matlab解方程與函數(shù)極值市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

1、第七章 MATLAB解方程與函數(shù)極值10/10/1第1頁 線性方程組求解 非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題數(shù)值解法函數(shù)極值10/10/2第2頁7.1 線性方程組求解7.1.1 直接解法 1. 利用左除運(yùn)算符直接解法 對于線性方程組Ax=b，能夠利用左除運(yùn)算符“”求解： x=Ab例7-1 用直接解法求解以下線性方程組。10/10/3第3頁2. 利用矩陣分解求解線性方程組 矩陣分解是指依據(jù)一定原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣乘積。常見矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。10/10/4第4頁(1) LU分解 矩陣L

2、U分解就是將一個矩陣表示為一個交換下三角矩陣和一個上三角矩陣乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證實(shí)，只要方陣A是非奇異，LU分解總是能夠進(jìn)行。 MATLAB提供lu函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為： L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個變換形式下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里矩陣X必須是方陣。 L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X一樣必須是方陣。 實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b解x=U(Lb)或x=U(LPb)，這么能夠大大提升運(yùn)算速度。例7-2 用LU分解求解例7-1中線性方程組。10/10/

3、5第5頁(2) QR分解 對矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R乘積形式。QR分解只能對方陣進(jìn)行。MATLAB函數(shù)qr可用于對矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為： Q,R=qr(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足X=QR。 Q,R,E=qr(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿足XE=QR。 實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b解x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。例7-3 用QR分解求解例7-1中線性方程組。10/10/6第6頁 (3) Cholesky分解 假如矩陣X是對稱正定，則Cholesky分解將矩陣X

4、分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為： R=chol(X)：產(chǎn)生一個上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個犯錯信息。 R,p=chol(X)：這個命令格式將不輸出犯錯信息。當(dāng)X為對稱正定，則p=0，R與上述格式得到結(jié)果相同；不然p為一個正整數(shù)。假如X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。 實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成RRx=b，所以x=R(Rb)。10/10/7第7頁例7-4 用Ch

5、olesky分解求解例7-1中線性方程組。 命令以下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; R=chol(A) ? Error using = chol Matrix must be positive definite 命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣。10/10/8第8頁7.1.2 迭代解法 迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包含 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。 1. Jacobi迭代法 對于線性方程組Ax=b，假如A為非奇異方陣，

6、即aii0(i=1,2,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A對角元素，L與U為A下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為： x=D-1(L+U)x+D-1b 與之對應(yīng)迭代公式為： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 這就是Jacobi迭代公式。假如序列x(k+1)收斂于x，則x必是方程Ax=b解。10/10/9第9頁例7-5 用Jacobi迭代法求解以下線性方程組。 設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。 Jacobi迭代法MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m10/10/10第10頁2. Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代過程中，計(jì)算時，已經(jīng)得到

7、，無須再用，即原來迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b能夠改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些。10/10/11第11頁 Gauss-Serdel迭代法MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解以下線性方 程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。例7-7 分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代 法求解以下線性方程組，看

8、是否收斂。10/10/12第12頁7.2 非線性方程數(shù)值求解7.2.1 單變量非線性方程求解 在MATLAB中提供了一個fzero函數(shù)，可 以用來求單變量非線性方程根。該函數(shù)調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根函數(shù)文件名，x0為搜索起點(diǎn)。一個函數(shù)可能有多個根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近那個根。tol控制結(jié)果相對精度，缺省時取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時顯示，為0時不顯示，缺省時取trace=0。10/10/13第13頁 例7-8 求f(x)=x-10 x+2=0在x0=0.5附近根。 步驟以下： (

9、1) 建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 調(diào)用fzero函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.375810/10/14第14頁7.2.2 非線性方程組求解 對于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option) 其中X為返回解，fun是用于定義需求解非線性方程組函數(shù)文件名，X0是求根過程初值，option為最優(yōu)化工具箱選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個選項(xiàng)，用戶能夠使用optimset命令將它們顯示出來。假如想改變其中某個選

10、項(xiàng)，則能夠調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。比如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時中間結(jié)果顯示方式，其中off為不顯示，iter表示每步都顯示，final只顯示最終止果。optimset(Display,off)將設(shè)定Display選項(xiàng)為off。10/10/15第15頁 例7-9 求以下非線性方程組在(0.5,0.5) 附近 數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定初值x0=0.5

11、,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函 數(shù)求方程根。 x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off) x = 0.6354 0.373410/10/16第16頁7.3 常微分方程初值問題數(shù)值解法7.3.1 龍格庫塔法 基于龍格庫塔法，MATLAB提供了求常微 分方程數(shù)值解函數(shù)，普通調(diào)用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0) 其中fname是定義f(t,y)函數(shù)文件名，該函數(shù) 文件必須返回一個列向量。tspan形式為t0,tf, 表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分 別給出時

12、間向量和對應(yīng)狀態(tài)向量。10/10/17第17頁(1) 建立函數(shù)文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1; %求準(zhǔn)確解tyy1y為數(shù)值解，y1為準(zhǔn)確值，顯然二者近似。例7-10 設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與 準(zhǔn)確解相比較(準(zhǔn)確解為y1=sqrt(t+1)+1 。)10/10/18第18頁 7.4 函數(shù)極值 MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值函數(shù)fminbnd和fminsearch，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)最小值，其調(diào)用格式為： x=fminbnd(fname,x1,x2) x=fminsearch(fname,x0)這兩個函數(shù)調(diào)用格式相同。其中fminbnd函數(shù)用于求單變量函數(shù)最小值點(diǎn)。fname是被最小化目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量取值范圍。fminsearch函數(shù)用于求多變量函數(shù)最小值點(diǎn)，x0是求解初始值向量。10/10/19第19頁 MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上最小值就是f(x)在(a,b)最大值，所以fminbnd(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上最大值。10/10/2