2019年上海高考數學真題試卷（解析版）

1、絕密啟用前 2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數學試卷（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、選擇題：（本大題共12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，共54分）已知集合，則_.已知且滿足，求_.已知向量，則與的夾角為_.已知二項式，則展開式中含項的

2、系數為_.已知x、y滿足，求的最小值為_.已知函數周期為，且當，則_.若，且，則的最大值為_.已知數列前n項和為，且滿足，則_.過的焦點并垂直于軸的直線分別與交于，在上方，為拋物線上一點，則_.某三位數密碼鎖，每位數字在數字中選取，其中恰有兩位數字相同的概率是_.已知數列滿足（），在雙曲線上，則_.已知，若，與軸交點為，為曲線，在上任意一點，總存在一點（異于）使得且，則_.二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）已知直線方程的一個方向向量可以是（ ） B. C. D. 一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉得到的兩個圓錐的體積之比為（ ） 1 B. 2

3、 C. 4 D. 8 已知，函數，存在常數，使得為偶函數，則可能的值為（ ） B. C. D. 已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；均正確； B. 均錯誤； C. 對，錯； D. 錯，對；三.解答題（本大題共5題，共76分）（本題滿分14分）如圖，在長方體中，為上一點，已知，.（1）求直線與平面的夾角；（2）求點到平面的距離.18.（本題滿分14分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時，有零點，求的范圍.19.（本題滿分14分）如圖，為海岸線，為線段，為四分之一圓弧，.（1）求長度；（2）若，求到海岸線的最短距離.（精確到）20.（本題滿分16分）已知橢圓

4、，為左、右焦點，直線過交橢圓于A、B兩點.（1）若AB垂直于軸時，求；（2）當時，在軸上方時，求的坐標；（3）若直線交軸于M，直線交軸于N，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.21.（本題滿分18分）數列有項，對任意，存在，若與前項中某一項相等，則稱具有性質.（1）若，求可能的值；（2）若不為等差數列，求證：中存在滿足性質；（3）若中恰有三項具有性質，這三項和為，使用表示.上海市2019屆秋季高考數學考試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，共54分）1.已知集合，則_.【思路分析】然后根據交集定義得結果【解析】：根

5、據交集概念，得出：.【歸納與總結】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎2.已知且滿足，求_.【思路分析】解復數方程即可求解結果【解析】：，.【歸納與總結】本題主要考查復數的基本運算，比較基礎3.已知向量，則與的夾角為_.【思路分析】根據夾角運算公式求解【解析】：.【歸納與總結】本題主要考查空間向量數量積，比較基礎4.已知二項式，則展開式中含項的系數為_.【思路分析】根據二項式展開式通項公式求出取得含項的的項，再求系數【解析】：令，則，系數為.【歸納與總結】本題主要考查項式展開式通項公式的應用，比較基礎5.已知x、y滿足，求的最小值為_.【思路分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜

6、截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案【解析】：線性規(guī)劃作圖：后求出邊界點代入求最值，當，時，. 【歸納與總結】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題6.已知函數周期為，且當，則_.【思路分析】直接利用函數周期為1，將轉到已知范圍內，代入函數解析式即可【解析】：.【歸納與總結】本題考查函數圖像與性質，是中檔題7.若，且，則的最大值為_.【思路分析】利用已知等式轉化為一個變量或者轉化為函有的式子求解【解析】：法一：，；法二：由，（），求二次最值.【歸納與總結】本題考查基本不等式的應用，是中檔題8.已知數列前n項和為，且滿足，則_.【思路分析】將和的關系轉

7、化為項的遞推關系，得到數列為等比數列.【解析】：由得：（） 為等比數列，且， .9.過的焦點并垂直于軸的直線分別與交于，在上方，為拋物線上一點，則_.【思路分析】根據等式建立坐標方程求解【解析】：依題意求得：，設M坐標有：，代入有：即：.【歸納與總結】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題10某三位數密碼鎖，每位數字在數字中選取，其中恰有兩位數字相同的概率是_.【思路分析】分別計算出總的排列數和恰有兩位數字相同的種類求解.【解析】：法一：（分子含義：選相同數字選位置選第三個數字）法二：（分子含義：三位數字都相同+三位數字都不同）【歸納與總結】本題考查古典概型的求解

8、，是中檔題11.已知數列滿足（），在雙曲線上，則_.【思路分析】利用點在曲線上得到關于n的表達式，再求極限.【解析】：法一：由得：，利用兩點間距離公式求解極限。法二（極限法）：當時，與漸近線平行，在x軸投影為1，漸近線傾斜角滿足：，所以.【歸納與總結】本題考查數列極限的求解，是中檔題12.已知，若，與軸交點為，為曲線，在上任意一點，總存在一點（異于）使得且，則_.【思路分析】【解析】：【歸納與總結】二. 選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.已知直線方程的一個方向向量可以是（ ） B. C. D. 【思路分析】根據直線的斜率求解.【解析】：依題意：為直線的一個法向量， 方向向量為，選

9、D.【歸納與總結】本題考查直線方向向量的概念，是基礎題14.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉得到的兩個圓錐的體積之比為（ ） 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根據直線的斜率求解.【解析】：依題意：，選B.15.已知，函數，存在常數，使得為偶函數，則可能的值為（ ） B. C. D. 【思路分析】根據選擇項代入檢驗或者根據函數性質求解.【解析】：法一（推薦）：依次代入選項的值，檢驗的奇偶性，選C；法二：，若為偶函數，則，且也為偶函數（偶函數偶函數=偶函數）， ，當時，選C.16.已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象

10、限；均正確； B. 均錯誤； C. 對，錯； D. 錯，對；【思路分析】根據選擇項代入檢驗或者根據函數性質求解.【解析】：法一：（推薦）取特殊值檢驗法：例如：令和，求看是否存在.(考試中，若有解時則認為存在，取多組解時發(fā)現(xiàn)沒有解，則可認為不存在)，選D.法二：解： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 設，則原式可化為，整理得，以為主元，則要使方程有解，需使有解，令，則恒成立函數在上單調遞減，又存在使，當時設方程的兩根分別為，當時，故必有一負根， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 對；當時，故兩根均為負根， = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 錯；選D.三.

11、 解答題（本大題共5題，共76分）17.（本題滿分14分）如圖，在長方體中，為上一點，已知，.（1）求直線與平面的夾角；（2）求點到平面的距離.【思路分析】根據幾何圖形作出線面角度求解；建立坐標系計算平面的法向量求解.【解析】：（1）依題意：，連接AC，則與平面ABCD所成夾角為； ，為等腰直角，； 直線與平面的夾角為.法一（空間向量）：如圖建立坐標系：則：，求平面的法向量：，得：A到平面的距離為：法二（等體積法）：利用求解，求時，需要求出三邊長（不是特殊三角形），利用求解.【歸納與總結】本題考查點到平面的距離的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基

12、礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題18.（本題滿分14分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時，有零點，求的范圍.【思路分析】將不等式具體化，直接解不等式；分離參數得到新函數，研究新函數的最值與值域.【解析】：（1）當時，；代入原不等式：；即：移項通分：，得：；依題意：在上有解參編分離：，即求在值域，在單調遞增，；，故：.【歸納與總結】本題考查了分式不等式的解法、分式函數最值與值域的求解，也考查了轉化與劃歸思想的應用19.（本題滿分14分）如圖，為海岸線，為線段，為四分之一圓弧，.（1）求長度；（2）若，求到海岸線的最短距離.（精確到）【思路分析】根據弧長公式求解；

13、利用正弦定理解三角形.【解析】：（1）依題意：，弧BC所在圓的半徑弧BC長度為：km（2）根據正弦定理：，求得：，kmb0，a0.三.數列24.解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應有)需要驗證，有些題目通項是分段函數。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數列、有窮數列、無窮數列的概念嗎?你知道無窮數列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數列的所有項的和必定存在?27.數列單調性問題能否等同于對應函數的單調性問題?(數列是特殊函數，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)28.應用數學歸納法一要注意步

14、驟齊全，二要注意從到過程中，先假設時成立，再結合一些數學方法用來證明時也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?30.三角函數的定義及單位圓內的三角函數線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎?你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化

15、出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎?35.掌握正弦函數、余弦函數及正切函數的圖象和性質.你會寫三角函數的單調區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數形結合與書寫規(guī)范,可別忘了)，你是否清楚函數的圖象可以由函數經過怎樣的變換得到嗎?36.函數的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：(1)函數的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖

16、象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.37.在三角函數中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數0有區(qū)別，的模為數0，它不是沒有方向，而是方向不定?？梢钥闯膳c任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數量積與兩個實數乘積的區(qū)別：在實數中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數量積中，若，且，不能推出.已知實數，且，則a=c,但在向量的數量積中沒有.在實數中有，但是在向量的數量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的

17、充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。六.解析幾何43.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點的坐標公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完

18、整的文字表達.(設出變量，寫出目標函數寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數對應的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數方程是怎樣的?常用參數方程的方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結論?)54.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數是否為零?橢圓，雙曲線二次項

19、系數為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉化在解決立幾問題中的應用是怎樣的?每種平行之間轉換的條件是什么?58.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關鍵是什么嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關鍵)一面四直線，立柱是關鍵，垂直三處見59.

20、線面平行的判定定理和性質定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為”一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行”而導致證明過程跨步太大.60.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法.61.異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其補角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應用時一定要從題意出發(fā)，是用銳角還是其補角，還是兩種情況都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思嗎?能夠熟練地應用它們解題嗎?63.兩條異面直線所成的角的范圍：090直線與平面所成的角的范圍：0o90二面角的平面角的取值范圍：018064.你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運用嗎?65.平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關幾何元素的“不變量”與“不變性”。66.立幾問題的求解分為“作”，“證”，“算”三個環(huán)節(jié)，你是否只注重了“作”，“算”，而忽視了“證”這一重要環(huán)節(jié)?67.棱柱及其性質、平行六面體與長方體及其性質.這些知識你掌握了嗎?(注意運用向量的方法解題)68.球及其性質;經緯度定義易混.經度為二面角,緯度為線面角、球面距離的求法;球的表面積和體積公式.這些知識你掌