考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)下分階精講精練講義

1、數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）分階精講精練講義主講：名師，博士，著名數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，教育部“國(guó)家精品課程建設(shè)骨干教師”，暢銷書高等數(shù)學(xué) 18 講、數(shù)學(xué)題源探析經(jīng)典 1000 題作者，高等教育入學(xué)數(shù)學(xué)參考書（大綱）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會(huì)受邀（15 分鐘主旨）。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系有全新的解讀，對(duì)數(shù)學(xué)題與復(fù)習(xí)思路有極強(qiáng)的把握和能力，讓學(xué)生輕松高效奪取高分。歡迎使用目錄多元函數(shù)微分學(xué)1二重積分7無(wú)窮級(jí)數(shù)10多元函數(shù)積分學(xué)的預(yù)備知識(shí)19三重積分27第一型曲線積分31第五章第六章第七章第八章第九章第十章第十一章 第一型曲面積分34第十二章 第二型曲線積

2、分36第十三章 第二型曲面積分38數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)【注】老師沒(méi)有完全按照講義的順序講課，而是打亂了順序，重新整合授課體系，但是老師所講的內(nèi)容多數(shù)是包含在講義中的。老師沒(méi)講的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，需要同學(xué)們獨(dú)立完成，而講義中沒(méi)有的內(nèi)容需要自己做筆記.第五章多元函數(shù)微分學(xué)5.1基本概念1、多元函數(shù)的定義 設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每一個(gè)點(diǎn) P(x, y) D ，變量 z 按照一定的法則總有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱 z 是變量 x, y 的二元函數(shù)，記為 z f (x, y)或 z f (P) .點(diǎn)集 D 稱為該函數(shù)的定義域， x, y 稱為自變量，數(shù)集z z f (x, y),(x,

3、y) D 稱為該函數(shù)的值域.類似地，可以定義三元函數(shù)u f (x, y, z) 以及三元以上函數(shù).2、二元函數(shù)的極限定義 設(shè)二元函數(shù) f (x y)定義在區(qū)域 D 上，點(diǎn) P0(x0 y0)在 D 內(nèi)或者在 D 的邊界上，如果存在常數(shù) A 對(duì)于的正數(shù)，總存在正數(shù) 只要點(diǎn) P(x, y) D 滿足(x x )2 ( y y ，恒有| f(x y)A| 成立 則稱 A 為函數(shù) f(x y)當(dāng)(x)20PP000y)(x0 y0)時(shí)的極限 記為 lim f (x, y) A ，此極限稱為二重極限xx0 y y0【注】（1）如果 P(x, y) 以不同方式趨于 P(x0 , y0 ) 時(shí)，函數(shù)趨于不同

4、的值，則可以判定該函數(shù)在(x , y ) 點(diǎn)的極限值不存在，即 limf p 不存在，這是由“極限若存在，必唯一”決定的，00pp0在中是重點(diǎn).（2）能夠區(qū)分累次極限 lim lim f x, y, lim lim f (x, y) 與二重極限 lim f x, y. 前兩個(gè)xx0 y y00事實(shí)上是兩次求一元函數(shù)的極限，稱為求累次極限，而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的極限，稱為求二重極限。(x2 y2 ) sinxy】已知 f (x, y) x2 y2，求lim f (x, y) .【注例 1x0 y00,xy,x2 y2 0 x2 y2 0】已知 f (x, y) x y22，求lim f (x,

5、 y) .【注例 2x0 y00,1數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)【注例 3】 lim lim f (x, y) ， lim lim f (x, y) ， lim f (x, y)xx0 yy0yy0 xx0 xx0 y y0如 f x, y x sin 1 y sin.1yx3. 二元函數(shù)的連續(xù)性如果 lim f (x, y) f (x0 , y0 )，則稱 f(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處連續(xù).如果 f(x y)在區(qū)域 D 上每一點(diǎn)xx0 y y0都連續(xù)，則稱 f(x y)在區(qū)域 D 上連續(xù).【注】驗(yàn)證二元函數(shù) f(x y)在某一點(diǎn)(x0 y0)是否連續(xù)是的重點(diǎn)，但是如果不連續(xù)，對(duì)于多元函數(shù)是不

6、間斷點(diǎn)的分類的.4. 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）定義 設(shè)函數(shù) z f (x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某鄰域內(nèi)有定義 若極限f (x0 x, y0) f (x0, y0)xlimx0存在 則稱此極限為函數(shù) z f (x y)在點(diǎn)(x0 y0)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù) 記作f 或 f (x , y ) zx0000000y y0f (x0 于是， f (x , y ) limx00 x0f (x0 ,f (x , y ) limy00y0f (x, y)f (x, y)【例 1】在全平面上， 0 ， 0 ，若 f (x , y ) f (x , y ) ，則（ ）xy1122（A） x1 x2 , y1 y

7、2（C） x1 x2 , y1 y2（B） x1 x2 , y1 y2（D） x1 x2 , y1 y22 6【例 2】設(shè) f (x, y) e x y ，求 f (0, 0) ， f (0, 0) .xy（2）高階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù) zf(x y)在區(qū)域 D 內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù) fx (x, y) 、 fy (x, y) 仍具有偏導(dǎo)數(shù) 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) zf(x y)的二階偏導(dǎo)數(shù) 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有如下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：2 z z) 2 zzf (x, y) fxy (x, y)xyy (x )xx2 z z2 zz f yx (x, y) y2y (y )fyy (x, y) yxx (

8、y )2數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)其中 fxy (x, y) 、 f yx (x, y) 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù) 同樣數(shù) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)5. 可微（1）定義 如果函數(shù) z f (x y)在點(diǎn)(x y)的全增量 z f(xx yy)f(x y) 可表示為三階、四階、以及 n 階偏導(dǎo)z Ax By o()(其中 A、B 不依賴于 x、y 而僅與 x、y 有關(guān) 則稱函數(shù) zf(x y)在點(diǎn)(x y)可微 而稱AxBy 為函數(shù) zf(x y)在點(diǎn)(x y)的全微分 記作 dz 即 dzAxBy（2）可微的必要條件 如果函數(shù) z f (x y)在點(diǎn)(x y)處可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(x y

9、)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 A z ， B z .xy【注】由于對(duì)于自變量 x、y，有x dx, y dy ，則全微分 dz z dx z dyxyzz（3）可微的充分條件 如果函數(shù) z f (x y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)x ， y 在點(diǎn)(x y)處連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)(x y)處可微.【注】判別函數(shù) z f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 處是否可微的程序：（1）寫出全增量z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) ；（2）寫出線性增量 Ax By ，其中 A fx (x0 , y0 ), B f y (x0 , y0 ) ；z ( Ax By)（3）作極限 limx0y0(x)2 (

10、y)2若該極限等于 0，則 z f (x, y) 在(x0 , y0 ) 點(diǎn)可微，否則，就不可微.f (x, y) 2x y 2 0 ，求f (0,1) ， f (0,1) .【例】設(shè)連續(xù)函數(shù) z f (x, y) 滿足limxyx0 y1x2 ( y 1)26. 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性對(duì)于 z f (x, y) ，其在某特殊點(diǎn)(x0 , y0 )（比如二元分段函數(shù)的分段點(diǎn)）處偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)，是的重點(diǎn)，其步驟為：（1）用定義法求 fx (x0 , y0 )， f y (x0 , y0 )（2）用公式法求 fx (x, y) ， f y (x, y)(x, y) ， lim f y (x, y)，看x

11、(x0 , y0 ) 與（3）計(jì)算xx0 y y0y y0y y03數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)lim fy (x, y) f y (x0 , y0 ) 是否成立，若上述兩等式都成立，則稱 z f (x, y) 在點(diǎn)(x0 , y0 )xx0 y y0處的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的.偏導(dǎo)連續(xù)必可微；可微必可偏導(dǎo)；可微必連續(xù).5.2 計(jì)算1、顯函數(shù)（具體、抽象），復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)2、隱函數(shù)由方程（組）確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)3、偏微分方程變換4、全微分計(jì)算5、偏導(dǎo)的逆運(yùn)算三個(gè)關(guān)鍵：（1）鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則a)自變量的個(gè)數(shù)等于中間變量個(gè)數(shù)z z u z vz z u z vz f u, v，u x, y，v x, y；xu x

12、v xyu yv yb)只有一個(gè)自變量z f u, v， u x， v x， dz z du z dv ，dxu dxv dxc)自變量的個(gè)數(shù)多于中間變量的個(gè)數(shù)w f u, v， u x, y, z， v x, y, z， w w u w vxu xv xd)只有一個(gè)中間變量w f u， u x, y, z， w d w u ， w d w uxd u xyd u ye)復(fù)合函數(shù)中含有既是中間變量又是自變量的變量z f x, u, v， u x, y， v x, y， z f 1 f f uvxxuxvx無(wú)論 z 對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，也無(wú)論 z 已經(jīng)求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍然具有與原函數(shù)完全相同的復(fù)

13、合結(jié)構(gòu).注意書寫規(guī)范.2 z【例 1】設(shè) z f (e cos y, x y ) ，其中 f 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xy .x22【例 2】已知函數(shù) f (u, v) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， f (1,1) 2 ， f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 0 ，2 zz f (x y, f (x, y) ，求 xy.(1,1)u x 2 y2 z【例 3】設(shè)變換可把方程62 z 2 z 2 zuv 0 ，求a .v x ay0 簡(jiǎn)化為x2xyy24數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)【例 4】設(shè) y f (x,z ) ，其中 z 是由 F (x, y, z) 0 所確定的 x, y 的函數(shù)，且 f 與 F 的

14、一階 F 0 時(shí)，有 dy x zzx .偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，試證：當(dāng) zzydxzz y【例 5】設(shè) z arctan x y ，求dz .x y【例 6】設(shè) z f (x, y) 二階可偏導(dǎo)且 f2 2， f (x, 0) 1 ， f (x, 0) x ，求 f (x, y) .yy25.3應(yīng)用極值與最值（多元）1、極值與最值的概念極值 設(shè)函數(shù) z f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0, y0 ) 的點(diǎn)(x, y) ，都有f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0 , y0 ) )則稱函數(shù) z f (x, y

15、) 在點(diǎn)(x0 , y0 ) 處取得極大值(或極小值) f (x0 , y0 ) ，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)最值 設(shè)函數(shù) z f (x, y) 在某區(qū)域 D 上有定義，如果對(duì)于該區(qū)域 D 上任何異于(x0, y0 ) 的點(diǎn)(x, y) ，都有f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0 , y0 ) )則稱函數(shù) z f (x, y) 在點(diǎn)(x0 , y0 ) 處取得最大值(或最小值) f (x0 , y0 ) ，最大值、最小值統(tǒng)稱為最值 使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn)2、多元函數(shù)極值與最值問(wèn)題（1）二元函數(shù)取極值的必要條件) 一階偏

16、導(dǎo)數(shù)存在，則 f(x , y ) 0, f (x , y) 0 .設(shè) z f (x, y) 在點(diǎn)(x , yx00y0000取極值【注】 該必要條件同樣適用于三元及以上函數(shù). 上述條件并不充分，也就是說(shuō)，使 fx (x0 , y0 ) 0, f y (x0 , y0 ) 0 的點(diǎn)并不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)，例如函數(shù) z xy 在點(diǎn)(0, 0) 并無(wú)極值，但它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z y, z xxy在點(diǎn)(0, 0) 處卻都等于零. 如果把滿足兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)，則可微函數(shù)的極值點(diǎn)就必是它的駐點(diǎn)。盡管這里只給出了必要條件，但是該條件對(duì)于具體求解極值問(wèn)題常是可以找出函數(shù) z 的全部駐點(diǎn)，然后只要從

17、這不多的幾個(gè)駐點(diǎn)中很重要的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)它，找極值點(diǎn)5數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué) 如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)。例如，函數(shù) z x2 y2 在點(diǎn)(0, 0) 處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但該函數(shù)在點(diǎn)(0, 0) 處卻取得了極小值，因此，在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.（2）二元函數(shù)取極值的充分條件（ 判別法） A 0 極值 A f(x , y ) Axx00記 f (x , y ) B ，則 B AC 0 非極值2xy00 f 0 方法失效(x , y ) Cyy00【注】 該充分條件不適用于三元及以上函數(shù)

18、. 0 時(shí)，只能說(shuō)明該判別方法失效，而不能確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，說(shuō)得明確一點(diǎn)，考生不可據(jù)此說(shuō)該點(diǎn)無(wú)法判斷. 如果出現(xiàn)此情形，請(qǐng)從極值定義出發(fā)去問(wèn)題.f (x, y) kx2 2kxy y2 在點(diǎn)(0, 0) 處取得極小值，求k 的取值范圍.【例 1】設(shè)（3）條件極值與日乘數(shù)法(x, y, z) 0求目標(biāo)函數(shù)u f (x, y, z) 在條件下的極值，則 (x, y, z) 0 構(gòu)造輔助函數(shù)F (x, y, z, ,u) f (x, y, z) ( 求偏導(dǎo)數(shù)，建立方程組 ux 0FF f u 0yyyyFz fz z uz 0F (x, y, z) 0Fu (x, y, z) 0 解上述方程組得

19、(x0, y0, z0 ) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，必存在最值，所得即所求.z x2 y2【例 2】求u x2 y2 z2 在約束條件下的最大值與最小值.x y z 4【例 3】求u xy 2yz 在約束條件 x2 y2 z2 10 下的最大值與最小值.6數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)第六章二重積分6.1概念與性質(zhì)1、二重積分的概念設(shè)二元函數(shù) f (x, y) 定義在有界閉區(qū)域 D 上，則二重積分概念nf (x, y)d lim f (i ,i )iD 0 i1， 為所有i 的直徑的最大值，強(qiáng)調(diào)該極限與對(duì)區(qū)域（1）將 D 無(wú)限分割的注D 的分割方式無(wú)關(guān)；（2）其幾何背景是以 f (x, y) 為V、有界閉區(qū)域

20、 D 為底的柱體的體積： f (x, y)dD（3）（數(shù)學(xué)一二要求）其物理背景是以f (x, y) 為面密度的平面區(qū)域 D 的質(zhì)量：f (x, y)d MD（4）要了解二重積分的存在性，也稱為二元函數(shù)的可積性. 設(shè)平面有界閉區(qū)域 D 由一條或者幾條逐段光滑閉曲線所圍成，當(dāng) f (x y)在 D 上連續(xù)時(shí) 或者當(dāng) f (x y)在 D 上有界 且在 D 上除了有限個(gè)點(diǎn)和有限條光滑曲線外都是連續(xù)的，則它在 D 上可積也就是二重積分存在2、二重積分的性質(zhì)積 d A其中 A 為 D 的面積性質(zhì) 1求區(qū)域D可積函數(shù)必有界 當(dāng) f (x y)在有界閉區(qū)域 D 上可積時(shí)則 f (x y)在 D 上必有界積分

21、的線性性質(zhì) 設(shè) k1、k2 為常數(shù) 則k1 f (x, y) k2 g(x, y)d k1 f (x, y)d k2 g(x, y)d性質(zhì) 2性質(zhì) 3DDD積分的可加性 當(dāng) f (x y)在有界閉區(qū)域 D 上可積時(shí) D1D2 D, D1D2 ，則性質(zhì) 4D(y d (y d ( , y)dD1D2積分的保號(hào)性 當(dāng)f (x y)、g(x y)在有界閉區(qū)域 D 上可積時(shí)若在D 上 f(x y)g(x y) 則性質(zhì) 5有Df (x y D(x y d特殊地有, y)d | |( , y)|dDD性質(zhì) 6 估值定理 設(shè) M、m 分別是 f(x y)在有界閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值 為 D 的面7面

22、i 0數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)積 則有mA f (x, y)d MAD性質(zhì) 7 中值定理 設(shè)函數(shù) f(x y)在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù) 為 D 的面積 則在 D 上至少存在一點(diǎn)( )使得Df (x, y)d f ( ,) A3、普通對(duì)稱性與輪換對(duì)稱性（1）普通對(duì)稱性設(shè)區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則2f (xDf (x, y)dxdy D10,【例】設(shè) D 由 y x3 ， y 1， x 1 圍成，則 I (xy cos x sin y)d （ ）D（A）0（B）2 xyd（C）2 cos x sin yd（D）2 (xy cos x sin y)dD1D1D1其中， D1 為 D 在第一象限的

23、部分.（2）輪換對(duì)稱性若把 x 與 y 對(duì)調(diào)后，區(qū)域 D 不變（或稱區(qū)域 D 關(guān)于 y x 對(duì)稱），則 f (x, y)d f ( y, x)dDD這就是輪換對(duì)稱性.【例】設(shè) D (x, y) 1 ，常數(shù) 0 ，計(jì)算 I (ex e y )d .x yD例：求 af (x) bf ( y) d，其中 D (x, y) x2 y2 1, x 0, y .f (x) f ( y)D【自練】計(jì)算 I sin(x3 y3)d ，其中 D (x, y)D 1 .x y6.2計(jì)算1、直角坐標(biāo)系下的計(jì)算法b2(x)D dx1(x)y2(x)f (x, y)df (x, y)dy其中 D 為 X 型區(qū)域axb

24、;（1）a (x)1 2( y)d（2） f (x, y)d c dyf (x, y)dx 其中 D 為 Y 型區(qū)域 1(y)x2(y) cyd. (y)1D這里的下限必須小于等于上限.8數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)2、極坐標(biāo)系下的計(jì)算法（1） f x, ydDf r co（極點(diǎn) O 在區(qū)域 D 外部）r 1（2） f x, ydDf r cos（極點(diǎn) O 在區(qū)域 D 邊界上）0（3） f x, ydf r co（極點(diǎn) O 在區(qū)域 D）00D3、極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系選擇的一般原則yx（1）先看被積函數(shù)是否為 f (x y ) ， f ( ) ， f ( ) 等形式；22xy（2）再看積分區(qū)域是否為

25、圓或者圓的一部分.若兩者兼是，那么優(yōu)先選用極坐標(biāo)系. 否則，就優(yōu)先考慮直角坐標(biāo)系（. 這只是一般原則，是大方向，請(qǐng)大家一定不要教條化.）4、極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互相轉(zhuǎn)化x r cos把握兩個(gè)橋梁就可以，一是用好這個(gè)公式，二是畫好區(qū)域 D 的圖形，確定y r sin好上下限的轉(zhuǎn)化.二重積分的交換積分次序題1 y0【例 1】交換累次積分的積分次序：dyf (x, y)dx12【例 2】設(shè) D 由曲線 y sin x 與 x 軸上介于 x 0 ， x 2 之間的線段圍成， f 連續(xù)，則后積 y 先積 x 的表達(dá)式 f (x, y)d .D形心公式的逆用對(duì)于平面薄片，面密度 (x, y) 連續(xù)， D

26、 是薄片所占的平面區(qū)域，則計(jì)算重心 x ， y 的公式為 x(x, y)d y(x, yx D , y D (x, y)d (x, y)DD【注】第一，在的范疇內(nèi)，重心就是質(zhì)心；第二，當(dāng)密度 (x, y) 為常數(shù)時(shí)，重心就是形心. 以后的三重積分和線面積分（僅為數(shù)學(xué)一那里不再重復(fù)說(shuō)明.【例】（數(shù)三）內(nèi)容）的應(yīng)用中，也是這樣的說(shuō)法，到9數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)計(jì)算 I (x y)d ，其中 D (x, y) x2 y2 x y 1 .D6.3綜合應(yīng)用 arctan x arctan x【例 1】求0dx .x【例 2】求 I r sincos 2 drd ，其中 D (r, ) 0 4 , 0

27、21 r2.D2 x【例 3】（）計(jì)算edx ；02（）當(dāng) x 1 時(shí)，求與x dt 等價(jià)的無(wú)窮大量.t0第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)引言一、概念1、級(jí)數(shù)的定義 給定一個(gè)數(shù)列 u1 u2 u3 un 則稱 u1 u2 u3 un 為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù) 記為 un n1即un u1 u2 u3 un n1n2、級(jí)數(shù)的部分和 稱 Sn ui u1 u2 u3 un 為級(jí)數(shù)un 的部分和n1i13、級(jí)數(shù)的斂散性 若lim Sn S（存在） 則稱級(jí)數(shù)un 收斂 極限 S 叫做該級(jí)數(shù)的和并nn1寫成 S un n1若lim Sn 不存在 則稱級(jí)數(shù)un 發(fā)散nn1二、基本性質(zhì)即un S kun kS

28、 性質(zhì) 1設(shè) k 為常數(shù)，若 un 收斂n1則 kun 也收斂n1n1n1性質(zhì) 2 若un S ， vn T 則(un vn ) S T n1n1n1性質(zhì) 3去掉級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性性質(zhì) 4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)仍然收斂 且其和不變【注】推論 如果加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)散 則去掉括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)也發(fā)散10數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)性質(zhì) 5如果un 收斂 則lim un 0 nn1【注】逆否命題：若 im un ,則un 一定發(fā)散.nn1、級(jí)數(shù)分類（ nu (u 0)正項(xiàng)級(jí)數(shù)n n1 常）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)un (un 0)交錯(cuò)級(jí)數(shù)n1 n1級(jí)數(shù) nu un符號(hào))任意項(xiàng)級(jí)數(shù) n

29、1n函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)ax nn0級(jí)數(shù)(僅數(shù)學(xué)一)7.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂問(wèn)題一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(un , un 0) 的斂散性判別法n1如無(wú)特殊說(shuō)明，下面的一般項(xiàng)un 均是非負(fù)的.1、收斂原則 正項(xiàng)級(jí)數(shù)un 收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列Sn有界即：n1un收斂 Sn有上界n1【例】設(shè)an 0 (n 1, 2,) ， Sn a1 a2 an ，則數(shù)列Sn 有界是數(shù)列an 收斂的條件.v 收斂u 收斂nn2、比較判別法 設(shè)u 和v，則 n1都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且0 u vn1nn nnn1n1un發(fā)散 vn發(fā)散 n1n13、比較判別法的極限形式設(shè)un 和vn 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 則n1n111三數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系

30、列高等數(shù)學(xué)lim un = 0 v 是高nn vn A 0 u 與vnn判別法）設(shè)un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n14、比值判別法（則 1 1(或lim un1unn 1判別法）設(shè)un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n15、根值判別法（則 1lim n un 1(或n 12n n!【例 1】判別n1的斂散性.nn11【例 2】判別( ln(1) 的斂散性.nnn11nxn12 dx 的斂散性.【例 3】判別1 x0二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1u , u 0) 的斂散性判別法nnn1判別法 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1un 滿足條件：n1(1)lim un 0 ；un un1(n = 1, 2, 3, )；(2)n12數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)

31、則級(jí)數(shù)收斂.【注】給定一個(gè)級(jí)數(shù)，如果它滿足上述的（1）、（2）兩個(gè)條件，則一定是收斂的，但是，如果級(jí)數(shù)不滿足上述的（2），則級(jí)數(shù)并非一定發(fā)散，這是結(jié). 當(dāng)然，如果級(jí)數(shù)不滿足上述的（1），則級(jí)數(shù)必發(fā)散.中的一個(gè)難點(diǎn)，提醒考生注意總1n 比如，請(qǐng)判別級(jí)數(shù)ln 1 的斂散性.公式. 由這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不滿足（2），因此不能使nn2用判別法，本題可考慮公式，1n 1n1 1 ln 1 2nnnn1n 1 1 1 1 12，表明級(jí)數(shù) 發(fā)散；而級(jí)數(shù) 由于lim n 是（條件） 2n n n1 2n n nnn1收斂的，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(1)n【例】判別n2的斂散性.n (1)n、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(un , un符

32、號(hào)n1) 的斂散性判別法定義（1）設(shè)un 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù),n1若 unn1收斂,就稱un 絕對(duì)收斂；n1（2）設(shè)un 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù),n1若un 收斂,但 un發(fā)散,就稱un 條件收斂.n1n1n1定理 若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)un 絕對(duì)收斂,則un 收斂.n1n1【注】對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，思一般都是先把一般項(xiàng)un 加上絕對(duì)值，變成正項(xiàng)級(jí)數(shù)后再去問(wèn)題，即un un. 于是，判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的種種方法均可能派上用場(chǎng).n1n1(1)na 0) （ ）2n 【例】若a 收斂，則(nn1n 2n1（D）斂散性與 有關(guān)（A）發(fā)散（B）條件收斂7.2（C）絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)的收斂域一、有關(guān)概念設(shè)函數(shù)序列un (x) 定義在區(qū)間

33、稱u1 x u2 x u3 x un x I 上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)13三數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 記為 當(dāng) x 取 x0 時(shí)， 為定義在區(qū)間成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnn1n1.n 0n1冪級(jí)數(shù) 若的一般項(xiàng)un (x) 是冪函數(shù)，則稱為冪級(jí)數(shù) 它是一種特殊且常用nnn1n1的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其一般形式為ann0； nxn a a x a x2 a xn ；其中a 為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)其標(biāo)準(zhǔn)形式為a n0012nn若給定 x0 I ，有 收斂 則稱點(diǎn) x0 為級(jí)數(shù) 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)的收斂點(diǎn)；若n 0nn1n1給定 x0 I ，有發(fā)散 則稱點(diǎn) x0 為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).n 0nn1n1收斂域 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的所有收

34、斂點(diǎn)的集合稱為它的收斂域.nn1冪級(jí)數(shù) a xn 的首要任務(wù)是判別斂散性，因?yàn)橹挥惺諗苛瞬庞欣^續(xù)它的意義，具nn0代入級(jí)數(shù)a xn ，判別此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，體說(shuō)來(lái)，將某個(gè) x的目標(biāo)當(dāng)然是：0n 0n0找到所有收斂點(diǎn)的集合，即收斂域.二定理定理 當(dāng)冪級(jí)數(shù) a xn 在 0) 處收斂時(shí)的一切 x ，冪xx對(duì)于滿足n11n0級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)冪級(jí)數(shù) a xn 在 0) 處收斂時(shí)xx的一切 x ，對(duì)于滿足n22n0冪級(jí)數(shù)發(fā)散.求收斂域的程序1、對(duì)級(jí)數(shù)加絕對(duì)值變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù)；2、用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法（比值法、根值法）計(jì)算；3、單獨(dú)級(jí)數(shù)在端點(diǎn)處的斂散性.綜合 2、3 得出收斂域.14三數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)

35、(x 2)n【例】求n1的收斂域.n 3n7.3冪級(jí)數(shù)的展開與求和1、 f (x) 的級(jí)數(shù)如果函數(shù) f (x) 在 0 處存在任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(!2( n )f (x 0 2n0 )000n!(n) )n ，其中“ ”叫做“可級(jí)數(shù)，記作 f為函數(shù) f (x) 在 x 處的00n0展開為”n0稱 f 0 f x 的麥克特別當(dāng) x 0 ，則n 為函數(shù)01!f n 0h0 xn .f (x)級(jí)數(shù)，記作n!2、 f (x) 的級(jí)數(shù)收斂于函數(shù) f (x) 本身的充要條件(n) (n) )n ，而不是 f)n 呢？為什么寫 f00n0n0事實(shí)上，設(shè) f (x) 在區(qū)間(x0 R, x0 R) 內(nèi)具有任意階

36、導(dǎo)數(shù),則(n) )n 的充要條件是：對(duì)一切滿足不等式x x R 的 x ,有f00n0(n1)n1 0,lim R (n0n其中 介于 x 與 x0 之間， R x 是 f (x) 在 x0 處的公式余項(xiàng)n3、冪級(jí)數(shù)展開式的求法f n x x 0 ，并逐個(gè)計(jì)算a0方法 1直接法：驗(yàn)證lim R，并代入nnn!n(!2( n )f (xx0 0 .2n0 )00n!15數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)直接方法麻煩了，一般不用.2間接法：利用已知的冪級(jí)數(shù)展開式，通過(guò)變量代換四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分待定系數(shù)等方法及到函數(shù)的展開式，這是常用方法，也是重點(diǎn).1 2展開成(x 3) 的冪級(jí)數(shù)，并求 f (n)

37、(3) . (n 1, 2,)【例 1】將 f1【例 2】將 f (x) 展開成(x 3) 的冪級(jí)數(shù).(x 1)2n )n1n1 n注：該題應(yīng)為 )n0 x (1,.2n14、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù) n 的和函數(shù) S(x)在其收斂域 I 上連續(xù)，且如果冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn) xRnn0(或 xR)收斂 則和函數(shù) S(x)在(R, R(或R, R)上連續(xù)（2）冪級(jí)數(shù) n 的和函數(shù) S(x)在其收斂域 I 上可積并且有逐項(xiàng)積分公式nn0an n x dx 0 0n 0n1nx(xI )n 1n0n0n0逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，收斂域可能擴(kuò)大（3）冪級(jí)數(shù) n 的和函數(shù)

38、S(x)在其收斂區(qū)間(R R)內(nèi)可導(dǎo) 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式nn0S(x) (a (a na xn1nnx )x )(|x|R)nnnn0n0n1逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，收斂域可能縮小5、需要熟稔于心的幾個(gè)重要式子第一組，是幾個(gè)重要函數(shù)的展開式n（1） ex n0 x ,n!2!n!11 1（2）11 1（3）n（4）ln 1,(1 x 1)nn116數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)2n1 x （5）sin1! n n02n x （6） cos2n!n0 1 n 1 xn （7） 2 n!這里，（1）至（6）右端 x 的取值范圍是指收斂域，而對(duì)于（7），問(wèn)題比較復(fù)雜，其收斂區(qū)間的

39、端點(diǎn)是否收斂與 的取值有關(guān)，可以證明(這里不證)：當(dāng) 1 時(shí),收斂域?yàn)闀r(shí),收斂域?yàn)?,1 ；當(dāng) 0 時(shí),收斂域?yàn)?,1) ；當(dāng) ,1 .第二組，是幾個(gè)重要級(jí)數(shù)的和函數(shù)cxk(1)cxnk n1 x 1, k Z ).( xnn1nxn xn1 1). n1n 1).2(4)nxn1 x2n1 1).nn1(5)n(n 1)n2 1). n0 xn1(6) 0 0 0 1 t dt ln(1 x)(1 x 1).n n1n1n1【例 1】求 S (x) n xn ， 1xn1【注】求lim( 1 2 ( )2 3( )1113 n ( ) )n2222nxnn【例 2】求 S(x) n1 1.x

40、，7.4級(jí)數(shù)（數(shù)一）17數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)一、雷(Dirichlet)收斂定理設(shè))(是以2l 為周期的可積函數(shù)，如果在l,l 上)(滿足：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則)(的級(jí)數(shù)處處收斂，記其和函數(shù)為 S (x) ，則n xn x a nS(x) a cosbn sin 02n1 ll f (x)x為連續(xù)點(diǎn) f (x 0) f (x 0)且S (x) x為第一類間斷點(diǎn)2f (l 0) f (l 0)x為端點(diǎn)2x 0,的周期為 2 的x 1,1級(jí)數(shù)為S (x) ，則在 x 1 ，2【例】設(shè) f 1x 0 ，x 1 ，x 3 處，S (x) 分別收斂于，.2二、周期為2

41、l 的周期函數(shù)的級(jí)數(shù)設(shè)周期為2l 的周期函數(shù))(滿足雷收斂定理的條件，則它的級(jí)數(shù)為n xn x af (x)S(x) a cos bn sin 0 n2n1 ll其中系數(shù)an 和bn 分別為a 1ll dx(n 21, )(conlll1l bndxn ,2,3,)() sinll的實(shí)際考題分為以下三種情況：1、將普通周期函數(shù))(在l,l 上展開為級(jí)數(shù)a 1llf (x)dx0ln x1llf (x) cosdx(n 1, 2,3,a)展開系數(shù)為nlf (x)sin n xdx(n 1, 2,3,l b 1ll)nll2、將奇偶周期函數(shù))(在l,l 上展開為級(jí)數(shù)18數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)a0

42、 0a 0當(dāng))(為奇函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為nf (x) sin n xdx(n 1, 2,3, 2bl)nll0此時(shí)的展開式由于只含正弦函數(shù)表達(dá)式，故也稱為正弦級(jí)數(shù)。a 2lf (x)dx0l0f (x) cos n xdx(n 1, 2,3,)(為偶函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為a 2當(dāng)l)nllb 00n此時(shí)的展開式由于只含余弦函數(shù)表達(dá)式，故也稱為余弦級(jí)數(shù)。3、將非對(duì)稱區(qū)間0,l 上的函數(shù))(展開為正弦級(jí)數(shù)或者余弦級(jí)數(shù)得到若要求展開成正弦級(jí)數(shù)l,l上的奇函數(shù)f (x)0,l上的f (x) 需作奇延拓得到若要求展開成余弦級(jí)數(shù)l,l上的偶函數(shù)f (x)需作偶延拓a0 0a 0當(dāng))(為奇函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為nf

43、(x) sin n xdx(n 1, 2,3,b 2l)nll0此時(shí)的展開式由于只含正弦函數(shù)表達(dá)式，即展開為了正弦級(jí)數(shù)。a 2lf (x)dx0l0f (x) cos n xdx(n 1, 2,3,當(dāng))(為偶函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為a 2l)nllb 00n此時(shí)的展開式由于只含余弦函數(shù)表達(dá)式，即展開為了余弦級(jí)數(shù)。中，以考查上述的第 3 種情況為主。(1)n1 ) 展開成余弦級(jí)數(shù)，并求n1【例】將 f (.n2第八章多元函數(shù)積分學(xué)的預(yù)備知識(shí)8.1向量代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1、向量代數(shù)的基本概念、性質(zhì)與公式既有大小又有方向的量，稱為向量.（1）向量的相等 對(duì)于兩個(gè)向量，只要它們的大小相等，方向相同，則它們就是相

44、等的向量，而與它們?cè)诳臻g中的位置無(wú)關(guān)（這也稱為向量的性）；19數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)向量的表達(dá)形式a (ax , ay , az ) ax i ay j az k向量的運(yùn)算及其應(yīng)用對(duì)于a (ax , ay , az ),b (bx , by , bz ), c (cx , cy , cz ) 數(shù)量積（內(nèi)積，點(diǎn)積）及其應(yīng)用() a b (ax , ay , az ) (bx , by , bz ) axbx ayby azbz ；axbx ayby azbza b （）a b b cos cos ，其中 為a, b aa 2 a 2 a 2 b 2 b 2 b 2xyzxyz的夾角；a a b

45、 axbx ayby azbz稱為a 在b 上的投影量；（） Prjbb 2 b 2 b 2bxyz a b b cos 0 a（）2 向量積（外積，叉積）及其應(yīng)用i axbxj aybyk azbz() a b b sin ，用右手螺旋定則確定方向（轉(zhuǎn)向角，其中， a ba不超過(guò) ）， 為a, b 的夾角；iajk 0 b sin a b 0 aaa（）xyzbbbxyz 混合積及其應(yīng)用ax bxcxayby cyaz bzcz() a, b, c a b c ；axayby cyaz bzcz 0 三向量共面.（） bxcx8.2平面與直線的基礎(chǔ)知識(shí)1、平面與直線的基本概念、性質(zhì)與公式（1

46、）平面方程（以下假設(shè)平面的法線向量n A, B, C ）；20a bax ay azbxbybzaxbx ayby azbz 0a bab數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)A x B yC zD0一般式A( x0 x ) yy yy 0 y) C( z 0 z) 0B(點(diǎn)法式x x x x azz zx1 x2 x31y 2y 3y1 z2z=0 （平面過(guò)不共線的三點(diǎn) Pi (xi , yi , zi )， i 1, 2, 3 ）3z三點(diǎn)式y(tǒng) zc1 （平面過(guò)(a, 0,0), (0, b, 0), (0, 0, c) 三點(diǎn)）截距式b1D 2 CzA1 x B1 yC1 z2A x 2 By20 D平面

47、束方程不包含 A2 x B2 y C2 z D2 0，如果所求平面通過(guò)已知直線（一般式），則用平面束方程會(huì)比較簡(jiǎn)便，但必須驗(yàn)證 A2 x B2 y C2 z D2 0是否滿足所求結(jié)論，以免遺漏。（2）直線方程（以下假設(shè)直線的方向向量 l, m, n ）1n, 1A , 1B A1 xB1 yB2 yC1 zC2 z1D02D01C，其中n1 n22C一般式2n, 2A , 2B A2 x【注】其幾何背景很直觀，是兩個(gè)平面的交線；且該直線的方向向量 n1 n2 .x x0y 0yz 0z點(diǎn)向式（標(biāo)準(zhǔn)式，對(duì)稱式）lmnx x0 lt y y mtM ( x , y , z 為) 直線上已知點(diǎn)， t

48、 為參數(shù)參數(shù)式0000z z nt 0 x x1y 1yz1 z z（直線過(guò)不同的兩點(diǎn) P (x , y , z )， i 1, 2 ）兩點(diǎn)式iiiix xyyz2121212、點(diǎn)、直線與平面的若干位置關(guān)系（1）一組重要的距離公式（1）點(diǎn) P x , y 到平面 A xd B yC zD0 的距離, z0000A2 B2 C 2x x（2）設(shè)直線1 y y1z zP x , y , z，方向向量 l, m, n ，則點(diǎn)1過(guò)點(diǎn)111 1lmnP0 x0 , y0 , z0 到直線的距離21Ax0 By0 Cz0 D數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)d l 2 m2 n2【簡(jiǎn)單推導(dǎo)】以 , P0 P1 為邊

49、畫平行四邊形，則 P0 P1示該平行四邊形的底邊長(zhǎng).（3）直線到直線的距離d表示該平行四邊形的面積，而 表P1 1x 1, y1 , z， P2 x2, y2 , z2 分別兩平行直線的距離d ，（l2 m2 n2為兩直線 L1, L2 上的兩點(diǎn)）兩異面直線的距離d（ P x , y , zd ，1 1 1 1 P2 x2, y2 , z2 分別為兩直線 L1, L2 上的兩點(diǎn)）【簡(jiǎn)單推導(dǎo)】以1,2, P1P2 為棱畫平行六面體，則 1 2 P1P2表示該平行六面體的體積，而 1 2表示該平行六面體的底面積.【注】當(dāng) 1 2 0 時(shí)， d 0 ，則兩直線共面.P1P2D1 D2（4）兩平行平面

50、之間的距離 d A2 B2 C 2（2）直線間關(guān)系 L1 L2 1 2 l1l2 m1m2 n1n2 0 l1 m1 n1 LL 1212lmn22222x2 x1y2 y1z2 z1l1m1n1l2m2n2ijkl1m1n1l2m2n21 2 P1P21 2ijkx2 x1y2 y1 z2 z1 lmnijkx2 x1y2 y1 z2 z1 lmn P0 P1數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué) 1 2 直線 L1, L2 間的夾角 arc cos，其中 min 1, 2 ,1, 2 0, 2 （3）平面間的關(guān)系 1 2 n1 n2 A1 A2 B1B2 C1C2 0 1 2 222 min n1, n

51、2 , n n arc cos 12 ，其中 n1, n2 0,平面 , 間的夾角2 12（4）平面與直線的關(guān)系A(chǔ) B C L n lmn L n Al 0 n2 ，其中 , n 0, 2 間的夾角 a r c s i nn直線 L 與平面8.3空間曲線與曲面的基礎(chǔ)知識(shí)1、空間曲線F (x, y, z) 0）一般式 :（其幾何背景為兩個(gè)曲面的交線1.G(x, y, z) 0 x t : y t ,t ,（2）參數(shù)方程 z t （3）空間曲線在坐標(biāo)面上的投影（重點(diǎn)）以求曲線 對(duì) xOy 平面的投影曲線為例，F(xiàn) (x, y, z) 0）將 :中的 z 消去，得到(x, y) 0 ，（1G(x, y

52、, z) 0(x, y) 0）則曲線 在 xOy 面上的投影曲線包含于曲線（2.z 0曲線 對(duì)其他平面的投影曲線可類似求得.2z y 0投影到 xoy 面，求其投影曲線及所圍區(qū)域.【例】將空間曲線x y zyz 122223n1n21 2數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)2、空間曲面F (x, y, z) 0（1）曲面方程（2）二次曲面x2a2y2 z2 1橢球面b2c2x2a2y2 z2 1單葉雙曲面b 22cx2a2y2z21雙葉雙曲面b2c2x2a2y2 z橢圓拋物面b2x2a2y2 z2橢球錐面b2x2 y2 z （了解即可，不用掌握其圖形）雙曲拋物面（馬鞍面）a2b2（2）柱面動(dòng)直線沿定曲線平

53、行移動(dòng)所形成的曲面x2y2 1（ a b 時(shí)為圓柱面）橢圓柱面a2b2x2 y2 1雙曲柱面a2b2y ax2幾何中，除非作特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為缺少變量的方程為柱面拋物柱面【注】在空間（3）旋轉(zhuǎn)曲面（重點(diǎn)） 曲線C 繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 f x, y2 z2 0 ； f x, y 0曲線C :x 0 x沿沿 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 f x2 z2 , y 0 。 f x, y 0曲線C :x 08.4多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面、空間曲線抓切向量24數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)x (t) ）設(shè)空間曲線 由參數(shù)方程 y (t) （給出，其

54、中，方程中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)，1z (t) (x , y0 , 0 ) 是 上的點(diǎn)，且當(dāng)t t0 時(shí)，(t0 ) ， (t0 ) ， (t0 ) 都不為 0，則這里的 是指向t 增加的方向 )曲線 在點(diǎn)(t ), (t ),(t(x , y ,) 處的切向量為0000000) 處的切線方程為 x x0 y y0z z0 .曲線 在點(diǎn) (x , y ,0000(t ) (t )(t )000曲線 在點(diǎn)(x , y0 ,0 ) 處的法平(x , y0 , 0 ) 點(diǎn)且與切線垂直的平面）方程為面（過(guò)(t0 )(x x0 t0 )( y 0 )(z z0 0F (x, y, z) 0（2）設(shè)空間曲線 由

55、交面式方程組給出，則在以下表達(dá)式有意義的條件下，G(x, y, z) 0曲線 在點(diǎn)0) 處的切向量為 (x , y0 , ，GGGGGGP 0 yzxyzx P0P0 x x0y y0z z0曲線 在點(diǎn) (x , y ,) 處的切線方程為，0000yGyGyGzGzGx P0GxPP00曲線 在點(diǎn)(x , y0 ,0 ) 處的法平面（過(guò)(x , y0 , 0 ) 點(diǎn)且與切線垂直的平面）方程為GzGx(z z0 ) 0P000GyGzGyGx P0P0二、空間曲面的切平面與法線、空間曲抓法向量（1）設(shè)空間曲面 由方程( , y, z 0) 是 上的點(diǎn)，則(x , y0 ,給出，曲面 在點(diǎn)(x ,

56、 y0 , 0 ) 處的法向量（垂直于該點(diǎn)切平面的向量）為n Fx(x0 , y0 , z0 ), Fy(x0 , y0 , z0 ), Fz(x0 , y0 , z0 )x 0 xy 0 yzz0且法線方程為Fx( 0 x , y0 , 0z )F (0 x , 0 y , 0 z z)F 0( x ,0 y 0, z )y曲面 在點(diǎn)(x , y0, 0) 處的切平面方程為Fx(x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy(x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz(x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0（2）設(shè)空間曲面 由方程 (x y 給出，令 Fyx, z) ,()

57、 z, 則25面數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué) 在點(diǎn)(x , y0 , 0 ) 處的法向量（垂直于該點(diǎn)切平面的向量）為n fx(x0 , y0 ), f y(x0 , y0 ), 1曲面x x0y y z z0.0且法線方程為f (x ,y) 1) fx (y ,x00y00曲面 在點(diǎn)(x , y0 , 0 ) 處的切平面方程為fx(x0 , y0 )(x x0 ) f y(x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0【例】設(shè)點(diǎn) P 為橢球面 S： x2 y2 z2 yz 1上的動(dòng)點(diǎn)，若 S 在點(diǎn) P 處的切平面與 xoy 面垂直，求點(diǎn) P 的軌跡 C.8.5方向?qū)?shù)與梯度1、方向?qū)?shù)定義

58、 設(shè)函數(shù)u u(x, y) 在點(diǎn) P (x , y ) 的某空間鄰域U R2 內(nèi)有定義， l 為從點(diǎn) P 出發(fā)000的射線， P(x, y) 為l 上且在U 內(nèi)的任一點(diǎn)，且令0 t cos y y y t cos 0以t (x)2 (y)2 表示 P 與 P 之間的距離，若極限0lim u(P) u(P0 ) lim u(x0 t cos , y0 t cos ) u(x0 , y0 )t 0tt 0t存在，則稱此極限為函數(shù)u u(x, y) 在點(diǎn) P 沿方向l 的方向?qū)?shù)，記作 u.0lP0定理（方向?qū)?shù)的計(jì)算公式） 設(shè)函數(shù)u u(x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 可微，則u u

59、(x, y) 在點(diǎn)P0 處沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在，且ul u (P ) cos u (P ) cos ,x0y0P0其中cos , cos 為方向l 的方向余弦【例】設(shè) f (x, y) x y ，則f (0, 0) ， f (0, 0) .22xy2、梯度定義 設(shè)三元函數(shù)u u(x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則定義gradu ux (P ), u (P )P00y026數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)為函數(shù)u u(x, y) 在點(diǎn) P0 處的梯度.如果理解梯度的這個(gè)定義呢？請(qǐng)繼續(xù)看下面.3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系u由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式l u (P ) cos u

60、 (P ) cos 與梯度的定義x0y0P0gradu ux (P ), u (P ) ，P00y0到ul u (P ),u (P ) cos, cos gradulox0y0P0P0cos coslograduP0graduP0與lo 的夾角，當(dāng)cos 1 時(shí)， u其中 為gradu有最大值.lP0P0于是可以得出結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得方向?qū)?shù)最大值的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值【注】梯度散度 div AA P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z kdiv A P Q RxyzA旋度 rotix Pjy Qkz RrotA 第