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。解題思路分析：利用化歸思想解題*.*f(x)+f(x+2)=0f(x)=-f(x+2)/該式對(duì)一切xGR成立以x_2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)當(dāng)1xW3時(shí)，-1x-2W1.f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5.f(x)=-f(x-2)=-2x+5f(x)=-2x+5(1xW3)評(píng)注：在化歸過(guò)程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過(guò)程中還體現(xiàn)了整體思想。例3、已知g(x)=-x2-3,

20、f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x-1，2時(shí)，f(x)的最小值，且f(x)+g(x)為奇函數(shù)，求f(x)解析式。分析：用待定系數(shù)法求f(x)解析式設(shè)f(x)=ax2+bx+c(aMO)則f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù)|a1c-3=0a=1c=3.f(x)=x2+bx+3下面通過(guò)確定f(x)在-1,2上何時(shí)取最小值來(lái)確定b，分類(lèi)討論。f(x)=(X+b)2+3-牛，對(duì)稱(chēng)軸x=-b當(dāng)-匕三2,bW-4時(shí),f(x)在-1,2上為減函數(shù)2(f(x)min=f(2)=2b+7.2b+7=1b=3(舍)-4b1,且對(duì)任意的a、bWR，有f(a+b)=f(a)f(b)

21、,求證：f(0)=1；求證：對(duì)任意的xWR,恒有f(x)0；證明：f(x)是R上的增函數(shù)；若f(x)f(2x-x2)l，求x的取值范圍。分析：令a=b=O，則f(0)=f(0)2f(0)工0f(0)=1令a=x,b=-x則f(0)=f(x)f(-x)f(-x)=丄f(x)由已知x0時(shí)，f(x)l0當(dāng)x0f(x)=10f(-x)又x=0時(shí)，f(O)=lO對(duì)任意xWR,f(x)O任取xx，則f(x)0,f(x)0,x-x0212121f(x)(2)=f(x)-f(-X)=f(X-X)1f(x)21.f(x)f(x)21f(x)在R上是增函數(shù)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2

22、+3x)又1=f(0)，f(x)在只上遞增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20.0 x0,y0由已知得0 xy=(x-2y)2x=4y，=4yxlog-=log4=42y-2例6、某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件，1.2萬(wàn)件，1.3萬(wàn)件，為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用y=abx+c(其中a,b，c為常數(shù))或二次函數(shù)，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件，請(qǐng)問(wèn)用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說(shuō)明理由。分析：設(shè)f(x)二px2+qx+r(pMO)f(l)=p+q+r=1貝yjf(2)=4p+2

23、q+r=1f(3)=9p+3q+r=1.3p=0.05q=0.35、r=0.7f(4)=-0.05X42+0.35X4+0.7=1.3設(shè)g(x)二abx+cg(1)=ab+c=1則bcB、acbC、bcaD、cba2、方程log(x+2)=JX(a0且aM1)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是aA、0B、1C、2D、33、y=(t)1-x|的單調(diào)減區(qū)間是A、(-8,1)B、(1,+8)C、(-8,-1)u(1,+8)D、(-8,+8)9、函數(shù)y=log丄(x2-4x+的值域?yàn)?A、(-8,3B、(-8,-3C、(-3,+8)D、(3,+8)10、函數(shù)y=log2|ax-l|(aMb)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2,

24、則a等于A、1B、-1C、2D、-2226、有長(zhǎng)度為24的材料用一矩形場(chǎng)地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長(zhǎng)度為A、3B、4C、6D、12二)填空題7、已知定義在R的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)0WxW1時(shí)，f(x)=x,則f(一)=28、已知y=log(2-x)是x的增函數(shù)，貝a的取值范圍是。a9、函數(shù)f(x)定義域?yàn)?,3,則f(x2+1)的定義域是。10、函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是11、已知f(x)=log3x+3,xW1,9,則y=f(x)2+f(x2)的最大值是。12

25、、已知A=y|y=x2-4x+6,yN,B=y|y=-x2-2x+18,yN，則AHB中所有元素的和是。13、若(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=m(x)+ng(x)+2在(0,+Q上有最大值，貝Vf(x)在0)上最小值為14、函數(shù)y=log2(x2+1)(x0)的反函數(shù)是15、求值：1+1+xa-b+xa-c1+xb-c+Xb-a11+Xc-a+Xc-b三)解答題16、若函數(shù)f(x)=竺土1的值域?yàn)門(mén),5,求a,c。X2+c17、設(shè)定義在-2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1-m)f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。18、已知0a1,在函數(shù)y=logx(x1)的圖象上有A,

26、B,C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+2,t+4a若厶ABC面積為S,求S=f(t)；判斷S=f(t)的單調(diào)性；求S=f(t)最大值。219、設(shè)f(x)二a,xWR2x+1證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a,f(x)在(-8,+b)上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求a；當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k,解不等式f-1(x)log?11。x320、設(shè)0al,函數(shù)f(x)二log的定義域?yàn)閙,n,值loga(n-l),loga(m-l),ax+3aa求證：m3；求a的取值范圍。數(shù)列一、復(fù)習(xí)要求11、等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)；2、一般數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和計(jì)算。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、

27、數(shù)列,是按照一定順序排列而成的一列數(shù),從函數(shù)角度看,這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù),其特殊性在于：第一,定義域是正整數(shù)集或其子集第二,值域是有順序的,不能用集合符號(hào)表示。研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則通項(xiàng)公式：a=f(n),nWN，要能合理地由數(shù)列前n項(xiàng)寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其次研究前n項(xiàng)和公式S:S=a+a+a，由S定義，得到數(shù)列中的重要公式：TOC o 1-5 h zn+nn12nnSn=1a=2nn1一般數(shù)列的a及S,除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求S還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。nnn2、等差數(shù)列定義，a為等差數(shù)列oa-a=d(常數(shù))，nNo2a=a+

28、a(n22,nN)；前n項(xiàng)和公式:=na1n(n-1)d2nn+1n+nn-1n+1+性質(zhì)：a=an+b,即a是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差;nnS=an通項(xiàng)公式:a=a+(n-1)d,a=a+(n-m)d；nnnm+bn,即S是n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；nn若a,b均為等差數(shù)列，則an,芳a,ka+c(k,c為常數(shù))均為等差數(shù)列;nnnnkni=1當(dāng)m+n=p+q時(shí),a+a=a+a，特例:a+a=a+a=a+a二；mnpq1n2n-13n-2當(dāng)2n=p+q時(shí)，2a=a+a；npq偶2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S=(2n-1)a；S奇=士乜a中2n-1n奇2中3、等比數(shù)列(l)定義：an=q(q

29、為常數(shù)，a工0)；na2=aann-1n+1(n三2,nWN)；+2)通項(xiàng)公式：a=aqn-l,a=aqn-m;nlnm前n項(xiàng)和公式：S=nna1a(1qn)3)性質(zhì)當(dāng)m+n=p+q時(shí),aa=aa,mnpq特例：aa二aa二aa二，1n2n-13n-2芳a成等比數(shù)列。ii=1當(dāng)2n=p+q時(shí)，a2二aa，數(shù)列ka，npqn4、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等;靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；若a為等差數(shù)列，貝畀aan為等比數(shù)列(a0且aMl)；n若a為正數(shù)等比數(shù)列，則loga為等差數(shù)列(a0且aMl)。nan

30、三、典型例題例1、已知數(shù)列a為等差數(shù)列，公差dM0，其中a，a，a恰為等比數(shù)列，若k=1，k=5，k=17，求k+k+k。nkkkl23l2n12n解題思路分析：從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手設(shè)a首項(xiàng)為a，公差為dn1*/a，a，a成等比數(shù)列1517:a2=aa5117.*.(a+4d)2=a(a+16d)111.a=2d1設(shè)等比數(shù)列公比為q,則q=a5=t廻=3aa11對(duì)a項(xiàng)來(lái)說(shuō)，knk亠1在等差數(shù)列中：a=a+(k1)d=-akn1n21在等比數(shù)列中：a=aqn1=a3n1kn11k=2-3n-11nk+k+Ak=(2-301)+(2-311)+A+(2-3n-11)=2(1+3+A+3n-1

31、)n12n=3nn1注：本題把k+k+k看成是數(shù)列k的求和問(wèn)題，著重分析k的通項(xiàng)公式。這是解決數(shù)列問(wèn)題的一般方法，稱(chēng)為“通項(xiàng)分析法”12nnnS例2、設(shè)數(shù)列a為等差數(shù)列，S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，已知S=7,S=75,T為數(shù)列S-的前n項(xiàng)和，求T。nnn715nnn解題思路分析：法一：利用基本元素分析法設(shè)a首項(xiàng)為a，公差為d,則n1S7=7a1+75S15=15a1a1一2d=1=2+n(n-1)2此式為n的一次函數(shù)SSn為等差數(shù)列nTn=抄-A法二：a為等差數(shù)列，設(shè)S=An2+BnnnS=Ax72+7B=77S=Ax152+15B=7515解之得：Sn=2n2-fn，下略注：法二利用了等差數(shù)列前

32、n項(xiàng)和的性質(zhì)例3、正數(shù)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,且2啟=a+1，求:nnnn(1)數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n2)設(shè)bnaann+1數(shù)列b的前n項(xiàng)的和為B,求證：B0n.a-a=2nn-1a為公差為2的等差數(shù)列n在2百=a+1中，令n=l,a=1nn1.a=2n-1nII)bn(2n-1)(2n+1)=2為12n+1111111111111TOC o 1-5 h zB=一()+()+A+()=()=2左上0(*)TOC o 1-5 h zS-cc-SkkS=4(1-)0k2k3式(*)o_S-2cSk+ik3-S-2-S-2=1k21又S4k由得：c=2或c=3當(dāng)c=2時(shí)JS=21k=l時(shí)，cc222由S

33、S得：-S-2c,從而式不成立2k當(dāng)c=3時(shí)，S2,S=312當(dāng)心1,2時(shí),Cc,-S-2c，從而式不成立2kS-c綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使-k+12成立S-ck例7、某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相等)從大到小，由1到n排序，第1位職工得資金-元,n然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金。設(shè)a(1WkWn)為第k位職工所得資金額，試求a,a,并用k,n和b表示a(不必證明)；k23k證明：a0kk+1n2n此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大

34、鍋飯”等原則。例8、試問(wèn)數(shù)列l(wèi)g100sinn-i的前多少項(xiàng)的和最大，并求這個(gè)最大值(lg2=0.3010)4解題思路分析：法一：an=2+(-lg)(n-1)aj為首項(xiàng)為2,公差為lgJI的等差數(shù)列-=2n+n(n-1)(-lg2)=-0.07525n2+2.07525nn2=-0.07525(n13.8)2+13.82x0.07525nN+n=14時(shí)，(S)=14.35nmax法二：Ta=20，d=一lg、20a是遞減數(shù)列，且S必為最大值nn設(shè)akla02+k(-lg、Q)0k13.2k=14(S)=S=14.35nmax14四、同步練習(xí)(一)選擇題1、a，A、已知a,b，a+b成等差數(shù)列

35、，a，b，ab成等比數(shù)列，且0logabl，則m取值范圍是mD、0ml或m8m1B、1m82、設(shè)a0,b0,a，x1，x2，A、C、x+xWy+y1212x+xy+y1212b成等差數(shù)列，a,yi，y2，b成等比數(shù)列，貝Vxjx?與yJy?的大小關(guān)系是B、x+x三y+y1212D、x+xy+y121212、已知S是a的前n項(xiàng)和，S=Pn(PGR,nGN),那么數(shù)列a+B、當(dāng)PMO時(shí)是等比數(shù)列D、不是等比數(shù)列aa+2aa+aa=25，貝Va+a等于24354635C、15D、20nnA、是等比數(shù)列C、當(dāng)PMO,PM1時(shí)是等比數(shù)列a是等比數(shù)列，且a0,nnB、1013、A、514、已知a,b,c成

36、等差數(shù)列,A、0B、1則二次函數(shù)y=ax2+2bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是D、1或2C、215、A、8204設(shè)mWN,log2m的整數(shù)部分用F(m)表示，貝打(1)+肛2)+F(1024)的值是B、8192C、9218D、80217、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(aMb)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則a+b的值為A、B、1124C、1324D、31728、在100以?xún)?nèi)所有能被3整除但不能被7整除的正整數(shù)和是A、1557B、1473C、1470D、13689、從材料工地運(yùn)送電線桿到500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m埋栽一根電線桿，已知每次最多只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)載2

37、0根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸車(chē)運(yùn)行A、11700mB、14700mC、14500mD、14000m分析：10、已知等差數(shù)列a中，|a|=|a|,公差d0,則使前n項(xiàng)和S取最大值的正整數(shù)n是TOC o 1-5 h zn39nA、4或5B、5或6C、6或7D、8或9二)填空題11、已知數(shù)列a滿(mǎn)足a+2a+3a+na二n(n+1)(n+2),則它的前n項(xiàng)和S=。n123nn12、設(shè)等差數(shù)列a共有3n項(xiàng)，它的前2n項(xiàng)之和為100,后2n項(xiàng)之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于。n13、設(shè)數(shù)列a,b(b0),nGN滿(mǎn)足an=lgbi+】gb2+人+仗(nGN),貝a為等差數(shù)列是b為等比數(shù)列的

38、條件。nnn+n+nn14、長(zhǎng)方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm3，則全面積的最小值是cm設(shè)S=|a|+|a|+|a|,求S；n12nn。15、若不等于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則(2-loga)(1+loga)二。bc三)解答題16、已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。試比較A與B大小。nn17、已知等比數(shù)列a的首項(xiàng)為a0，公比qT(qM1),設(shè)數(shù)列b的通項(xiàng)b=a+a(nN),數(shù)列a,b的前n項(xiàng)和分別記為A,B,n1nnn+1n+2+nnnn18、數(shù)列a中，a=8,a=2且滿(mǎn)足a=2a-a(nN)n14n+2n

39、+1n+求數(shù)列a通項(xiàng)公式；n1n(12-a)n(匹)5+葉十，是否存在最大的整數(shù)“，使得對(duì)于任意的n&N,均有Tn32成立？若存在，求出m的值;若不存在，說(shuō)明理由。三角函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求16、三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等;3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、角的概念的推廣。從運(yùn)動(dòng)的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于3600的角。這樣一來(lái)，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，下同)。為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊a相同的角

40、，都可以表示成k3600+a的形式，特例，終邊在x軸上的角集合a|a=k180。，kWZ，終邊在y軸上的角集合a|a=k180。+90。，kZ，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合a|a=k90。，kZ。在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉?，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式=|a|R，扇形面積公式S=1AR=-R2a|，其中a為弧所對(duì)圓心角22的弧度數(shù)。2、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。設(shè)P(

41、x,y)是角a終邊上任一點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合)，記r=IOPI=px2+y2，則sina=y，cosa=X，tana=y，cota=X。rrxy利用三角函數(shù)定義，可以得到(1)誘導(dǎo)公式：即k冗t+a與a之間函數(shù)值關(guān)系(kWZ),其規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。23、三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例，對(duì)公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式：cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a,變形后得cos2a=COs2a,sin2a=1-COs2a，可以作為降幕公式使用。22三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為

42、研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒(méi)有的周期性。周期性的定義：設(shè)T為非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域中的每一個(gè)x，均有f(x+T)=f(x)，則稱(chēng)T為f(x)的周期。當(dāng)T為f(x)周期時(shí)，kT(kGZ，kM0)也為f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱(chēng)為幾何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題；分類(lèi)討論。三、典型例題例1、已知函數(shù)f(x)二log-(sin

43、x一cosx)2求它的定義域和值域；求它的單調(diào)區(qū)間；判斷它的奇偶性；判斷它的周期性。.兀5(1)x必須滿(mǎn)足sinx-cosx0,利用單位圓中的三角函數(shù)線及2k冗+x2k冗+-冗,kZ4.函數(shù)值域?yàn)?,+8)Vf(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)f(x)不具備奇偶性.f(x+2n)=f(x)函數(shù)f(x)最小正周期為2n注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以I、II象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)以II、III象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)，如圖。例2、化簡(jiǎn)2門(mén)+sina+同+cosa),aW(n,2n)分析：湊根號(hào)下為完全平方式，化無(wú)理式為有理式aaa

44、aaa.1+sina=sin2+cos2+2sincos=(sin+cos)2222222aa2(1+cosa)=2(1+2cos2-1)=4cos2原式=2|si咱+cos+2|co丐1*.*aW(n,2n)冗)cos022原式二2sina2當(dāng)冗a冗，3冗a2冗時(shí)，sin+cosa02222+arctan2)原式=-2sin守-4cos=-2由原式二2sin11、本題利用了“1”的逆代技巧，即化1為sin2f+cos2I，是欲擒故縱原則。一般地有門(mén)+sin2a=|sinacosa1，“+cos2a=3cosa1，亠cos2a=3sina2、三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一

45、，引進(jìn)輔助角，將它化為：a2+b2sin(x+Q)(取=arctan)是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx,土sinx丫3acosx，要熟練掌握變形結(jié)論。3例3、求(sin21400cos214002sin100分析：原式=3cos2140。-sin2140。sin21400cos214002sin100(J3cos1400-sin1400)3cos1400+sin1400)(-sin400cos400)22sin1003na兀2一2：5sin(號(hào)+arctan2)注：-4sin800-sin200。4沖8002sin100sin2000=8sin800cos800sin200

46、0=16=16sin1600注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過(guò)程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本題平方差公式。例4、已知OH900,且sina，si旅是方程x2-(占eWk+cos24。0-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求EBE的值。由韋達(dá)定理得sina+sinB=J2cos40。，sinasinB=cos240o-2fJIsinBsina=(sinp-sina)2=(sina+sinp)2一4sinasinp=v2(一cos240。)=g2sin400又sina+sinB=、：2cos40osinp=(%2cos400+2sin40)=sin850sina=(Q2cos400一2sin400)=

47、sin502OoaB900P=850a=50sin(B-5a)=sin60o=2注：利用韋達(dá)定理變形尋找與sina,sinB相關(guān)的方程組，在求出sina,sinB后再利用單調(diào)性求a,B的值。例5、(1)已知cos(2a+B)+5cosB=0，求tan(a+B)tana的值；(2)已知=-5，求cos20+4sin20的值。sin0-cos0分析：1)從變換角的差異著手。2a+B=(a+B)+a，B=(a+B)-a.8cos(a+B)+a+5cos(a+B)-a=0展開(kāi)得：13cos(a+B)cosa-3sin(a+B)sina=0同除以cos(a+B)cosa得:tan(a+B)tana=2)

48、以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā).2sin0+cos0=2tan0+1sin0-cos0tan0-.2tan0+1tan0-tan9=2.ccc”cc3(cos20-sin20)+8sin0cos03-3tan20+8tan07.3cos29+4sin20=sin20+cos201+tan205注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降幕。例6、已知函數(shù)f(x)=asin42-sin22(a(0,1),求f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調(diào)性。分析：對(duì)三角函數(shù)式降幕XXXXXXsin4sin2=sin2(1-sin2)=-sin2cos2222222.1.1.c1lcos2xcos2x

49、-1=-(smx)2=sin2x=24428f(x)=a8人1c1令u=-cos2x-88則y二au0a0,0）,在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x二匹時(shí)，y二2；當(dāng)x二丄冗時(shí),8maxgA、汁2sin”)E、y=2sin(2x+)C、y=2sin(x+f)7TD、y=-2sin(2x+)4、已知tana+1二993,貝ijsec2oc+tan2a的值為1-tanaA、1997E、1998C、1999D、20005、已矢口tancl,tanB是方程沁+3爲(wèi)+4=0兩根，且a,則a+B等于A、2冗3E、_兀兀或一3D、6、.+&，則s迪siny的最小值為A、-1E、C、D、7、A、5.5E、6.5C、7D、8、

50、若ew(o,2ji,則使sin6cos9cot9tan6成立的6取值范圍是A、兀兀、42E、537C、（卩，尸）D、（卩，2冗）9、F列命題正確的是函數(shù)f(x)=3sin(x+lOo)+5sin(x+7Oo)的最大值是A、若a,B是第一象限角，aB,貝!jsinasinBy=-2,則此函數(shù)解析式為mmB、函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)區(qū)間是(2k冗一中,2k冗+中),kWZC、函數(shù)y=1一皿力的最小正周期是2nsin2xD、函數(shù)y=sinxcos2-cosxsin2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則6=k+,kWZ2410、函數(shù)f(x)=log丄(sin2x+cos2x)的單調(diào)減區(qū)間是3B、(k一，k+

51、B、(k+,k+)88D、(k+,k+5)88kZ二)填空題TOC o 1-5 h z11、函數(shù)f(x)二sin(x+e)+Q3cos(x-B)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則e=。12、已知a+B二，且U3(tanatanB+c)+tana=0(c為常數(shù))，那么tanB二313、函數(shù)y=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為。14、已知(x-1)2+(y-1)2=1,貝9x+y的最大值為。15、函數(shù)f(x)二sin3x圖象的對(duì)稱(chēng)中心是。三)解答題16、已知tan(a-B)=,tanB=-,a,BW(n,0),求2aB的值。27317、是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2

52、x+acosx+-a在閉區(qū)間0,上的最大值是1?若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值。82218、已知f(x)=5sinxcosx5*3cos2x+5叮3(xWR)2求f(x)的最小正周期；求f(x)單調(diào)區(qū)間；求f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心。平面向量、復(fù)習(xí)要求18、向量的概念；2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋?zhuān)袝r(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平

53、行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義一一共線；定比分點(diǎn)基本圖形一一起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。19、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。20、運(yùn)算律加法：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)實(shí)數(shù)與向量的乘積：入（a+b）=入a+入b；（入+卩）a二入a+卩a，入（卩a）=（入卩）a兩個(gè)向量的數(shù)量積：ab=ba；（入a）b=a（入b）=入（ab）,（a+b）c=ac+bc說(shuō)明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)

54、算滿(mǎn)足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如（a土E）2=土2吝H+H221、重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果z1+e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)入，入2，滿(mǎn)足a二入g+入2e2，稱(chēng)入g入+入2e2為g,e2的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量a與有序數(shù)對(duì)（入，入）對(duì)應(yīng)，稱(chēng)（入，入）為a在基底e2下的坐標(biāo)，當(dāng)取e,，e2為單位正交基底a，了時(shí)定義（入，入）為向量a的平面12122212直角坐標(biāo)。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x，y），則OA=（x,y）

55、；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（xi，yi）B（x2，y2）,則aB=（x-x，y-y）（2）兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：若ab，a工o，則a二入b坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)a=（x1，y1）b=(x2,y2)，貝9abo(xi,yi)=入(x2,y2)，221122x=Xx2y=Xy2或xy-xy=0i22i在這里，實(shí)數(shù)入是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時(shí)，入o；當(dāng)a與b異向時(shí)，入0。I入1=|a|，入的大小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a，b確定時(shí)，入的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中入的幾何意義。iei（3）兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：a丄boab=0坐標(biāo)語(yǔ)

56、言：設(shè)a=（xi,yi）,b=（x2,y2），則a丄boxix2+yiy2=01122i2i2（4）線段定比分點(diǎn)公式如圖，設(shè)pP=XPp2則定比分點(diǎn)向量式：OP=op+opV定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)P（x,y），P（xi,yi），P2（x2,y2）x+九XX=T21+九y,+九y2y=-121+九特例：當(dāng)入=1時(shí)，就得到中點(diǎn)公式:=2（or，+型），X+XX=212實(shí)際上，對(duì)于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量OP,OP,OP2（0與PP2不共線），總有O?=uOpP,+vOP2，u+v=l,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為1。5）平移公式：點(diǎn)平移公式，如果點(diǎn)P（X,y）按a=（h

57、,k）平移至P（x，y），則x=x+hy=y+k分別稱(chēng)（x,y）,（x,y）為舊、新坐標(biāo)，a為平移法則在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo)圖形平移：設(shè)曲線C：y=f（x）按a=（h,k）平移，則平移后曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為y-k=f（x-h）當(dāng)h,k中有一個(gè)為零時(shí)，就是前面已經(jīng)研究過(guò)的左右及上下移利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)6）正弦定理，余弦定理正弦定理：一=仝=2RsinAsinBsinC余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosAb2二c2+a22cacosBc2=a2+b2-2abcosc定理變形：cosA=蘭釜竺cosB=c

58、2+a2b22accosC=a2+b2c22ab正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀課本，理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的“程序性”特點(diǎn)三、典型例題例1、如圖，OA,OB為單位向量，OA與OB夾角為120。，OC與DA的夾角為45。，|OC1=5，用OA,O?表示OC。分析：以O(shè)A,OB為鄰邊，OC為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形把向量OC在OA,OB方向上進(jìn)行分解，如圖，設(shè)OE=入OA,OD=uOB，入o,uo貝yOC二入OA+h

59、OB|OA|=|OB|=1入=|oEI，卩=|odd|iOEiiOCiiCEiTOC o 1-5 h zOEC中，ZE=6Oo,ZOCE=75。，由=二得：sin750sin600sin450ioei_iOCisin75o_5(3運(yùn)+厲)sin6006iCDi_iOClsin450_5/6sin6003.、5(3逅+需)5晁人=,LX3.OE5(力2+韜)OA+垃OB63說(shuō)明：用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量，是向量中的基本而又重要的問(wèn)題，通常通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理例2、已知ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC邊上的高為AD,求點(diǎn)D和向量瓦D坐標(biāo)。分析：用解方程組

60、思想設(shè)D(x,y),則AD=(x-2,y+1)BC=(-6,-3),ADBC=0-6(x-2)-3(y+l)=0,即2x+y-3=0BD=(x-3,y-2),BCBD:-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+l=0由得：F1y-1D(1,1),AD=(-1,2)例3、求與向量a=b-3,-1）和E=（1,卞3）夾角相等，且模為2的向量c的坐標(biāo)。分析：用解方程組思想法一：設(shè)c=(x,y),則ac=l3x-y,b|aa|ac|ab|ac|i；3xy=x+、3y即x=(2+*3)yX2+y2=2?(舍)(3-1y=-.a3+1V3-1、C=(,).C(乙+1y3-1說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要