真題答案06南開固體試題

1、南開大學(xué)固體物理(基礎(chǔ)部分)2006年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題專業(yè):凝聚態(tài)物理物理系、光學(xué)(光子學(xué)中心)一、簡答題 (每題5分,共50分) 1.晶體的宏觀對稱元素有哪些?晶體中是否存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對稱軸?2.畫出二維石墨平面的結(jié)構(gòu)示意圖;標出基元、原胞;原胞中包含多少個原子?3. 解釋描述晶格熱容的愛因斯坦模型和德拜模型,并給出愛因斯坦模型中聲子態(tài)密度. 4.晶格振動與晶體的哪些宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動的實驗方法有哪些?6.什么是聲子.聲子與聲子、聲子與電子之間是否會產(chǎn)生相互作用?8.解釋費米面的物理意義,并說明研究費米面的實驗方法有哪些?7.給出一種確定晶體結(jié)構(gòu)的實驗方法以

2、及所依據(jù)的原理.5.晶體結(jié)合的基本類型和基本特性.9.描述測量霍爾效應(yīng)的實驗,并說明觀測霍爾效應(yīng)是金屬樣品容易還是半導(dǎo)體樣品容易?10.什么是空位?什么是空穴?1.晶體的宏觀對稱元素有哪些?晶體中是否存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對稱軸?宏觀對稱素包括：（1）反映（或?qū)ΨQ）面, 國際符號m ;（2）旋轉(zhuǎn)（對稱）軸, 國際符號l、2、3、4、6; 對稱素就是一個物體借以進行對稱操作的一根軸、一個平面或一個點. 國際符號 、 、 、 、（3）對稱中心, 國際符號;（4）對稱反軸 , 獨立的宏觀基本對稱要素只有8種，即1、2、3、4、6、i、m、 。 由于晶體周期性的限制,晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是1,2,3

3、,4和6重軸, 這稱為晶體的對稱性定律,所以晶體中不存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對稱軸.2.畫出二維石墨平面的結(jié)構(gòu)示意圖;標出基元、原胞;原胞中包含多少個原子?原胞中包含2個原子基元中原子坐標：原胞基矢：3. 解釋描述晶格熱容的愛因斯坦模型和德拜模型,并給出愛因斯坦模型中聲子態(tài)密度. 德拜模型和愛因斯坦模型是處理晶格比熱中常用的近似方法.德拜模型:(1)晶體視為連續(xù)介質(zhì),格波視為彈性波；(2)有一支縱波兩支橫波；(3)晶格振動頻率在 之間(D為德拜頻率)。愛因斯坦模型:(1)晶體中原子的振動是相互獨立的；(2)所有原子都具有同一頻率；對愛因斯坦模型： ,與q無關(guān) 設(shè)晶體有N個原胞,每個原胞含有p個原子,

4、則聲子態(tài)密度應(yīng)滿足總模式數(shù)等于總自由度數(shù)：說明:4.晶格振動與晶體的哪些宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動的實驗方法有哪些? 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(熱容、熱傳導(dǎo)和熱膨脹等)、光學(xué)性質(zhì)(晶體的光吸收和光發(fā)射等)、電學(xué)性質(zhì)(電導(dǎo)、霍爾效應(yīng)和超導(dǎo)等)等宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動的實驗方法有中子的非彈性散射、光子散射、X射線散射等.5.晶體結(jié)合的基本類型和基本特性. 晶體結(jié)合的類型有離子晶體、共價晶體、金屬晶體、分子晶體和氫鍵晶體. 離子晶體的結(jié)合力是離子鍵，即穩(wěn)定的正、負離子相間排列，通過庫侖靜電力互相吸引； 共價晶體的結(jié)合力是共價鍵，兩原子通過共有自旋相反的一對電子相互鍵合； 金屬晶體的結(jié)合力

5、是金屬鍵，價電子離化形成的共有化負電子云與處在其中的正離子實通過庫侖作用相互束縛； 分子晶體的結(jié)合力是范德瓦爾斯力，與電子分布起伏有關(guān)的瞬時電偶極矩的感應(yīng)作用使具有球?qū)ΨQ電子分布的中性原子或分子聚合； 氫鍵晶體的結(jié)合力是氫鍵，即氫原子的電子參與形成共價鍵后，裸露的氫核與另一電負性較大的原子通過靜電作用相結(jié)合。6.什么是聲子.聲子與聲子、聲子與電子之間是否會產(chǎn)生相互作用? 聲子是描述晶格振動的能量量子,模的角頻率為 的聲子能量為 ,波矢為q的聲子“準動量”(或稱晶體動量) 為 。 在簡諧近似下聲子之間沒有相互作用,考慮到非簡諧效應(yīng)時,聲子之間就有相互作用了,可導(dǎo)致聲子的產(chǎn)生、消滅或散射. 聲子與

6、電子之間在滿足一定的選擇定則的條件下,可以產(chǎn)生相互作用,引起電子的散射.7.給出一種確定晶體結(jié)構(gòu)的實驗方法以及所依據(jù)的原理. 表征晶體結(jié)構(gòu)的實驗方法除了X射線衍射外,還有電子衍射和中子衍射等,這些方法都是通過衍射圖譜來分析晶體結(jié)構(gòu). 隨著科技的進一步發(fā)展,現(xiàn)在已經(jīng)能夠直接觀察原子排列和晶體結(jié)構(gòu)了.如:高分辨電子顯微術(shù)、場離子顯微術(shù)、掃描隧道顯微鏡、多功能掃描探針顯微鏡等.這是對原子規(guī)則排列的直接的實驗證實.下面以X射線衍射為例說明 晶體中原子之間的距離是0.1nm的量級,X射線波長在: ,兩者數(shù)量級相當,因此, X射線技術(shù)成為物質(zhì)結(jié)構(gòu)分析的主要分析手段. 英國物理學(xué)家布拉格提出晶體中整齊排列的

7、原子可看成為一組相互平行等距的原子平面,不管這些原子在平面上如何分布,如果衍射光束服從反射定律(反射光線在入射平面中,反射角等于入射角),則這組晶面所反射的x射線,只有當光程差是x射線波長的整數(shù)倍時才相互加強,出現(xiàn)衍射. 并推導(dǎo)出了著名的布喇格公式: n稱為X射線衍射的級數(shù), 為布拉格角,d為布拉格平面之間的面間距, 為X射線波長. 通過X射線衍射實驗,對于晶體確實可觀察到衍射峰,從而可證明晶體的周期性結(jié)構(gòu)的存在.且通過布拉格平面之間的面間距和布拉格角的關(guān)系進一步確定相應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu).8.解釋費米面的物理意義,并說明研究費米面的實驗方法有哪些? 費米面是K空間中能量等于費米能量的等能面,在絕對零

8、度下,它將被電子占據(jù)的狀態(tài)與不被電子占據(jù)的狀態(tài)分開. 由于費米能的量級在幾個電子伏特,而一般的擾動很小,比如,室溫下的熱擾動僅有0.026 eV,所以,電子的輸運行為常常僅涉及到費米面附近電子能量的變化,也就是說,參與輸運行為的電子,一般只是費米面附近的電子,從而使得問題簡化,這就是引入費米面這一概念的意義. 實驗上研究費米面的方法主要有:德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)和回旋共振方法. 德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)的變化的周期決定于費米面在垂直磁場方向的最大截面 (稱為極值截面),測定磁場沿各種不同晶向時德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)的周期,便可確定沿不同晶向的極值截面面積,從而勾畫出金屬費米面的形狀. 也可以利用回旋共

9、振方法測定費米面,若在垂直磁場方向加上頻率為的交變電場,當 時,交變電場的能量將被電子共振吸收,這個現(xiàn)象稱為回旋共振.按量子理論,共振吸收相當于實現(xiàn)了電子在朗道能級之間的躍遷.通過測量共振吸收頻率,可以確定晶體中電子的有效質(zhì)量.9.描述測量霍爾效應(yīng)的實驗,并說明觀測霍爾效應(yīng)是金屬樣品容易還是半導(dǎo)體樣品容易? 當電流垂直于外磁場方向通過導(dǎo)體(或半導(dǎo)體)時,在垂直于電流和磁場方向,該導(dǎo)體(或半導(dǎo)體)兩側(cè)產(chǎn)生電勢差.這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng). 對于自由電子氣體,霍爾系數(shù)僅依賴于自由電子氣體的電子濃度n:此時霍爾系數(shù)與載流子濃度成反比關(guān)系測量霍爾效應(yīng)的實驗見實驗講義 此時霍爾系數(shù)與空穴濃度p和電子濃度n之

10、差成反比關(guān)系. 對于半導(dǎo)體,在高磁場下,霍爾系數(shù)依賴于電子濃度n和空穴濃度p: 由于半導(dǎo)體中空穴濃度p和電子濃度n都遠小于導(dǎo)體中的電子濃度,所以半導(dǎo)體霍爾系數(shù)遠比導(dǎo)體霍爾系數(shù)大,且可以出現(xiàn)正值.所以半導(dǎo)體樣品容易.10.什么是空位?什么是空穴? 空位(vacancy)是晶體內(nèi)部的空格點.可以認為是由于原子因熱漲落脫離格點.跳到晶體表面而產(chǎn)生的.屬于點缺陷的一種. 對于不具有部分填充能帶的非導(dǎo)體,若導(dǎo)帶底和價帶頂之間的能隙較窄,則在有限的溫度下,滿帶中(價帶頂附近)少數(shù)電子受激發(fā)而躍遷到空帶中去,使原來的滿帶變成近滿帶,近滿帶中這些空的狀態(tài),稱為空穴.空穴在外場中的行為猶如它帶有正電荷+e.所以

11、對于近滿帶中的空穴(hole),可以看成是帶 +e 的粒子.空穴是為了分析固體的導(dǎo)電行為而引入的一種準粒子.空位與空穴是兩個截然不同的概念.二、 (20分) (a) 計算一維雙原子鏈聲子的色散關(guān)系,相鄰原子間距為a. (b) 下圖是一維單原子鏈縱向振動的色散曲線,估算沿鏈方向的聲波速度. 224-410 2 6 解: (a)用us, vs 分別表示第s個初基晶胞中質(zhì)量為Ml和M2的原子相對于平衡位置的位移參照下圖，寫出運動方程：MlM2選取簡正模式解：(1) u、v是兩個待定系數(shù),表明初基晶胞中兩個原子振動的相對振幅和位相關(guān)系將式(2)代入式(1)，得到:整理得：(3) 要使（3）式有非零解，

12、要求u、v的系數(shù)行列式必須為零，即：整理得：解得：這就是本問題的色散關(guān)系。 注：此題中的a應(yīng)該換成2a，因為這里a為原子間距。(b) 下圖是一維單原子鏈縱向振動的色散曲線,估算沿鏈方向的聲波速度. 224-410 2 6由圖可知, 時, 三. (20分)某半導(dǎo)體材料,沿 方向電子的能量可表示為： 其中A0, a為晶格周期,計算電子的速度v以及有效質(zhì)量 ,畫出在 區(qū)間 以及 關(guān)系曲線.解:電子的速度：有效質(zhì)量 區(qū)間內(nèi)電子的速度曲線 為： 區(qū)間內(nèi) 曲線為：(b)在近自由電子模型下,給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件. 四. (20分) 由二價原子組成的二維晶體,原胞基矢分別為 .

13、如果晶格周期勢為： (a)求倒格子原胞的基矢、畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū).解:由正、倒格子原胞基矢的關(guān)系：可得倒格子原胞的基矢：倒格子仍是二維矩形 在倒格子空間中以任意一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格子空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。由此可畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)(a)第一區(qū)第二區(qū)(b)在近自由電子模型下,給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件.由此可知在近自由電子模型下, 沿 方向的第一能帶帶隙為： 在近自由電子模型下, 沿 方向的第二能帶帶底的能量為：由此可知在近自由電子模型下, 沿 方向的第一

14、能帶帶隙為： 在近自由電子模型下, 沿 方向的第一能帶帶頂?shù)哪芰繛椋核栽诮杂呻娮幽Ｐ拖?給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件是：五. (20分)(b)當溫度變化 時，費米能如何變化?(a)推導(dǎo)絕對零度下金屬自由電子費米能的表達式.(c)體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉,其點陣常數(shù)為a=0.428nm, 用自由電子模型計算其費米能.(a) 導(dǎo)出絕對零度下金屬自由電子費米能量的表達式.絕對零度下金屬自由電子的本征能量為：在 空間中，具有相同能量的代表點所構(gòu)成的面稱為等能面，顯然，由上式可知，等能面為球面。( 一定）由于N很大，在 空間中，N個電子的占據(jù)區(qū)最后形成一個球，即所謂的費米球（Fe

15、rmi sphere)。解:費米球相對應(yīng)的半徑稱為費米波矢（Fermi wave vector).用 kF 來表示。 在k空間中，把N個電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)分開的界面叫做費米面(Feimi surface)基態(tài)時(T=0k)，N個電子填滿整個費米球，所以：n為電子密度所以絕對零度下金屬自由電子費米能量(b)當溫度變化 時，費米能如何變化?當溫度 時, 有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級即是費密能級. 溫度升高 , 費密面附近的電子從格波獲取的能量就越大, 躍遷到費密面以外的電子就越多, 原來有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級上的電子就少于一半, 有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級必定降低. 也就是說, 溫度升高, 費密能反而降低. (c)體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉,其點陣常數(shù)為a=0.428nm, 用自由電子模型計算其費米能.體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉電子密度n為：所以其費米能量為：六. (20分)鐵為體心立方結(jié)構(gòu),從其(110)面反射的x射線布拉格角為22度, x射線的