Lyapunov方程求解文檔

1、 廣西大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙 姓名： 成績(jī)：學(xué)院：電氣工程學(xué)院專業(yè)：班級(jí)：實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：Lyapunov方程求解2015年 月 日【實(shí)驗(yàn)時(shí)間】2015年6月22日【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹空莆涨蠼釲yapunov方程的一種方法，了解并使用MATLAB中相應(yīng)函數(shù)。【實(shí)驗(yàn)設(shè)備與軟件】硬件：PC機(jī)一臺(tái)；軟件：MATLAB/Simulink?！緦?shí)驗(yàn)原理】線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的Lyapunov方程判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)給定的任一個(gè)正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的對(duì)稱正定陣P，滿足如下矩陣Lyapunov方程：該條件在傳遞函數(shù)最小實(shí)現(xiàn)下等價(jià)于：全部特征根都是負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)，亦即全部根都位于左半復(fù)平面。線性

2、定常離散系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件：對(duì)給定的任一個(gè)正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的對(duì)稱正定陣P，滿足如下矩陣Lyapunov方程：該條件在傳遞函數(shù)最小實(shí)現(xiàn)下等價(jià)于：全部特征根的摸均小于1，即都在單位圓內(nèi)。在MATLAB控制工具箱中，函數(shù)lyap和dlyap用來(lái)求解lyapunov方程。P=lyap（,Q)可解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的lyapunov方程，其中，Q和A為具有相同維數(shù)的方陣（A是系統(tǒng)矩陣）。如果Q是對(duì)稱的，則解P也是對(duì)稱的。P=dlyap（，Q）可解離散時(shí)間系統(tǒng)的lyapunov方程，其中，Q和G為具有相同維數(shù)的方陣(G是系統(tǒng)矩陣)。如果Q是對(duì)稱的，則解P也是對(duì)稱的。3、連續(xù)情況下的最小相位系統(tǒng)：系

3、統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半復(fù)平面，但系統(tǒng)首先是穩(wěn)定的，其他情況為非最小相位系統(tǒng)?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容、方法、過(guò)程與分析】題目1實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：輸入連續(xù)狀態(tài)空間模型:選取正定矩陣,求穩(wěn)定性判別矩陣P，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。求線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，并判定是否為最小相位系統(tǒng)，求系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，判定是否是最小實(shí)現(xiàn)并比較。題目1實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果分析：根據(jù)題意，在實(shí)驗(yàn)中，先通過(guò)運(yùn)算可以得出結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出如下的c文件程序： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、由實(shí)驗(yàn)c文件程序運(yùn)行后結(jié)果：得到正定矩陣P： = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、由題意得出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線：由圖可知：該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。求特征根由結(jié)果可

4、以得出，此系統(tǒng)特征根的實(shí)部全部都為負(fù)數(shù)，亦全部的根都在左邊平面。所以該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。所以，根據(jù)題意，更改A矩陣，求其階躍響應(yīng)曲線，并進(jìn)行比較得：之前的A矩陣：更改之前的特征值：更改前的階躍響應(yīng)：更改之后的A矩陣：更改之后的特征值：更改后的階躍響應(yīng)：對(duì)比特征值可知，更改矩陣A后特征根有一個(gè)為正數(shù)，即在右半平面；對(duì)比階躍響應(yīng)圖可知，更改矩陣A后，其階躍響應(yīng)為發(fā)散的。題目2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：輸入離散狀態(tài)空間模型選定正定矩陣,求穩(wěn)定性判別矩陣P。請(qǐng)定義離散情況下的最小相位系統(tǒng)。求線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，并按你所定義的判別矩陣是否為最小相位系統(tǒng)。題目2實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果分析：根據(jù)題意，在實(shí)驗(yàn)中，先通過(guò)運(yùn)算可以得

5、出結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出如下的c文件程序： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、由實(shí)驗(yàn)c文件程序運(yùn)行后結(jié)果：得到矩陣P：由圖可知：得到的矩陣P是非正定的。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、由題意得出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線： 由圖可知：階躍響應(yīng)發(fā)散，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以不是最小相位系統(tǒng)。之前的G矩陣：更改之前的特征值：更改前的階躍響應(yīng)：更改之后的G矩陣：更改之后的特征值：更改后的階躍響應(yīng)：對(duì)比更改前后特征值可知，更改矩陣G后特征根全部為負(fù)數(shù)，即在右半平面。對(duì)比階躍響應(yīng)圖可知，更改矩陣G后，其階躍響應(yīng)為收斂的。【實(shí)驗(yàn)總結(jié)】通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)了解并掌握了Lyapunov方

6、程的一種用MATLAB求解的方法，并熟悉了線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的Lyapunov方程判據(jù)和求解lyapunov方程的一些函數(shù)。附錄資料：MATLAB的30個(gè)方法1 內(nèi)部常數(shù)pi 圓周率 exp(1)自然對(duì)數(shù)的底數(shù)ei 或j 虛數(shù)單位Inf或 inf 無(wú)窮大 2 數(shù)學(xué)運(yùn)算符a+b 加法a-b減法a*b矩陣乘法a.*b數(shù)組乘法a/b矩陣右除ab矩陣左除a./b數(shù)組右除a.b數(shù)組左除ab 矩陣乘方a.b數(shù)組乘方-a負(fù)號(hào) 共軛轉(zhuǎn)置.一般轉(zhuǎn)置3 關(guān)系運(yùn)算符=等于大于=大于或等于=不等于4 常用內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)exp(x)以e為底數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)log(x)自然對(duì)數(shù)，即以e為底數(shù)的對(duì)數(shù)log10(x)常用

7、對(duì)數(shù)，即以10為底數(shù)的對(duì)數(shù)log2(x)以2為底數(shù)的x的對(duì)數(shù)開(kāi)方函數(shù)sqrt(x)表示x的算術(shù)平方根絕對(duì)值函數(shù)abs(x)表示實(shí)數(shù)的絕對(duì)值以及復(fù)數(shù)的模三角函數(shù)（自變量的單位為弧度）sin(x)正弦函數(shù)cos(x)余弦函數(shù)tan(x)正切函數(shù)cot(x)余切函數(shù)sec(x)正割函數(shù)csc(x)余割函數(shù)反三角函數(shù) asin(x)反正弦函數(shù)acos(x)反余弦函數(shù)atan(x)反正切函數(shù)acot(x)反余切函數(shù)asec(x)反正割函數(shù)acsc(x)反余割函數(shù)雙曲函數(shù) sinh(x)雙曲正弦函數(shù)cosh(x)雙曲余弦函數(shù)tanh(x)雙曲正切函數(shù)coth(x)雙曲余切函數(shù)sech(x)雙曲正割函數(shù)cs

8、ch(x)雙曲余割函數(shù)反雙曲函數(shù) asinh(x)反雙曲正弦函數(shù)acosh(x)反雙曲余弦函數(shù)atanh(x)反雙曲正切函數(shù)acoth(x)反雙曲余切函數(shù)asech(x)反雙曲正割函數(shù)acsch(x)反雙曲余割函數(shù)求角度函數(shù)atan2(y,x)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，從原點(diǎn)到點(diǎn)（x，y）的射線為終邊的角，其單位為弧度，范圍為（ ， 數(shù)論函數(shù)gcd(a,b)兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)lcm(a,b)兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)排列組合函數(shù)factorial(n)階乘函數(shù)，表示n的階乘 復(fù)數(shù)函數(shù) real(z)實(shí)部函數(shù)imag(z)虛部函數(shù)abs(z)求復(fù)數(shù)z的模angle(z)求復(fù)數(shù)z的輻角，其范

9、圍是（ ， conj(z)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)求整函數(shù)與截尾函數(shù)ceil(x)表示大于或等于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)floor(x)表示小于或等于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)round(x)最接近x的整數(shù)最大、最小函數(shù)max(a，b，c，)求最大數(shù)min(a，b，c，)求最小數(shù)符號(hào)函數(shù) sign(x)5 自定義函數(shù)-調(diào)用時(shí)：“返回值列=M文件名（參數(shù)列）”function 返回變量=函數(shù)名（輸入變量） 注釋說(shuō)明語(yǔ)句段（此部分可有可無(wú)）函數(shù)體語(yǔ)句 6進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算compose(f,g) 返回值為f(g(y)compose(f,g,z) 返回值為f(g(z)compose(f,g,x,.z) 返回值為f(g(z)

10、compose(f,g,x,y,z) 返回值為f(g(z)7 因式分解syms 表達(dá)式中包含的變量 factor(表達(dá)式) 8 代數(shù)式展開(kāi)syms 表達(dá)式中包含的變量 expand(表達(dá)式)9 合并同類項(xiàng)syms 表達(dá)式中包含的變量 collect(表達(dá)式，指定的變量)10 進(jìn)行數(shù)學(xué)式化簡(jiǎn)syms 表達(dá)式中包含的變量 simplify(表達(dá)式)11 進(jìn)行變量替換syms 表達(dá)式和代換式中包含的所有變量 subs(表達(dá)式，要替換的變量或式子，代換式)12 進(jìn)行數(shù)學(xué)式的轉(zhuǎn)換調(diào)用Maple中數(shù)學(xué)式的轉(zhuǎn)換命令，調(diào)用格式如下：maple(Maple的數(shù)學(xué)式轉(zhuǎn)換命令) 即：maple(convert(表達(dá)

11、式，form)將表達(dá)式轉(zhuǎn)換成form的表示方式 maple(convert(表達(dá)式，form, x) 指定變量為x，將依賴于變量x的函數(shù)轉(zhuǎn)換成form的表示方式（此指令僅對(duì)form為exp與sincos的轉(zhuǎn)換式有用） 13 解方程solve(方程，變?cè)? 注：方程的等號(hào)用普通的等號(hào)： = 14 解不等式調(diào)用maple中解不等式的命令即可，調(diào)用形式如下： maple(maple中解不等式的命令)具體說(shuō)，包括以下五種：maple( solve（不等式）) maple( solve（不等式，變?cè)?) maple( solve（不等式，變?cè)?) maple( solve（不等式，變?cè)?) map

12、le( solve（不等式，變?cè)?)15 解不等式組調(diào)用maple中解不等式組的命令即可，調(diào)用形式如下： maple(maple中解不等式組的命令) 即：maple( solve（不等式組，變?cè)M） )16 畫(huà)圖方法：先產(chǎn)生橫坐標(biāo)的取值和相應(yīng)的縱坐標(biāo)的取值，然后執(zhí)行命令： plot(x,y) 方法2：fplot(f(x)，xmin,xmax) fplot(f(x)，xmin,xmax,ymin,ymax) 方法3：ezplot(f(x) ezplot(f(x) ,xmin,xmax) ezplot(f(x) ,xmin,xmax,ymin,ymax) 17 求極限（1）極限：syms x l

13、imit(f(x), x, a) （2）單側(cè)極限：左極限：syms x limit(f(x), x, a,left)右極限：syms x limit(f(x), x, a,right) 18 求導(dǎo)數(shù)diff(f(x) diff(f(x),x) 或者：syms x diff(f(x) syms x diff(f(x), x) 19 求高階導(dǎo)數(shù) diff(f(x)，n) diff(f(x),x，n)或者：syms x diff(f(x)，n)syms x diff(f(x), x，n) 20 在MATLAB中沒(méi)有直接求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的命令，但是我們可以根據(jù)數(shù)學(xué)中求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，在中一步一步地進(jìn)行推

14、導(dǎo)；也可以自己編一個(gè)求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的小程序；不過(guò)，最簡(jiǎn)便的方法是調(diào)用Maple中求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的命令，調(diào)用格式如下： maple(implicitdiff(f(x,y)=0,y,x) 在MATLAB中，沒(méi)有直接求參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的命令，只能根據(jù)參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式 一步一步地進(jìn)行推導(dǎo)；或者，干脆自己編一個(gè)小程序，應(yīng)用起來(lái)會(huì)更加方便。21 求不定積分 int(f(x) int (f(x),x)或者：syms x int(f(x) syms x int(f(x), x) 22 求定積分、廣義積分 int(f(x),a,b) int (f(x),x,a,b)或者：syms x int(f

15、(x),a,b) syms x int(f(x), x,a,b) 23 進(jìn)行換元積分的計(jì)算自身沒(méi)有提供這一功能，但是可以調(diào)用Maple函數(shù)庫(kù)中的changevar命令，調(diào)用方法如下：maple( with(student) ) 加載student函數(shù)庫(kù)后，才能使用changevar命令maple( changevar( m(x)=p(u), Int(f(x),x) ) ) 把積分表達(dá)式中的m(x)代換成p(u)24 進(jìn)行分部積分的計(jì)算自身沒(méi)有提供這一功能，但是可以調(diào)用Maple函數(shù)庫(kù)中的intparts命令，調(diào)用方法如下： maple( with(student) ) 加載student函數(shù)庫(kù)

16、后，才能使用intparts命令maple(intparts(Int(f(x),x),u) ) 指定u，用分部積分公式 進(jìn)行計(jì)算25 對(duì)數(shù)列和級(jí)數(shù)進(jìn)行求和 syms n symsum(f(n), n a ,b )26 進(jìn)行連乘 maple(product(f(n),n=a.b)27 展開(kāi)級(jí)數(shù)syms x taylor(f(x), x, n, a )28 進(jìn)行積分變換syms s t laplace( f(t), t, s ) 拉普拉斯變換 ilaplace( F(s), s, t ) 拉普拉斯變換的逆變換 syms t fourier( f(t), t, ) 傅立葉變換 ifourier( F(), , t ) 傅立葉變換的逆變換 syms n z ztrans(