高中數(shù)學(xué)必修二 高一（下）期末測(cè)試卷（B卷 能力提升）（含答案）

1、高一（下）期末測(cè)試卷（B卷 能力提升）數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（2021浙江溫州市瑞安中學(xué)高三其他模擬）若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A-2B2CD【答案】D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，即可得到方程，解得即可；【詳解】解： ，因?yàn)閺?fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，所以，解得故選：D2（2021全國高三其他模擬（理）已知向量，且，則（ ）ABCD【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)求出，然后根據(jù)求出，最后根據(jù)即可得出結(jié)

2、果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，則，故選：D.3（2021全國高一專題練習(xí)）杭師大附中天文臺(tái)是學(xué)校圖書館處的標(biāo)志性建筑小金同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺(tái)，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、天文臺(tái)頂C的仰角分別是和，在陽臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為，假設(shè)和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則小金可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)的高度為（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合已知條件有、，即可求的高度.【詳解】由題意，即，中，則，而，在中，米.故選：C4（2021貴州高三期末（文）如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為16，當(dāng)細(xì)沙全部

3、在上面的圓錐內(nèi)時(shí)，其高度為圓錐高度的（中間銜接的細(xì)管長度忽略不計(jì)）當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此沙堆的側(cè)面積為（ ）ABCD【答案】D【分析】首先求得細(xì)沙在上部容器時(shí)小圓錐的底面半徑為4，進(jìn)而求出小棱錐的體積，接著求出流入下部后的圓錐形沙堆的高，最后求出沙堆的側(cè)面積.【詳解】細(xì)沙在上部容器時(shí)的體積，流入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8，設(shè)高為，則，所以，下部圓錐形沙堆的母線長，故此沙堆的側(cè)面積故選：D.5（2021浙江金華市高三三模）若某多面體的三視圖(單位)如圖所示，則此多面體的體積是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可得該幾何體為一個(gè)四棱錐，如圖，即

4、可求出體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體，可得該幾何體為一個(gè)四棱錐，且頂點(diǎn)可都為一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，如圖粗線所示，此多面體可看作半個(gè)正方體去掉一個(gè)三棱錐，則此多面體的體積是.故選：D.6（2021山西呂梁市高三三模（文）四書五經(jīng)是四書、五經(jīng)的合稱，泛指儒家經(jīng)典著作.四書指的是大學(xué)中庸論語孟子.五經(jīng)指的是詩經(jīng)尚書禮記周易春秋五部.某同學(xué)計(jì)劃從“大學(xué)論語孟子詩經(jīng)春秋”5種課程中選2種參加興趣班課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，則恰好安排了1個(gè)課程為四書、1個(gè)課程為五經(jīng)的概率為（ ）ABCD【答案】C【分析】由古典概型公式求解即可.【詳解】5種課程有3門為四書，2門為五經(jīng)，從5種課程中選2種有10種選法，則所求概率為7（

5、2021全國高二專題練習(xí)（文）早在世紀(jì)人們就知道用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)事件的概率.世紀(jì)末有人用投針試驗(yàn)的方法來估計(jì)圓周率，世紀(jì)年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能，這種模擬方法稱為蒙特卡羅方法或隨機(jī)模擬方法.如圖所示的程序框圖是利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)圓周率，(其中是產(chǎn)生內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，)，則的值約為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)，而表示個(gè)圓，則，故，即求.【詳解】根據(jù)程序框圖，知，而表示個(gè)圓，如圖所示：則落在陰影部分的面積與正方形面積比為，得.故選：D.8（2021重慶市綦江中學(xué)高三月考）“你是什么垃圾？”這句流行語火爆全網(wǎng)，垃圾分類也成為時(shí)下

6、熱議的話題.某居民小區(qū)有如圖六種垃圾桶：一天，張三提著六袋屬于不同垃圾桶的垃圾進(jìn)行投放，發(fā)現(xiàn)每個(gè)垃圾箱再各投一袋垃圾就滿了，作為一名法外狂徒，張三要隨機(jī)投放垃圾，則法外狂徒張三只投對(duì)兩袋垃圾的概率為（ ）ABCD【答案】D【分析】任選兩袋投對(duì)的組合種，其它4個(gè)元素，再求出6袋任意投的總方法數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】根據(jù)題意，六袋垃圾隨機(jī)投入六個(gè)垃圾桶共有種方法，任意兩袋種組合投對(duì)時(shí)，其他個(gè)元素全錯(cuò)位，概率為.故選：D.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9（2021浙江高三期末）八卦是中國文化中的基本哲學(xué)概

7、念，如圖是八卦模型圖，其平面圖形記為圖中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論中正確的有（ ）ABCD【答案】ABD【分析】根據(jù)正八邊形性質(zhì)，向量的共線，加法法則判斷AC，計(jì)算出向量的數(shù)量積和模判斷BD【詳解】由正八邊形性質(zhì)知，A正確，而與同向，不可能等于，C錯(cuò)；，B正確；D正確故選：ABD10（2021江蘇高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則下列的結(jié)論正確的是（ ）A B C D 【答案】AC【分析】計(jì)算2可判斷A；計(jì)算3可判斷B；計(jì)算2+1可判斷C；根據(jù)虛數(shù)不能比較大小可判斷D.【詳解】， 2，故A正確，321，故B錯(cuò)誤，2+110，故C正確；虛數(shù)不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：A

8、C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵難度中等11（2021浙江高二期末）下列關(guān)于空間中兩直線a，b和平面位置關(guān)系的敘述中錯(cuò)誤的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】ABC【分析】逐一進(jìn)行判斷，對(duì)A要考慮與平面的關(guān)系；對(duì)B，由，可知結(jié)果；對(duì)C要考慮b和平面的關(guān)系；對(duì)D，直觀想象即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)A，若在平面內(nèi)則不符合，故錯(cuò)誤；對(duì)B，由，可知與不垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)C，若在平面內(nèi)則不符合，故錯(cuò)誤；對(duì)D，由，故，正確；故選：ABC12（2021河北衡水市高三其他模擬）下圖是我國2011-2020年載貨汽車產(chǎn)量及增長趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)圖，針對(duì)這10年

9、的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）A與2019年相比較，2020年我國載貨汽車產(chǎn)量同比增速不到15%B這10年中，載貨汽車的同比增速有增有減C這10年我國載貨汽車產(chǎn)量的極差超過150萬輛D這10年我國載貨汽車產(chǎn)量的中位數(shù)不超過340萬輛【答案】ABC【分析】A根據(jù)年載貨汽車產(chǎn)量進(jìn)行計(jì)算并判斷；B同比增速大于說明是“增”，小于說明是“減”，據(jù)此進(jìn)行判斷；C根據(jù)載貨汽車產(chǎn)量的最大值與最小值的差進(jìn)行判斷；D先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后求出中位數(shù)并進(jìn)行判斷.【詳解】2020年的同比增速為，故A正確；由折線圖可知，這10年中，載貨汽車的同比增速有增有減，故B正確；由圖可知，極差為(萬輛)(萬輛)，故C正確；將

10、這10年載貨汽車產(chǎn)量由小到大排列得：，故中位數(shù)為(萬輛)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13（2021全國高三其他模擬）全國政協(xié)委員唐江澎說過：好的教育應(yīng)該是培養(yǎng)終身運(yùn)動(dòng)者、責(zé)任擔(dān)當(dāng)者、問題解決者和優(yōu)雅生活者終身運(yùn)動(dòng)者，即要有敬畏生命、珍愛生命的態(tài)度，養(yǎng)成終身運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣和健康的生活方式某中學(xué)積極響應(yīng)此項(xiàng)號(hào)召，大力倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉，為了解高三學(xué)生體育鍛煉的情況，對(duì)該校高三學(xué)生的每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，則該校高三學(xué)生每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)約是_【答案】35【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)

11、算頻率可判斷中位數(shù)在，列出式子即可求解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的頻率為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的頻率為，則可得中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故答案為：35.14（2021全國高三其他模擬（理）廈門國際馬拉松賽是與北京國際馬拉松賽齊名的中國著名賽事品牌，兩者“一南一北”，形成春秋交替交替之勢(shì)，為了備戰(zhàn)2021年廈門馬拉松賽，廈門市某“跑協(xié)”決定從9名協(xié)會(huì)會(huì)員中隨機(jī)挑選3人參賽，則事件“其中A，B，C，D這4人中至少1人參加，且A與B不同時(shí)，C與D不同時(shí)參加”發(fā)生的概率為_【答案】【分析】先由題中條件，確定總的基本事件個(gè)數(shù)，再求出A，B，C，D這4人中至少參加一人所對(duì)應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件

12、的個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】從9名協(xié)會(huì)會(huì)員中隨機(jī)挑選3人參賽，所包含的總的基本事件共有個(gè)；若A，B，C，D這4人中只參加一人，則需從剩下的名會(huì)員中再選人，所以對(duì)應(yīng)的基本事件有個(gè)；若A，B，C，D這4人中參加兩人，則需從剩下的名會(huì)員中再選人，所以對(duì)應(yīng)的基本事件有個(gè)；因此事件“其中A，B，C，D這4人中至少1人參加，且A與B不同時(shí)，C與D不同時(shí)參加”發(fā)生的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件個(gè)數(shù)較少時(shí)，可用列舉法列舉出總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件個(gè)數(shù)較多時(shí)，可根

13、據(jù)排列組合數(shù)的計(jì)算，求出總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出所求概率.15（2020綏化市第一中學(xué)高二月考（理）綏化一中早上7：30上課，假設(shè)學(xué)生小付與小馬在早上7：007：20之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)間到校是等可能的，則小付比小馬至少早5分鐘到校的概率為_（用數(shù)字作答）【答案】【分析】畫出圖象，利用面積比來求得所求概率.【詳解】設(shè)小付到校時(shí)刻為，小馬到校時(shí)刻為，則，畫出圖象如下圖所示，故所求概率為故答案為： 16（2021上海交大附中高三其他模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為.直徑為4的球的體積為，則_.【答案】【分析】

14、根據(jù)三視圖可得原幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，即可求得體積，得出所求.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，如圖所示，則，又，則.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17（2021陜西西安市西安中學(xué)高三其他模擬（理）設(shè)向量，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）條件是，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算可得的方程，可解得；（2）首先由向量積的定義求得的表達(dá)式，并利用二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)三角函數(shù)形式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值【詳解】（1）由，根據(jù)，得又，從而，所

15、以（2），,當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】根據(jù)正弦函數(shù)值求解角度時(shí)，一定要規(guī)定角度的范圍，往往多解或少解；求三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一定要將其函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù)形式.18（2021浙江高一期末）已知z是復(fù)數(shù)，且和都是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位（1）求復(fù)數(shù)z和；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】（1），；（2）【分析】（1）設(shè)，由已知列關(guān)于，的方程組求解；（2）把（1）中求得的代入，整理后由實(shí)部與虛部均小于0聯(lián)立不等式組求解【詳解】解：（1）設(shè)，則，為實(shí)數(shù)，即為實(shí)數(shù)，則；所以，（2）由（1）得，依題意得，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是19（2021河南高三月考（文）如圖，四棱臺(tái)

16、的上下底面均為菱形，平面，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱臺(tái)的體積.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【分析】（1）過作，垂足為，連接，根據(jù)題意，結(jié)合菱形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、余弦定理、直二面角的定義進(jìn)行證明即可；（2）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理、棱臺(tái)的體積公式、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）過作，垂足為，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜芍?，在菱形中，所以，因?yàn)?，所以，因此是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，即，因此平面平面；?）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋杂星?，因此四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以?/p>

17、面，因此是棱臺(tái)的高，設(shè)，,則有，,由余弦定理可知：，即，所以四棱臺(tái)的體積為：20（2021四川德陽市高三三模（文）如圖，在多面體中，為菱形，平面平面，為的中點(diǎn).若平面.（1）求證：平面；（2）若，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)可得，再通過證明，即可得解；（2）根據(jù)條件得，進(jìn)而由即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接又為的中點(diǎn).平面，平面，.平面平面平面，.連接，在正三角形中，又，又平面.（2）解：由（1）知，四邊形為平行四邊形.依題意可得四棱錐與的體積相等，則多面體的體積.21（2021浙江高一期末）現(xiàn)有某城市100戶居民

18、的月平均用電量（單位：度）的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，以分組的頻率分布直方圖如圖所示（1）求直方圖中x的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，的四組用戶中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】（1）；（2）眾數(shù)度，中位數(shù)度；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率和為計(jì)算出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的高度可直接判斷出眾數(shù)，計(jì)算頻率之和為時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)即為中位數(shù)；（3）先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出四組用戶的頻率之比，然后利用樣本容量乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求得應(yīng)抽取的戶數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）由頻率分布直方圖可知：對(duì)應(yīng)的頻數(shù)

19、最大，所以眾數(shù)為度；因?yàn)榍叭M頻率之和為，第四組頻率為，且，所以中位數(shù)在第四組數(shù)據(jù)中，設(shè)中位數(shù)為度，所以；（3）因?yàn)榈念l率之比為，所以月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取：戶，答：月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取戶.22（2021全國高三其他模擬（文）“中國科學(xué)十大進(jìn)展”遴選活動(dòng)由科學(xué)技術(shù)部高技術(shù)研究發(fā)展中心牽頭舉辦，旨在激勵(lì)廣大科技工作者的科學(xué)熱情和奉獻(xiàn)精神，開展基礎(chǔ)研究科學(xué)普及，促進(jìn)公眾理解關(guān)心和支持基礎(chǔ)研究，在全社會(huì)營造良好的科學(xué)氛圍.2021年2月，科技部高技術(shù)研究發(fā)展中心(基礎(chǔ)研究管理中心)發(fā)布了2020年度中國科學(xué)十大進(jìn)展.某校為調(diào)查本校中學(xué)生對(duì)2020年度中國科學(xué)十大進(jìn)展的了解與關(guān)注情況，從該校高中年級(jí)在校生中，按高一高二年級(jí)，高三年級(jí)分成兩個(gè)年級(jí)段，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中高一高二年級(jí)共調(diào)查了120人，高三年級(jí)調(diào)查了80人，以說出10項(xiàng)科學(xué)進(jìn)展的名稱個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)情況如下.假設(shè)以能至少說出四項(xiàng)科學(xué)進(jìn)展的名稱為成績優(yōu)秀.說出科學(xué)進(jìn)展名稱個(gè)數(shù)012345個(gè)及以上頻數(shù)(高一高二年級(jí))5253030255頻數(shù)(高三年級(jí))01015252010（1）根據(jù)頻數(shù)分布表