棱柱與棱錐例題設(shè)計

1、棱柱與棱錐例題設(shè)計例1、2013北京卷 如圖15，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.圖15證明：(1)因為平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因為ABCD，CD2AB，E為CD的中點，所以ABDE，且ABDE，所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因為BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因為ABAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知

2、PA底面ABCD，所以PACD.又因為ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.例2、2013北京卷 某四棱錐的三視圖如圖13所示，該四棱錐的體積為_圖13解析 3 正視圖的長為3，側(cè)視圖的長為3，因此，該四棱錐底面是邊長為3的正方形，且高為1，因此Veq f(1,3)(33)13.例3、2013江蘇卷 如圖11，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_圖11解析 124

3、設(shè)三棱柱的底面積為S，高為h，則V2Sh，又D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點，所以SAEDeq f(1,4)S，且三棱錐FADE的高為eq f(1,2)h，故V1eq f(1,3)SAEDeq f(1,2)heq f(1,3)eq f(1,4)Seq f(1,2)heq f(1,24)Sh，所以V1V2124.例4、2013江西卷 如圖17所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，ADeq r(2)，AA13，E為CD上一點，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C；(2)求點B1到平面EA1C1的距離圖17解：(1)證明：過B作CD的垂線交CD于F

4、，則BFADeq r(2)，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBEF中，BEeq r(3).在RtCFB中，BCeq r(6).在BEC中，因為BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱錐EA1B1C1的體積Veq f(1,3)AA1SA1B1C1eq r(2).在RtA1D1C1中，A1C1eq r(A1Deq oal(2,1)D1Ceq oal(2,1)3 eq r(2).同理，EC1eq r(EC2CCeq oal(2,1)3 eq r(2)，A1Eeq r(A1A2AD2DE2)2 eq r(3).故SA1C1E3 eq r(5

5、).設(shè)點B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積Veq f(1,3)dSA1C1Eeq r(5)d，從而eq r(5)deq r(2)，deq f(r(10),5).例5、2013新課標全國卷 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2eq r(2)，求三棱錐CA1DE的體積圖17解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，聯(lián)結(jié)DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.圖18(2)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，

6、所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2 eq r(2)得ACB90，CDeq r(2)，A1Deq r(6)，DEeq r(3)，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DEeq f(1,3)eq f(1,2)eq r(6)eq r(3)eq r(2)1.例6、2013四川卷 圖18如圖18，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD上異于端點的點(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面

7、A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點Q，求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式：Veq f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點P作直線lBC，因為l在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點，所以，BCAD，則直線lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因為AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)過D作DEAC于E.因為AA1平面ABC，所以DEAA1.又因為AC，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD1，DAC60，所以在ACD中，DEeq f(r(3),2)ADeq f(r(3),2).又SA1Q