復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法講義03復(fù)變函數(shù)級數(shù)

1、PAGE Chapter 3 復(fù)變函數(shù)級數(shù)Abstract：簡介解析函數(shù)的性質(zhì)，尤其是解析函數(shù)最重要的表達(dá)形式之一的冪級數(shù)(power series) 的重要性質(zhì)。重點講述解析函數(shù)在常點附近展開為Taylor級數(shù)和在孤立奇點附近展開為Laurent級數(shù)。最后討論單值函數(shù)孤立奇點的分類。Motivation：引論中講過，一方面，物理學(xué)家力求（將此sum表達(dá)為一個簡單的函數(shù)）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相當(dāng)復(fù)雜，人們不得不反過來做級數(shù)展開。有趣的是，大部分情況下級數(shù)的前一、二項就解決問題了（物理誤差范圍以內(nèi)）。這不但對收斂快的級數(shù)是如此，況且對發(fā)散級數(shù)尤要cut of

2、f！-多項式展開。更有趣的是，這樣便構(gòu)成了本征函數(shù)系早已存在的數(shù)學(xué)理論，物理理論和實驗的核心目標(biāo)，see part II）。級數(shù)復(fù)習(xí): 常數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)： 幾何級數(shù)； 指數(shù)級數(shù)； 三角函數(shù)級數(shù)。一般級數(shù)：解析項級數(shù)：1.一般級數(shù)，2.冪級數(shù)。問題：設(shè)有序列，問，Key：divergence 發(fā)散.且 這是log發(fā)散。而收斂， convergence，且絕對收斂。 稱為Riemann zeta function. ：，而發(fā)散（調(diào)和級數(shù)，和諧級數(shù)？）。發(fā)散 . 但是為何收斂呢？此幾何級數(shù)收斂，收斂。再問一致收斂呢？要有學(xué)說，而非See (Sub. 1.3) below.在C平面 有無窮多個奇

3、點。是的零點，其它零點落在Riemann 假設(shè)：上述零點全部在級數(shù)的基本概念與性質(zhì) (Basic concepts and properties of series)復(fù)數(shù)序列定義：按照一定順序排列的復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)序列，記為。一個復(fù)數(shù)序列完全等價于兩個實數(shù)序列。聚點：給定復(fù)數(shù)序列，若存在復(fù)數(shù)，對于，恒有無窮多個滿足，則稱為的一個聚點（或極限點）。一個序列可以有不止一個聚點，例如序列就有兩個聚點，。有界序列和無界序列：給定復(fù)數(shù)序列，若存在一個正數(shù)，對所有的都有，稱為序列有界；否則稱為序列無界。極限：給定復(fù)數(shù)序列，如果對，自然數(shù)，使得只要，就有，則稱收斂于，記為。一個序列的極限必然是這個序列的聚點，

4、而且是唯一的聚點。顯然，如果寫成，則 例如，對于點列，有 （5）序列極限存在（序列收斂）的Cauchy充要條件：任給，存在正整數(shù)，使對于任意正整數(shù)，有. 一個無界序列不可能是收斂的。 2 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂：一個復(fù)數(shù)級數(shù)，如果它的部分和所構(gòu)成的序列收斂，即有極限，則稱級數(shù)收斂，而序列的極限稱為級數(shù)的和；如果級數(shù)不存在（無窮或不定），則稱發(fā)散。注：，因此，一個復(fù)數(shù)級數(shù)完全等價于兩個實數(shù)級數(shù)。若，都收斂，則收斂；若，至少有一個發(fā)散，則發(fā)散。收斂的充要條件（Cauchy收斂判據(jù)）：任給，存在正整數(shù)，使對于任意正整數(shù) 有. 特別是，令，則得到級數(shù)收斂的必要條件：.絕對收斂：如果收斂，則稱絕對收

5、斂。 絕對收斂的性質(zhì)：絕對收斂的級數(shù)一定收斂（因為： ），反之不定。絕對收斂的級數(shù)可以改換求和次序。特別是，可以把一個收斂級數(shù)拆成幾個子級數(shù)，每個子級數(shù)仍絕對收斂。兩個絕對收斂級數(shù)的積仍然絕對收斂。例如，是絕對收斂的，則注意最后一步的及的取值范圍因為和構(gòu)成的實數(shù)級數(shù)收斂，所以構(gòu)成的實數(shù)級數(shù)也收斂。由于是一個實數(shù)級數(shù)，而且是一個正項級數(shù)，因此高等數(shù)學(xué)中任何一種正項級數(shù)的收斂判別法都可用來判別一個復(fù)數(shù)項級數(shù)是否絕對收斂。下面列出了一些常用的收斂判別法（自證或者查資料證明之）比較判別法：若，而收斂，則收斂；若，而發(fā)散，則發(fā)散；比值判別法（DAlembert判別法）：若，則收斂； 若，則發(fā)散；若， 可

6、能收斂，也可能發(fā)散；根值判別法（Cauchy判別法）：若，則收斂； 若，則發(fā)散；若， 可能收斂，也可能發(fā)散；Gauss判別法：如果（至少n充分大） ，則當(dāng)時，收斂（相當(dāng)于）；而當(dāng)時，發(fā)散。 3 復(fù)變函數(shù)級數(shù)（設(shè)為域D中的連續(xù)函數(shù)，） 函數(shù)級數(shù)的收斂：如果對于D中的一點，級數(shù)收斂，則稱級數(shù)在點收斂；反之發(fā)散，則稱在點發(fā)散。 如果級數(shù)在D中的每一點都收斂，則稱級數(shù)在D內(nèi)收斂。其和函數(shù)是D內(nèi)的單值函數(shù)。一致收斂：如果對于任意給定的，存在一個與無關(guān)的，使當(dāng)時，對于任意正整數(shù)對D中每一點均成立，則稱級數(shù)在D內(nèi)一致收斂。（X）一致收斂級數(shù)的性質(zhì)：一致收斂的概念總是和一定區(qū)域聯(lián)系在一起的，級數(shù)的一致收斂性質(zhì)

7、是它在一定區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)。（*）若在區(qū)域D內(nèi)滿足，與無關(guān)且收斂，則絕對且一致收斂。（Weierstrass的M判別法）連續(xù)性：如果在D內(nèi)連續(xù)，級數(shù)在D內(nèi)一致收斂，則其和函數(shù)也在D內(nèi)連續(xù)。這個性質(zhì)告訴我們，如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致連續(xù)級數(shù)可以逐項求極限，或者說“求極限”與“求級數(shù)和”可以交換次序。即，.逐項求積分：設(shè)C是區(qū)域D內(nèi)一條分段光滑曲線，如果在C上連續(xù)， 則對于C上一致收斂級數(shù)可以逐項積分，逐項求導(dǎo)數(shù)（Weierstrass定理）：設(shè)在中單值解析，在中一致收斂，則此級數(shù)之和是D內(nèi)的解析函數(shù)，可逐項求導(dǎo)，求導(dǎo)后的級數(shù)在D中的任意閉區(qū)域中一致收斂。 上面這些性質(zhì)的證明見數(shù)學(xué)物理方法

8、，北大 吳崇試，高等教育出版社。函數(shù)在處連續(xù)即可表述為：對任意給定的，總存在，當(dāng)時，使得成立。一致連續(xù)：不依賴于. 例如：，.對任意小的正數(shù)，所以連續(xù)，但并非一致連續(xù)。因為當(dāng)時，.若，則連續(xù); 若，則. 康托爾(Couter)定理：在有界閉區(qū)域上有意義的連續(xù)函數(shù)在此閉區(qū)間上一致連續(xù)。冪級數(shù)( Power series)定義：以冪函數(shù)為一般項的級數(shù)稱為以為中心的冪級數(shù)。反之，函數(shù)在附近的Taylor級數(shù)展開，其系數(shù)為.冪級數(shù)的收斂性：Abel定理：如果級數(shù)在某點收斂，則該級數(shù)在圓域內(nèi)絕對收斂，而且在內(nèi)一致收斂。證明：因為在點收斂，故一定滿足必要條件， .因此存在正數(shù)M，使得，于是，.當(dāng)，即時，幾

9、何級數(shù)收斂，故在圓內(nèi)絕對收斂。而當(dāng)時，而常數(shù)項級數(shù)收斂，故根據(jù)Weierstrass的M判別法，在圓內(nèi)一致收斂。推論一：如果級數(shù)在某點發(fā)散，則該級數(shù)在圓域外處處發(fā)散。當(dāng)時，外處處發(fā)散）; 當(dāng)時，內(nèi)處處發(fā)散）。推論二：對于冪級數(shù)，必存在一個實數(shù)，使得在圓內(nèi)級數(shù)處處收斂，同時在圓外級數(shù)處處發(fā)散。* 這個圓稱為的收斂圓，而半徑稱為收斂半徑。* 收斂半徑的求法，雖然有緊接著下面的常規(guī)方法，但是見p.11的第二個菱形的非常規(guī)方法更有效。冪級數(shù)的收斂圓和收斂半徑：在討論冪級數(shù)的性質(zhì)時，首先應(yīng)當(dāng)求出收斂圓及其收斂半徑：（1），這是因為，根據(jù)DAlembert判別法，有時級數(shù)收斂。因此得.（2），這是因為，根

10、據(jù)Cauchy判別法，有時級數(shù)收斂。因此得.冪級數(shù)在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)：在收斂圓內(nèi)絕對收斂，在收斂圓內(nèi)的任何閉圓域上一致收斂。Abel theorem.和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。因冪級數(shù)的每一項都是解析函數(shù)，由Abel定理知冪級數(shù)在其收斂域的任一閉區(qū)域中一致收斂，再由Weierstrass定理知其解析和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分、逐項求導(dǎo)任意次。同上證明積分和求導(dǎo)后級數(shù)的收斂半徑不變。直接求出收斂半徑即可 例：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，求下列冪級數(shù)的收斂半徑。（1）（為實數(shù)）； （2）.解： （1），.（2） 注：冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的任何閉區(qū)域內(nèi)是絕對且一致收斂的，因此，逐次求積分和導(dǎo)數(shù)任意次；收斂圓內(nèi)是解

11、析函數(shù)，因而可求收斂半徑。（即，p.11的第二個菱形）三、解析函數(shù)的Taylor級數(shù)展開(Expand to the Taylor series)前面我們看到，一個冪級數(shù)在它的收斂圓內(nèi)代表一個解析函數(shù)（雖然我們的課程目標(biāo)是關(guān)注函數(shù)的非解析性）?，F(xiàn)在，我們要提一個相反的問題（inversion problem）：如何把一個解析函數(shù)表示成冪級數(shù)？解析函數(shù)的Taylor級數(shù):（有限遠(yuǎn)常點附近的級數(shù)展開）Cauchy-Taylor定理： 設(shè)函數(shù)在圓域D：內(nèi)是解析的，則可以在D內(nèi)展開為絕對收斂且一致收斂的冪級數(shù) ，其中，并且這樣的展開是唯一的。證明：我們要證明對任何（D內(nèi)任意一閉區(qū)域），所展開的冪級數(shù)在

12、閉圓域 D1：上是絕對且一致收斂的。在和之間取一圓：，根據(jù)Cauchy積分公式，有 ，其中是閉圓域內(nèi)的任一點。因為其中，即級數(shù)是收斂的。根據(jù)Weierstrass的M判別法，級數(shù)是絕對且一致收斂的。那么也是一致收斂的 一致收斂級數(shù)的每一項乘以同一有界函數(shù)仍為一致收斂級數(shù)，因此可以逐項積分，于是其中 (最后一步用到了階導(dǎo)數(shù)的Cauchy積分式, , see Chapt 2. P.11)。由于是解析的，它必是連續(xù)的，因此，利用Cauchy不等式(see Chapt 2. P.13)，有 ，所以 .因為級數(shù)是收斂的，所以冪級數(shù)在閉圓域上是絕對且一致收斂的。下面證明展開的唯一性：假設(shè)兩個級數(shù)在區(qū)域都收

13、斂到，取極限，由于級數(shù)在收斂域內(nèi)是一致收斂的，故有逐項微商，再取極限，又得 .如此繼續(xù)，即可證得，（展開了且用中心值確定）.Cauchy-Taylor定理的唯一性告訴我們：（1）可以用任何方便的方法來求其展開系數(shù)。（2）如果在同一點展開的兩個Taylor級數(shù)，則可以逐項比較系數(shù)。因為Taylor級數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個解析函數(shù)，所以被展開的函數(shù)如果有奇點的話，只能在收斂圓上或收斂圓外。因此，函數(shù)展開為Taylor級數(shù)，其最大收斂半徑必等于展開中心到被展開函數(shù)最近的奇點的距離。，奇點為，因此收斂半徑.而在實數(shù)范圍內(nèi)，就不能理解收斂半徑為何是1了， 因為函數(shù) 在整個實軸上都是連續(xù)可導(dǎo)、并且任意階導(dǎo)數(shù)

14、都是存在的。函數(shù)的冪級數(shù)為，其中為Bernoulli多項式（雖然它已知，但是寫不出其通項，更寫不出末項）。由解得。所以（分子有）推論：假如Taylor級數(shù)展開的函數(shù)在鄰域為零，則即解析函數(shù)一致性定理證明： 而因為在內(nèi)解析，函數(shù)除點外解析，所以C內(nèi)函數(shù)解析。由于邊界值 決定了其內(nèi)部值，所以根據(jù)Taylor級數(shù)公式，容易求得常見的幾個函數(shù)的Taylor級數(shù)：，（），（），（），（）.例：證明.證明：多值函數(shù)的Taylor級數(shù)（有限遠(yuǎn)常點附近的級數(shù)展開）： 對于多值函數(shù)，在確定單值分支后，可以象單值函數(shù)一樣展開。例1：在的鄰域展開.解：的支點為和，由沿負(fù)實軸到作割線（當(dāng)然有其它作法，只是這樣作割線，

15、其收斂半徑最大）。取單值分支：規(guī)定上岸，則下岸. 因此， ，那么. 于是.又 于是， .自證：若取另一單值分支：規(guī)定上岸，則下岸.因此， . 那么，（此是因為再加上就有上岸的）. 于是 .又 于是 （）還可取其他分支: .（X）例2：在的鄰域展開（為非整數(shù)）。解：的支點為和，由沿負(fù)實軸到作割線（當(dāng)然有其它作法，只是這樣作割線，其收斂半徑最大）。取單值分支：規(guī)定上岸，則下岸. 因此， . 那么，. 于是, 因此， 若取另一單值分支：規(guī)定上岸，則下岸.因此 . 那么 . 于是，因此， 在無窮遠(yuǎn)點的Taylor展開（解析函數(shù)的Taylor級數(shù)展開）：如果在解析，則也可以在展開成Taylor級數(shù)。作變

16、換，則在點解析，將在點展開成Taylor級數(shù)，故 ，. 則 ，.在點的Taylor級數(shù)只有常數(shù)項和負(fù)冪項。例：解析函數(shù)的Laurent級數(shù)展開 (Expand to the Laurent series)Review：.CRCs：CI: CIF:（留數(shù)）大圓弧引理：如果在區(qū)域D：，上連續(xù)，且當(dāng)時，一致地趨于，則，其中，是以為圓心，為半徑，夾角為的圓弧:.習(xí)題2.2. 求積分解：令則 其中前因子是因為的幅角轉(zhuǎn)動一圈時的幅角轉(zhuǎn)動二圈，而其積分將僅轉(zhuǎn)動一圈。因為的次冪的系數(shù)為所以 一個函數(shù)除了可以在解析點作Taylor（圓域內(nèi)單連通、無奇點）展開外，有時還需要將它在奇點附近展開成冪級數(shù)（環(huán)域內(nèi)解析）

17、，此即Laurent展開。1Laurent定理：設(shè)函數(shù)在環(huán)形區(qū)域內(nèi)是單值解析的，則可以在此環(huán)形區(qū)域內(nèi)展開為絕對收斂且一致收斂的冪級數(shù)，其中 是環(huán)域內(nèi)圍繞一周的任何閉曲線(詳見證明過程，只要并且遍及全解析區(qū)域只能圍繞一周)，積分沿逆時針方向，并且這樣的展開是唯一的。證明：這里所謂的在環(huán)域內(nèi)一致收斂，意即在任何一個外半徑，內(nèi)半徑（點畫線）的閉環(huán)域上一致收斂。設(shè)是環(huán)域內(nèi)任一點，且（粗實線附近）. 再取兩個圓，和（虛線），并滿足和.根據(jù)復(fù)連通Cauchy積分公式，有(天衣無縫的手術(shù)刀，且兩者積分方向相同).當(dāng)在上時，因為，則，（內(nèi)區(qū)域出現(xiàn)負(fù)冪次?。┘墧?shù)在上一致收斂，并且隨著的減小，這種收斂愈加增快。當(dāng)

18、在上時，因為，則，（外區(qū)域仍然是正冪次?。?級數(shù)在上一致收斂，并且隨著的增大，這種收斂愈加增快。于是 ，其中，這是外環(huán)線貢獻(xiàn)，呈現(xiàn)正冪次。而上述第一等式用了第二等式用了其中，這是內(nèi)環(huán)線貢獻(xiàn)，呈現(xiàn)負(fù)冪次。把兩部分合并起來有 .* 是之間即之間繞一周的任意一個正向閉合曲線。* 類似Taylor級數(shù)收斂性的證明，可以證明正冪部分在區(qū)域上是絕對且一致收斂的：是區(qū)域并且以內(nèi)走向為規(guī)定的正方向。在區(qū)間，設(shè)（引進(jìn)）展開系數(shù)回路積分（表達(dá)式）中的被積函數(shù)為，則其留數(shù)為 這是因為，直觀地雖然在環(huán)形區(qū)域內(nèi)單值解析，但是在區(qū)域包括以外以及至無窮大內(nèi)，最多有有限階奇點甚至單值解析。對于外區(qū)域的當(dāng)時，被積函數(shù)在區(qū)域最多

19、有有限階奇點。這一點在下面的例子中要用到并且是單值解析的。* 負(fù)冪部分在區(qū)域上是絕對且一致收斂的：是區(qū)域并且以外走向為規(guī)定的正方向。在區(qū)間，引進(jìn)函數(shù)，它的留數(shù)為 這是因為在區(qū)域包括以內(nèi)以及至零內(nèi)，最多有有限階奇點，從而就可計算了。對于內(nèi)區(qū)域的當(dāng)時，被積函數(shù)在區(qū)域最多有有限階奇點。（內(nèi)外辯證！）。* 因此Laurent級數(shù)在環(huán)域內(nèi)絕對且一致收斂。下面證明展開的唯一性：設(shè)有（），以除上式兩端，并關(guān)于在上積分，有為Kronecker符號。有關(guān)Laurent級數(shù)的幾點說明：Laurent級數(shù)有負(fù)冪項（當(dāng)不是的奇點時，負(fù)冪項系數(shù)全部為）。在圓域內(nèi)有奇點。奇點一般在圓上，此時存在，但是Cauchy導(dǎo)數(shù)公式

20、不成立。當(dāng)然，如果是的奇點，則牙根兒不存在。點不一定是的奇點。如果內(nèi)部無奇點，則變成Taylor級數(shù)了。級數(shù)的收斂域為環(huán)。系數(shù)（即使是正冪項系數(shù)）不能寫為. 證明展開的唯一性只能用積分方法，而Taylor級數(shù)展開的唯一性既可用微分方法又可用積分方法來證明。同一函數(shù)在不同環(huán)域上的Laurent展開有不同形式。正冪次項：叫正則部，在內(nèi)部絕對且一致收斂。負(fù)冪次項：叫主部（表征函數(shù)奇異特性時起主要作用的部分），在外部絕對且一致收斂。例：求函數(shù)在區(qū)域（1）；（2） 的Laurent展式。解：.It needs to focus on 根據(jù)定義: 當(dāng)時，其中被積函數(shù) 發(fā)生了變化：對于即當(dāng)時，這個被積函數(shù)在

21、以外的全域是單值解析的。當(dāng)時，求就簡單了。這是因為 根據(jù)大圓弧引理，所以有 即. 由于任意的緣故，內(nèi)部為階奇異，過于復(fù)雜（當(dāng)然本例要求），其中最簡單。 表明此級數(shù)并無正則部分。對于即當(dāng)時，這個被積函數(shù)在非奇點，而是內(nèi)部()的三個一階奇點。當(dāng)時，求就簡單了。令，則挖去三個一階奇點形成多通區(qū)域，由（see Chapter 2）得到（這里先用了留數(shù)定理，see Chapter 5，p. 2）故 （2）當(dāng)時，.對， 由復(fù)連通區(qū)域Cauchy定理，其中首項是以外，當(dāng)時，次項是以內(nèi)（相反的方向，當(dāng)然以外），僅僅對積分有貢獻(xiàn)；如果選擇以內(nèi)，則是階奇點，計算繁雜。故 這是因為僅僅繞一周，中末項積分沒有貢獻(xiàn)，這

22、里僅僅是其首項貢獻(xiàn)。對，由復(fù)連通區(qū)域Cauchy定理， 如果選擇以外，則是階奇點，計算繁雜。Q: 因故未去聽課，所以對Laurent級數(shù)有很多不懂的地方(問題挺多的，又麻煩老師了)：第一點，在證明Laurent定理時，最后將正冪部分和負(fù)冪部分合并起來時，為什么可以把環(huán)路積分路徑統(tǒng)一換成L？既然這個時候可以換成任意的積分路徑，為什么一開始還要區(qū)分開用r1,r2?第二點，Laurent系數(shù)為什么不可以寫成f(z)的k階導(dǎo)數(shù)比上K的階乘？因為由導(dǎo)數(shù)定義，只要f(z)在z=b的鄰域內(nèi)解析，則可導(dǎo)；而b點又不一定是奇點。應(yīng)該說Laurent系數(shù)不一定能寫成那樣，而不是不能。第三點，同一函數(shù)在不同鄰域內(nèi)展

23、開為Laurent級數(shù)不同，是否是因為其在不同鄰域收斂半徑不同？第四點，對Laurent展開的負(fù)冪部分，其收斂域是|1/(z-a)|1/=r,是否存在rR的情況（R為正冪部分收斂半徑）？可否舉出例子？五、Taylor級數(shù)和Laurent級數(shù)展開的幾種常用方法(Usual methods)利用幾何級數(shù)公式（這是常用的方法） （）等等。例1：在的Laurent展式。解：，此展式僅僅有主部，并且有無窮多個項。但是非奇點，而為奇點，這是因為例2：求函數(shù)在區(qū)域（1）；（2） 的Laurent展式。解：（1）當(dāng)時，其中， 同前。（2）當(dāng)時，簡單的有利用其它初等函數(shù)的Taylor級數(shù)展開式，收斂域，即已知級

24、數(shù)的逐項求導(dǎo)或逐項積分例4： ().例5：在內(nèi)的Laurent展式。解： ().例6：求在的Taylor展式，規(guī)定解：已知級數(shù)的相乘或相除例7： Note：另外(x)例8：在之Laurent展式（習(xí)題3.10）。解法一：設(shè)，在解析，因而可作Taylor展式，其中，因為 解法二：因為 (x)例9：求在鄰域的Laurent級數(shù)。下面我們用級數(shù)除法求解：設(shè)其分母為則例10：試求函數(shù)在內(nèi)的Laurent展式13.2節(jié)，1（2）p.273生成函數(shù)，參數(shù)無量綱動量。.解： （1）對于固定的此級數(shù)絕對收斂，并且隨著的減小，這種收斂愈加增快。 （2）對于固定的此級數(shù)絕對收斂，并且隨著的增大，這種收斂愈加增快。

25、方法一：方程（1）相乘方程（2）得因為此級數(shù)是次冪的形式，所以令當(dāng)對求和時，對于固定的可正可負(fù),即Laurent級數(shù)。所以而 因此代得 即對于某一個，遍及所有，再對所有求和。我們已定義了它們稱為階Bessel函數(shù)，記為 其母函數(shù)為(x)方法二：為了得到乘積中某一個正冪次項 取方程（2）中第項與方程（1）中的項去相乘，這正好得到項，注意求和變量為 為了得到乘積中某一個負(fù)冪次項 取方程（1）中第項與方程（2）中的項去相乘，這正好得到項，這里求和變量為兩項相加得 其中首項用了上述分析的，末項用了上述分析的 末項再作變換：則故 其中 待定系數(shù)法例11：求在的Taylor級數(shù)（習(xí)題3.11）。解：分析：

26、由于是奇函數(shù)，故其在的Taylor級數(shù)只有奇次冪，其中系數(shù)待定。因為所以 因為的奇、偶級數(shù)已知，所以其中最后一步用到了 比較方程兩邊級數(shù)的系數(shù)，即得 (RR) 具體地 ： ： ： （此處省去N個字）所以 ().由于，方程（RR）為系數(shù)的遞推式(recurrence relation).例12：求在鄰域的Laurent級數(shù)。解：分析：用與上面相似的方法可求得在鄰域的Laurent級數(shù)。注意的最低次冪為 設(shè) 其中待定。同理可得 ().待定系數(shù)法只能用于有限個負(fù)冪項（正冪項）的情形。對稱性分析。其它展開法例13：再代等等即可展開了。例14：求函數(shù)在上的Laurant展開。解：六、孤立奇點的分類和特性

27、 (Classications and characteristics of the isolated singular points)1. 孤立奇點的定義： 設(shè)為單值函數(shù)（或多值函數(shù)的一個單值分支），但點是它的奇點，即除點以外,在點鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱為的孤立奇點。例1：點是函數(shù)的孤立奇點。點不是函數(shù)的孤立奇點：它的數(shù)值不定看下面的2 c) 本性奇點，為本性奇點。如果是的孤立奇點，則一定存在一個環(huán)域，在此環(huán)域內(nèi)，可展開成Laurent級數(shù)： ， .正冪部分稱為解析部分;負(fù)冪部分稱為主要部分;兩者均在環(huán)域內(nèi)解析;在點的奇性完全由主要部分決定。 2. 孤立奇點的分類：a) 可去奇點：級數(shù)中無主部（不含負(fù)冪項），即 例2： 因此當(dāng)約定時，是的可去奇點。* 為的可去奇點（為有限復(fù)數(shù)）。證：因