定積分的近似計(jì)算

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號(hào)：4日期：2012年12月13日實(shí)驗(yàn)名稱定積分的近似計(jì)算問題背景描述：利用牛頓一萊布尼茲公式雖然可以精確地計(jì)算定積分的值，但它僅適用于被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來的情形.如果這點(diǎn)辦不到或者不容易辦到，這就有必要考慮近似計(jì)算的方法.在定積分的很多應(yīng)用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，可能只是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時(shí)只能應(yīng)用近似方法去計(jì)算相應(yīng)的定積分.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模罕緦?shí)驗(yàn)將主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法、拋物線法。對于定積分的近似數(shù)值計(jì)算，有專門函數(shù)可用。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型：1矩形法根據(jù)定積分的定義，每一個(gè)積分和都可以看作是定積分的

2、一個(gè)近似值，即在幾何意義上，這是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結(jié)果，所以把這個(gè)近似計(jì)算方法稱為矩形法.不過，只有當(dāng)積分區(qū)間被分割得很細(xì)時(shí)，矩形法才有一定的精確度.針對不同的取法，計(jì)算結(jié)果會(huì)有不同。（）左點(diǎn)法：對等分區(qū)間在區(qū)間上取左端點(diǎn)，即?。┯尹c(diǎn)法:同（）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取右端點(diǎn)，即?。┲悬c(diǎn)法：同（）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取中點(diǎn)，即取梯形法等分區(qū)間相應(yīng)函數(shù)值為主要內(nèi)容（要點(diǎn)）：1分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，取.并嘗試直接使用函數(shù)、進(jìn)行計(jì)算求解，比較結(jié)果的差異.2試計(jì)算定積分（注意：可以運(yùn)用、或附錄程序求解嗎？為什么？）3.學(xué)習(xí)fulu2sum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄

3、1和附錄3的程序，避免for循環(huán)。實(shí)驗(yàn)過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）:1:formatlongn=120;a=l;b=2;symsxfxfx=1/x;%所有左點(diǎn)的數(shù)組%所有右點(diǎn)的數(shù)組%所有左點(diǎn)值%所有右點(diǎn)值%梯形面積%加和梯形面積求解i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n;inum=sum(f)integrate=int(fx,1,2);integrate=double(integrate)fprintf(Therel

4、ativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n,.abs(inum-integrate)/integrate)【調(diào)試結(jié)果】inum=0.69315152080005integrate=0.69314718055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:6.26164e-006/n/nQ拋物線法：%拋物線法formatlongn=120;a=1;b=2;inum=0;symsxfxfx=1/x;fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點(diǎn)xi=a+i*(b-a)/n;%右

5、點(diǎn)xk=(xi+xj)/2;%中點(diǎn)fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxk=subs(fx,x,xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,l,2);integrate=double(integrate);fprintf(Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n,.abs(inum-integrate)/integrate)【調(diào)試結(jié)果】inum=0.69314718056936Therelativeer

6、rorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/n使用函數(shù)trapz()x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)【調(diào)試結(jié)果】ans=0.69315152080005使用函數(shù)quad()quad(1./x,1,2)【調(diào)試結(jié)果】ans=0.693147199862972:使用函數(shù)trapz()x=1:1/120:inf;y=sin(x)./x;trapz(x,y)【調(diào)試結(jié)果】?Errorusing=colonMaximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.使用函數(shù)quad()qu

7、ad(sin(x)./x,O,inf)【調(diào)試結(jié)果】ans=NaNQ程序法%矩陣法formatlongn=inf;a=0;b=inf;symsxfxfx=sin(x)./x;%左點(diǎn)%右點(diǎn)i=1:n;xj=a+(i-l)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;%左點(diǎn)值%右點(diǎn)值%中點(diǎn)值xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxij=subs(fx,x,xij);f1=fxj*(b-a)/n;f2=fxi*(b-a)/n;f3=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)i

8、ntegrate=int(fx,0,inf);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum1-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum2-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%gnn

9、,.abs(inum3-integrate)/integrate)【調(diào)試結(jié)果】?Maximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用matlab命令symsx;f=sin(x)/x;I=int(f,O,inf)【調(diào)試結(jié)果】I=1/2*pi3：Q矩形法：利用求和函數(shù)%矩陣法formatlongn=100;a=0;b=l;symsxfxfx=1/(1+xA2);%左點(diǎn)%右點(diǎn)i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;%左點(diǎn)值%右點(diǎn)值%中點(diǎn)值xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=

10、subs(fx,x,xi);fxij=subs(fx,x,xij);f1=fxj*(b-a)/n;f2=fxi*(b-a)/n;f3=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)integrate=int(fx,0,1);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum1-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum2a

11、ndreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum2-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum3-integrate)/integrate)【調(diào)試結(jié)果】inum1=0.78789399673078inum2=0.78289399673078inum3=0.78540024673078therelativeerrorbetweeninumlandreal-valueisabout:0.00317779therelativeerrorbe

12、tweeninum2andreal-valueisabout:0.0031884therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:2.65258e-006Q拋物線法：使用求和函數(shù)%拋物線formatlongn=100;a=0;b=1;symsxfxfx=1/(1+xA2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點(diǎn)xi=a+i*(b-a)/n;%右點(diǎn)xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);%左點(diǎn)值fxi=subs(fx,x,xi);%右點(diǎn)值fxij=subs(fx,x,xij);%中點(diǎn)值f=(fxj+4*fx

13、ij+fxi)*(b-a)/(6*n);inum=sum(f)integrate=int(fx,0,1);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)【調(diào)試結(jié)果】inum=0.78539816339745therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:2.82716e-016【情況記錄】1梯形法和拋物線法程序設(shè)計(jì)較為順利。但要注意使用循環(huán)函數(shù)和求和函數(shù)時(shí)

14、的不同命令，避免混淆出錯(cuò)。使用函數(shù)，時(shí)要注意被積函數(shù)是數(shù)值形式，應(yīng)使用數(shù)組計(jì)算，應(yīng)用點(diǎn)除即，否則將出錯(cuò)，不能調(diào)試出結(jié)果。2使用函數(shù)，和附錄程序求解，均不能調(diào)試出獲得出正確答案。最后嘗試用命令中的符號(hào)求積分才得出正確結(jié)果。3參照附錄中的求和函數(shù)程序設(shè)計(jì)順利改變了附錄和。發(fā)現(xiàn)使用求和函數(shù)時(shí)，不需要賦初值，應(yīng)用了積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法，避免了循環(huán)的冗雜性，較容易理解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果報(bào)告及實(shí)驗(yàn)總結(jié)：1、結(jié)果Q梯形法inum=0.69315152080005integrate=0.69314718055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-value

15、isabout:6.26164e-006/n/nQ拋物線法：inum=0.69314718056936Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/nQ使用函數(shù)trapz()ans=0.69315152080005Q使用函數(shù)quad()ans=0.69314719986297將題中的近似計(jì)算結(jié)果與各命令的計(jì)算結(jié)果相比較，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用不同的方法，計(jì)算結(jié)果會(huì)有不同。因?yàn)橛商菪畏ㄇ蠼浦担?dāng)為凹曲線時(shí)，它就偏?。划?dāng)為凸曲線時(shí)，它就偏大.誤差較大。故由計(jì)算結(jié)果知，利用拋物線法近似計(jì)算定積分，更接近于實(shí)際值，精確程度更高.且發(fā)現(xiàn)

16、trapz()的調(diào)試結(jié)果與梯形法結(jié)果相同，故可猜測該中的數(shù)值積分命令函數(shù)trapz()采用了梯形法近似計(jì)算方法。2、Q使用函數(shù)trapz()?Errorusing=colonMaximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用函數(shù)quad()ans=NaNQ程序法?Maximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用matlab命令I(lǐng)=l/2*pi通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)使用函數(shù)，和附錄程序求解，均不能調(diào)試出或得出正確答案。用命令中的符號(hào)求積分才得出正確結(jié)果。故矩形法、梯形法、拋物線法是主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法。的專門函數(shù)，也是用于定積分的近似數(shù)值計(jì)算。對于不定積分，由于積分區(qū)間無限大，故不能使用該分割方法。3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果見實(shí)驗(yàn)過程中的調(diào)試結(jié)果。調(diào)試順利。使用sum函數(shù)時(shí)，i