尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)知識(shí)歸納

1、考點(diǎn)名稱(chēng)：尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：是指限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫(huà)圖。一把沒(méi)有刻度的直尺看似不能做什么，畫(huà)一個(gè)圓又不知道它的半徑，畫(huà)線段又沒(méi)有精確的長(zhǎng)度。其實(shí)尺規(guī)作圖的用處很大，比如單用圓規(guī)找出一個(gè)圓的圓心，量度一個(gè)角的角度，等等。運(yùn)用尺規(guī)作圖可以畫(huà)出與某個(gè)角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。還有：已知一角、一邊做等腰三角形已知兩角、一邊做三角形已知一角、兩邊做三角形依據(jù)公理：還可以根據(jù)已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已知兩角及夾邊作三角形等

2、，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS, SAS, ASA等。注意：保留全部的作圖痕跡， 包括基本作圖的操作程序， 只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。尺規(guī)作圖方法：任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法：通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線。已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)。,若已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】. 了解什么是尺規(guī)作圖.學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：（1）畫(huà)一條線段等于已知線段；（2）畫(huà)一個(gè)角等于已知角；（3）畫(huà)線段的垂直平分線；（4）過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線；（5）畫(huà)角平分線. 了解五種基本作圖的

3、理由.學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫(huà)圖過(guò)程.學(xué)會(huì)利用基本作圖畫(huà)三角形等較簡(jiǎn)單的圖形.通過(guò)畫(huà)圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美.【基礎(chǔ)知識(shí)精講】.尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規(guī)作圖.注意：這里所指的直尺是沒(méi)有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫(huà)出 的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛.尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱(chēng)為基本作圖.3.基本作圖共有五種：(1)畫(huà)一條線段等于已知線段.如圖24-4-1 ,已知線段 DE.D E3圖 24-4 - 1求作：一條線段等于已知線段.作法：先畫(huà)射線 AB .然后用圓規(guī)在射線 AB上截取AC = MN .線段A

4、C就是所要作的線段.(2)作一個(gè)角等于已知角.如圖24-4-2 ,已知/AOB .二;圖247噌求作：/AOB,使AOB =AOB.作法：作射線OA;以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交 OA于C,交OB于D.以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧，交 OA TC.以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于 D經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作射線OB , AOB就是所求的角.(3)作線段的垂直平分線.如圖24-4-3 ,已知線段AB.求作：線段 AB的垂直平分線.-AB作法：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于2的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) C和D.作直線CD .直線CD就是線段AB的垂直平分線.注意：直線CD與線段AB的交點(diǎn)，就

5、是 AB的中點(diǎn).(4)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.a.經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖 24-4-4 .圖 24-4-4已知：直線 AB和AB上一點(diǎn)C,求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) C.作法：作平角 ACB的平分線CF.直線CF就是所求的垂線，如圖 24-4-4b.經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.如圖24-4-5 ,已知：直線 AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) C.圖 24-4-5作法：任意取一點(diǎn) K,使K和C在AB的兩旁.以C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交 AB于點(diǎn)D和E.分別以D和E為圓心，大于2的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) F.作直線CF.直線CF就是所求的垂線.

6、注意：經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)， 作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫(huà)線段垂直平分線的方法解決.(5)平分已知角.如圖24-4-6 ,已知/AOB .求作：射線 OC ,使/ AOC = /BOC .作法：在 OA和OB上，分別截取 OD、OE.Ide分別以D、E為圓心，大于2的長(zhǎng)為半徑作弧，在/ AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn) C.作射線OC.OC就是所求的射線.注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖， 都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好.通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語(yǔ)言：(1)過(guò)點(diǎn)X和點(diǎn)x畫(huà)射線x x ,或畫(huà)射線XX.(2)在射線X X上截取X x = xx

7、.(3)以點(diǎn)x為圓心，xx為半徑畫(huà)弧.(4)以點(diǎn)X為圓心，XX為半徑畫(huà)弧，交XX于點(diǎn)X.(5)分別以點(diǎn)X,點(diǎn)X為圓心，以XX, XX為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)X.(6)在射線X x上依次截取x x = xx = xx.(7)在/ x X X的外部或內(nèi)部畫(huà)/ XXX = /XXX.注意：學(xué)過(guò)基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話概括敘述就可以了.如：(1)畫(huà)線段xx = xx.(2)畫(huà)/ xxx = /xxx.(3)畫(huà)X x平分/ x x x ,或畫(huà)/XXX的角平分線.(4)過(guò)點(diǎn)X畫(huà)XXXX,垂足為點(diǎn)X.(5)作線段X X的垂直平分線X X ,等等.但要

8、注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远?作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理.【經(jīng)典例題精講】例1已知兩邊及其夾角，求作三角形.如圖24-4-7 ,已知：/ a ,線段a、b ,求作：ABC,使/A = /“，AB = a, AC = b .i圖 24-4-7作法：作/ MAN =/在射線AM、AN上分別作線段 AB = a, AC = b .連結(jié)BC.如圖24-4-8 , ZABC即為所求作的三角形.注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題, 在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析.例2如圖24-4-9

9、 ,已知底邊a,底邊上的高h(yuǎn),求作等腰三角形.圖 24 4-9已知線段a、h.求作：ABC,使AB=AC,且BC= a,高AD = h.BC的垂直平分析：可先作出底邊BC,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出 分線，從而作出 BC邊上的高AD ,分別連結(jié)AB和AC,即可作出等腰 ABC來(lái).作法：(1)作線段BC=a.(2)作線段BC的垂直平分線 MN , MN與BC交于點(diǎn)D.在MN上截取DA,使DA = h.連結(jié)AB、AC .如圖24-4-10 ,祥BC即為所求的等腰三角形.A24-4-10已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形.如圖24-4-11 ,已知線段 a, m, h(mh)

10、.求作：4ABC使它的一邊等于 a,這邊上的中線和高分別等于m和h(mh).分析：如圖24-4-12，假定4ABC已作出，其中 BC=a,中線 AD = m ,高AE=h,在MED中AD =m , AE=h, /AED=90 ，因此這個(gè) RtMED可以作出來(lái)(ED為奠基三角BD = DC = - 3形).當(dāng)RtAAED作出后，由2的關(guān)系可作出點(diǎn) B和點(diǎn)C,于是BC即可得至LE C D H圖 34-4*1?作法：(1)作AAED,使/AED=90 ,AE = h, AD = m .DB=-a(2)延長(zhǎng)ED至ij B,使 2 .DC= la(3)在DE或BE的延長(zhǎng)線上取2 .(4)連結(jié) AB、AC

11、 .則9BC即為所求作的三角形.注意：因?yàn)槿切沃?，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果hm ,作圖題無(wú)解；若m=h,則作出的圖形為等腰三角形.例4如圖24-4-13 ,已知線段a.I 1 J圖案小邛求作：菱形ABCD ,使其半周長(zhǎng)為 a,兩鄰角之比為1 ：2.a分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?，“半周長(zhǎng)為a”就是菱形邊長(zhǎng)為,，為此首先要將線段 a等分，又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為 1 ：2”可知，菱形較小內(nèi)角為60。，則菱形較短對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形.所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD .作法：(1)作線段a的垂直平

12、分線，等分線段 a.AC = -(2)作線段AC,使 上.a分別以A、C為圓心，2為半徑，在 AC的兩側(cè)畫(huà)弧，兩弧分別交于 B, D.分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形 ABCD ,則四邊形ABCD為所求作的菱形(如 圖 24-4-14).C注意：這種通過(guò)先畫(huà)三角形，然后再畫(huà)出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”.例5如圖24-4-15 ,已知/ AOB和C、D兩點(diǎn).求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且使點(diǎn)P至U/AOB的兩邊OA、OB的距離相等.A分析：要使PC=PD,則點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，要使點(diǎn)P到/AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在/AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角

13、平分線的交點(diǎn)了.作法:(1)連結(jié)CD.(2)作線段CD的中垂線I.(3)作/AOB的角平分線OM，交l于點(diǎn)P, P點(diǎn)為所求.注意：這類(lèi)定點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn)， 當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求.【中考考點(diǎn)】例6 (2000 安徽省如圖24-4-16 ,直線1人表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()圖 24-4-16A. 一處B.二處C.三處D.四處分析：到直線0距離相等的點(diǎn)在 b 匕相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平 分線的方法找到這些點(diǎn).解：分別作% 相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交

14、 點(diǎn)共有四個(gè).答案：D.注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處， 而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn).例7 （2002 陜西省如圖24-4-17 ,9BC是一塊直角三角形余料，/ 0=90 ,工人師傅要把它加工成一個(gè)正方形零件，使0為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)， 其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在 AB、BC、A0邊上.圖47-17試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫(huà)出裁割線（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）工人師傅測(cè)得 AC = 80 cm , B0= 120cm ,請(qǐng)幫助工人師傅算出按 （1）題所畫(huà)裁割線加工成的正方形零件的邊長(zhǎng).解：（1）作/ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形一頂點(diǎn)，作 CE線

15、段的中垂線 HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖 24-4-17 .（2）設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為 x cm ,. DE /AC,DE_ BDx _ 120 - k. x = 48 .答：這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為48cm .要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對(duì)注意：本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目, 作出圖形的性質(zhì)要清楚.例8 （2002 山西省如圖24-4-18，有一破殘的輪片（不小于半個(gè)輪），現(xiàn)要制作一個(gè) 與原輪片同樣大小的圓形零件， 請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)， 設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零 件的半徑.陽(yáng)24 I】8分析：欲確定這個(gè)圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或

16、尺規(guī)作圖均可，圖中工MN2是這個(gè)零件的半徑，圖中 OB是這個(gè)零件半徑.解：如圖24-4-18所示.【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】例9如圖24-4-19 ,已知線段a、b、h.ah. 24 4 19求作ABC,使 BC=a, AC=b, BC 邊上的高 AD = h .并回答問(wèn)題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢?錯(cuò)解：（1）作法：作 RtMDC ,使AD=h, AC=b.在直線CD上截取CB=a.如圖24-4-20 ,則4ABC就是所求作的三角形.li圖用1 20(2)作出的三角形唯一.(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等.誤區(qū)分析：本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形

17、內(nèi)部也可能在三角形的外部.正解：如圖24-4-21 ,作法：作 RtADC ,使 AD=h, AC = b.在直線CD上截取CB=a(在點(diǎn)C的兩側(cè)).則9BC ,那B C都是所求作三角形.(2)作出的三角形不唯一.(3)得出結(jié)論有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等.注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎.【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】學(xué)習(xí)本單元基本作圖， 主要是運(yùn)用觀察法，通過(guò)具體的操作，了解各種基本作圖的步驟, 掌握作圖語(yǔ)言.【規(guī)律總結(jié)】畫(huà)復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，一般是先畫(huà)出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫(huà)圖步驟.有時(shí)，也可以根據(jù)已知條件和基本作圖，先作局部三角

18、形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫(huà)出其余部分， 從而完成全圖，這種方法稱(chēng)為三角形奠基法.考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖 1.定義：只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖.2.步驟：（1）根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫(xiě)出已知和求作部分；（2）分析作圖的方法和過(guò)程；（3）用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；（4）寫(xiě)出作法步驟，即作法.考點(diǎn)二 五種基本作圖1 .作一線段等于已知線段；2.作一個(gè)角等于已知角；3.作已知角的平分線；4.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；5 .作已知線段的垂直平分線.考點(diǎn)三 基本作圖的應(yīng)用1 .利用基本作圖作三角形（1）已知三邊作三角形；（2）已知兩邊及其夾角作三角形；（3）已知兩角及其夾邊作三角形；（4）已

19、知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形.2 .與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖（1）過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓（即三角形的外接圓）.（2）作三角形的內(nèi)切圓.尺規(guī)作圖簡(jiǎn)史：“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來(lái)畫(huà)圓的工具，在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字 .“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成， 兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長(zhǎng)尺叫股.矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女蝸氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫(huà)直線、直角，加上刻度可以測(cè)量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水 （公元前2000年）前.史記卷二記載大禹治水時(shí) “左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注周髀算經(jīng)中有“禹治洪水， 望山川之形，定高下之勢(shì)，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測(cè)量地勢(shì)的高低，就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，墨子卷七中說(shuō)“輪匠（制造車(chē)子的工匠）執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”孟子卷四中說(shuō)“離婁 （傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人）之明，公輸子（即 魯班，傳說(shuō)木匠的祖師）之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓 .”可見(jiàn)，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，規(guī)矩已被 廣泛地用于作圖、制作器具了 曲于我國(guó)古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較 大的實(shí)用性